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2010 年高考数学试题分类汇编年高考数学试题分类汇编 数列数列 2010 浙江理数 浙江理数 3 设为等比数列的前项和 则 n S n an 25 80aa 5 2 S S A 11 B 5 C D 8 11 解析 解析 通过 设公比为 将该式转化为 解得 2 带入所求式可 25 80aa q08 3 22 qaaq 知答案选 D 本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前 n 项和公式 属中档题 20102010 全国卷全国卷 2 2 理数 理数 4 如果等差数列 n a中 345 12aaa 那么 127 aaa A 14 B 21 C 28 D 35 答案 C 命题意图 本试题主要考查等差数列的基本公式和性质 解析 17 345441274 7 312 4 728 2 aa aaaaaaaaa 20102010 辽宁文数 辽宁文数 3 设为等比数列的前项和 已知 则公比 n S n an 34 32Sa 23 32Sa q A 3 B 4 C 5 D 6 解析 选 B 两式相减得 343 3aaa 4 43 3 4 4 a aaq a 2010 辽宁理数 辽宁理数 6 设 an 是有正数组成的等比数列 为其前 n 项和 已知 a2a4 1 则 n S 3 7S 5 S A B C D 15 2 31 4 33 4 17 2 答案 B 命题立意 本题考查了等比数列的通项公式与前 n 项和公式 考查了同学们解决问题的能力 解析 由 a2a4 1 可得 因此 又因为 联力两式有 24 1 1a q 1 2 1 a q 2 31 1 7Saqq 所以 q 所以 故选 B 11 3 2 0 qq 1 2 5 5 1 4 1 31 2 1 4 1 2 S 2010 全国卷全国卷 2 文数 文数 6 如果等差数列中 12 那么 n a 3 a 4 a 5 a 1 a 2 a 7 a A 14 B 21 C 28 D 35 解析 C 本题考查了数列的基础知识 345 12aaa 4 4a 127174 1 7 728 2 aaaaaa 20102010 江西理数 江西理数 5 等比数列中 4 函数 则 n a 1 2a 8 a 128 f xx xaxaxa 0f A B C D 6 2 9 2 12 2 15 2 答案 C 解析 考查多项式函数的导数公式 重点考查学生创新意识 综合与灵活地应用所学的数学知识 思 想和方法 考虑到求导中 含有 x 项均取 0 则只与函数的一次项有关 得 0f f x 412 123818 2a aaaa a 20102010 江西理数 江西理数 4 2 111 lim 1 333n x A 5 3 B 3 2 C 2 D 不存在 答案 B 解析 考查等比数列求和与极限知识 解法一 先求和 然后对和取极限 1 1 3 3 lim 1 2 1 3 n n 2010 安徽文数 安徽文数 5 设数列的前 n 项和 则的值为 n a 2 n Sn 8 a A 15 B 16 C 49 D 64 5 A 解析 887 644915aSS 方法技巧 直接根据即可得出结论 1 2 nnn aSSn 2010 重庆文数 2 在等差数列中 则的值为 n a 19 10aa 5 a A 5 B 6 来源 高 解析 由角标性质得 所以 5 195 2aaa 5 a 2010 浙江文数 浙江文数 5 设为等比数列的前 n 项和 则 n s n a 25 80aa 5 2 S S A 11 B 8 C 5 D 11 解析 通过 设公比为 将该式转化为 解得 2 带入所求式可知答案 25 80aa q08 3 22 qaaq 选 A 本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前 n 项和公式 2010 重庆理数 重庆理数 1 在等比数列中 则公比 q 的值为 n a 20102007 8aa A 2 B 3 C 4 D 8 解析 8 3 2007 2010 q a a 2 q 20102010 北京理数 北京理数 2 在等比数列中 公比 若 则 m n a 1 1a 1q 12345m aa a a a a A 9 B 10 C 11 D 12 答案 C 2010 四川理数 四川理数 8 已知数列的首项 其前项的和为 且 则 n a 1 0a n n S 11 2 nn SSa lim n n n a S A 0 B C 1 D 2 1 2 解析 由 且 w w w k s 5 u c o m 11 2 nn SSa 211 2 nn SSa 作差得 an 2 2an 1 又 S2 2S1 a1 即 a2 a1 2a1 a1 a2 2a1w w w k s5 u c o m 故 an 是公比为 2 的等比数列 Sn a1 2a1 22a1 2n 1a1 2n 1 a1 则 1 1 1 21 limlim 21 2 n n n nn n aa Sa 答案 B 20102010 天津理数 天津理数 6 已知是首项为 1 的等比数列 是的前 n 项和 且 则数 n a n s n a 36 9ss 列的前 5 项和为 