20100513高一数学（数列的概念与简单表示法）

2 1数列的概念与简单表示法 高一数学必修五第二章数列 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题 他们在沙滩上画点或用小石子来表示数字 问题提出 由于这些数可以用三角形点阵表示 故称其为三角形数 1 3 6 10 问题提出 因为这些数能够表示成正方形 故称为正方形数 1 4 9 16 1740 1823 1906 1989 2072 2 4 8 16 32 15 5 16 16 28 32 51 人们在1740年发现了一颗彗星 并推算出它每隔83年出现一次 则从出现那次算起 这颗彗星出现的年份依次为 1984年到2008年 我国体育健儿共参加了7次奥运会 获得的金牌数依次为 某种细胞 如果每个细胞每分钟分裂为2个 那么每过一分钟 一个细胞分裂的个数依次为 再来看几个问题 1 均是一列数 2 有一定次序 观察上面6个例子它们有什么共同特点 特点 1 1 3 6 10 2 1 2 4 8 16 4 15 5 16 16 28 32 51 5 2 4 8 16 32 3 1740 1823 1906 1989 数列中的每一个数叫做这个数列的项 各项依次叫做这个数列的第1项 首项 第2项 第n项 如 2 4 8 16 a4 a1 a2 a3 a5 32 1 数列的定义 按照一定顺序排列着的一列数称为数列 其中右下标n表示项的位置序号 上面的数列又可简记为 数列的一般形式可以写成 项数有限的数列叫做有穷数列 项数无限的数列叫做无穷数列 2 数列的分类 1 根据数列项数是否有限分类 2 根据数列各项的变化趋势分类 递增数列 递减数列 摆动数列 常数数列 递增数列 从第2项起 每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起 每一项都小于它的前一项的数列 摆动数列 从第2项起 有些项大于它的前一项 有些项小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 如何用数学式子表示递增数列 递减数列和常数列 递增数列 递减数列 常数列 对于数列中的每个序号n都有唯一的一个数 项 an与之对应 项数n1234 64项an122223 263 自变量n 函数值an 3 数列与函数 数列是一种特殊的函数 可以认为 数列是一种特殊的函数 数列可以看成以正整数集N 或其有限子集 1 2 n 为定义域的函数 当自变量从小到大的顺序依次取值时 所对应的一列函数值 数列的项an与它对应的序号n能否用一个公式来表示呢 3 数列与函数 如数列2 4 6 2n 数列的项数n与项an之间的关系如果可以用一个公式表示 那么这个公式叫做这个数列的通项公式 4 数列通项公式 例1写出下面数列的一个通项公式 使它的前4项分别是下列各数 1 1 2 2 0 2 0 3 3 5 7 9 4 2 4 8 16 例题讲解 例2 已知数列 an 的通项公式为an 2n 1 用列表法写出这个数列的前5项 并作出图象 解 数列的图象是一群孤立的点 数列的图象有何特点 y 2x 1 函数有哪几种表示法 通项公式法 列表法 图象法 相应地数列有哪几种表示法 例3根据下面数列 an 的通项公式 写出其前5项 1 2 知识探究 有5个猴子共同分享一堆苹果 它们先后来到苹果前 第一个猴子将所有苹果平均分成5份 还剩1个 丢掉 自己拿走其中1份 第二个猴子又将余下的苹果平均分成5份 还剩1个 丢掉 自己拿走其中1份 依次类推 那么第n个猴子与第n 1 n 2 个猴子所得的苹果数应满足什么关系 数列的项与项之间的关系式称为递推公式 递推法表示数列需要哪些要素 初始项和递推公式 其中称为递推公式 上述给出数列的方法叫做递推法 数列1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 称为斐波那契数列 该数列的递推公式是什么 知识探究 如果数列 an 满足那么数列 an 是否确定 知识探究 称为数列 an 的前n项和 记作Sn 那么Sn 1表示什么 an Sn Sn 1三者之间有什么关系 知识探究 例6下图中的三角形称为谢宾斯基三角形 在下图四个三角形中 着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项 写出这个数列的一个通项公式 并在直角坐标系中画出它的图象 理论迁移 例7设数列 an 满足 写出这个数列的前5项 例8已知数列 an 满足求这个数列的通项公式 例9已知数列 an 满足求这个数列的通项公式 1 数列是一种特殊的函数 其特殊性主要体现在函数的自变量只能依次取正整数 小结作业 2 表示数列的方法有通项公式法 列表法 图像法 递推法四种 其中通项公式法和递推法是最常用的方法 并且二者可以相互转化 3 数列的递推公式是反映数列相邻几项的关系式 根据数列