1 n a A 或 5 B 或 5 C D 15 8 31 16 31 16 15 8 答案 C 解析 本题主要考查等比数列前 n 项和公式及等比数列的性质 属于中等题 显然 q1 所以 所以是首项为 1 公比为的等比数列 36 3 9 1 q 1 12 1 q1 q qq q 1 n a 1 2 前 5 项和 5 5 1 1 31 2 1 16 1 2 T 温馨提示 在进行等比数列运算时要注意约分 降低幂的次数 同时也要注意基本量法的应用 2010 广东理数 广东理数 4 已知为等比数列 Sn是它的前 n 项和 若 且与 2的等差中 n a 231 2aaa 4 a 7 a 项为 则 5 4 5 S A 35 B 33 C 31 D 29 4 C 设 的公比为 则由等比数列的性质知 即 由与 2的等 n aq 23141 2aaa aa 4 2a 4 a 7 a 差中项为知 即 5 4 47 5 22 4 aa 74 15151 2 22 24244 aa 即 即 来源 高考资源网 K 3 7 4 1 8 a q a 1 2 q 3 411 1 2 8 aa qa 1 16a 2010 广东东文数数 20102010 全国卷全国卷 1 1 文数 文数 4 已知各项均为正数的等比数列 5 10 则 n a 123 a a a 789 a a a 456 a a a A B 7 C 6 D 5 24 2 4 A 命题意图 本小题主要考查等比数列的性质 指数幂的运算 根式与指数式的互化等知识 着重考 查了转化与化归的数学思想 解析 由等比数列的性质知 10 所以 3 1231322 5a a aa aaa A 3 7897988 a a aa aaa A 1 3 28 50a a 所以 1 333 6 456465528 50 5 2a a aa aaaa a A 20102010 全国卷全国卷 1 1 理数 理数 4 已知各项均为正数的等比数列 中 5 10 则 n a 123 a a a 789 a a a 456 a a a A B 7 C 6 D 5 24 2 2010 湖北文数 湖北文数 7 已知等比数列 中 各项都是正数 且 成等差数列 则 m a 1 a 32 1 2 2 aa 910 78 aa aa A B C D12 12 32 2 32 2 20102010 山东理数 山东理数 1 2010 安徽理数 10 设是任意等比数列 它的前项和 前项和与前项和分别为 n an2n3n X Y Z 则下列等式中恒成立的是 A B 2XZY Y YXZ ZX C D 2 YXZ Y YXX ZX 10 D 分析 取等比数列 令得代入验算 只有选项 D 满足 1 2 41n 1 3 7XYZ 方法技巧 对于含有较多字母的客观题 可以取满足条件的数字代替字母 代入验证 若能排除 3 个 选项 剩下唯一正确的就一定正确 若不能完全排除 可以取其他数字验证继续排除 本题也可以首项 公比即项数 n 表示代入验证得结论 2010 湖北理数 7 如图 在半径为 r 的园内作内接正六边形 再作正六边形的内切圆 又在此内切圆 内作内接正六边形 如此无限继续下去 设为前 n 个圆的面积之和 则 n s lim n n s A 2 B C 4 D 6 2 r 8 3 2 r 2 r 2 r 20102010 福建理数 福建理数 3 设等差数列的前 n 项和为 若 则当取最小值时 n a n S 1 11a 46 6aa n S n 等于 A 6 B 7 C 8 D 9 答案 A 解析 设该数列的公差为 则 解得 d 461 282 11 86aaadd 2d 所以 所以当时 取最小值 22 1 11212 6 36 2 n n n Snnnn 6n n S 命题意图 本题考查等差数列的通项公式以及前 n 项和公式的应用 考查二次函数最值的求法及 计算能力 2010 年高考数学试题分类汇编年高考数学试题分类汇编 数列数列 2010 浙江理数 浙江理数 14 设 11 2 2 3 23 nn nnNxx 2 012 n n aa xa xa x 将的最小值记为 则 0 k akn n T 2345 3355 1111 0 0 2323 n TTTTT 其中 n T 解析 本题主要考察了合情推理 利用归纳和类比进行简单的推理 属容易题 20102010 陕西文数 陕西文数 11 观察下列等式 13 23 1 2 2 13 23 33 1 2 3 2 13 23 33 43 1 2 3 4 2 根据上述规律 第四个等式为 13 23 33 43 53 1 2 3 4 5 2 或 152 解析 第 i 个等式左边为 1 到 i 1 的立方和 右边为 1 到 i 1 和的完全平方 所以第四个等式为 13 23 33 43 53 1 2 3 4 5 2 或 152 20102010 辽宁文数 辽宁文数 14 设为等差数列的前项和 若 则 n S n an 36 324SS 9 a 解析 填 15 解得 31 61 3 2 33 2 6 5 624 2 Sad Sad 1 1 2 a d 91 815 aad 2010 辽宁理数 辽宁理数 16 已知数列满足则的最小值为 n a 11 33 2 nn aaan n a n 答案 21 2 命题立意 本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函数单调性 考 查了同学们综合运用知识解决问题的能力 解析 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 2 1 2 n 1 33 33 n2 n 所以 33 1 n a n nn 设 令 则在上是单调递增 在 f n 33 1n n f n 2 33 10 n f n 33 上是递减的 因为 n N 所以当 n 5 或 6 时有最小值 0 33 f n 又因为 所以 的最小值为 5 53 55 a 6 6321 662 a n a n 6 21 62 a 2010 浙江文数 浙江文数 14 在如下数表中 已知每行 每列中的树都成等差数列 那么 位于下表中的第 n 行第 n 1 列的数是 答案 2 nn 20102010 天津文数 天津文数 15 设 an 是等比数列 公比 Sn为 an 的前 n 项和 记2q 设为数列 的最大项 则 2 1 17 nn n n SS TnN a 0 n T n T 0 n 答案 4 解析 本题主要考查了等比数列的前 n 项和公式与通项及平均值不等式的应用 属于中等题 2 11 2 1 17 1 2 1 2 1 2 17 2 16 1212 2 12 2 nn nn n nn aa T a 因为 8 当且仅当 4 即 n 4 时取等号 所以当 116 2 17 12 2 n n 16 2 2 n n 2 n n0 4 时 Tn有最大值 温馨提示 本题的实质是求 Tn取得最大值时的 n 值 求解时为便于运算可以对进行换元 分子 2 n 分母都有变量的情况下通常可以采用分离变量的方法求解 2010 湖南理数 湖南理数 15 若数列满足 对任意的 只有有限个正整数使得成立 记 n anN m m an 这样的的个数为 则得到一个新数列 例如 若数列是 则数列m n a n a n a1 2 3 n 是 已知对任意的 则 n a 0 1 2 1 n Nn 2 n an 5 a n a 20102010 福建理数 福建理数 11 在等比数列中 若公比 且前 3 项之和等于 21 则该数列的通项公式 n aq 4 n a 答案 n 1 4 解析 由题意知 解得 所以通项 111 41621aaa 1 1a n a n 1 4 命题意图 本题考查等比数列的通项公式与前 n 项和公式的应用 属基础题 3 2010 江苏卷 江苏卷 8 函数 y x2 x 0 的图像在点 ak ak2 处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak 1 k 为正整数 a1 16 则 a1 a3 a5 解析 考查函数的切线方程 数列的通项 在点 ak ak2 处的切线方程为 当时 解得 2 2 kkk yaaxa 0y 2 k a x 所以 1135 164 121 2 k k a aaaa 2010 年高考数学试题分类汇编年高考数学试题分类汇编 数列数列 2010 上海文数 上海文数 21 21 本题满分本题满分 1414 分分 本题共有本题共有 2 2 个小题 第一个小题满分个小题 第一个小题满分 6 6 分 第分 第 2 2 个小题满分个小题满分 8 8 分 分 已知数列的前项和为 且 n an n S585 nn Sna nN 1 证明 是等比数列 1 n a 2 求数列的通项公式 并求出使得成立的最小正整数 n S 1nn SS n 解析 1 当 n 1 时 a1 14 当 n 2 时 an Sn Sn 1 5an 5an 1 1 所以 1 5 1 1 6 nn aa 又 a1 1 15 0 所以数列 an 1 是等比数列 2 由 1 知 得 从而 n N 1 5 115 6 n n a 1 5 1 15 6 n n a 1 5 7590 6 n n Sn 由 Sn 1 Sn 得 最小正整数 n 15 1 52 65 n 5 6 2 log114 9 25 n 2010 湖南文数 湖南文数 20 本小题满分 13 分 给出下面的数表序列 其中表 n n 1 2 3 有 n 行 第 1 行的 n 个数是 1 3 5 2n 1 从第 2 行起 每行中的每个数都等于 它肩上的两数之和 I 写出表 4 验证表 4 各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列 并将结论推广到表 n n 3 不要求证明 II 每个数列中最后一行都只有一个数 它们构成数列 1 4 12 记此数列为 求和 n b 324 1 22 31 n nn bbb bbb bb b 20102010 全国卷全国卷 2 2 理数 理数 18 本小题满分 12 分 已知数列 n a的前n项和 2 3n n Snn A 求lim n n n a S 证明 12 222 3 12 n n aaa n 命题意图 本试题主要考查数列基本公式 1 1 1 2 n nn s n a ssn 的运用 数列极限和数列不等式的证明 考查考生运用所学知识解决问题的能力 参考答案 点评 2010 年高考数学全国 I I 这两套试卷都将数列题前置 一改往年的将数列结合不等式放缩法问 题作为押轴题的命题模式 具有让考生和一线教师重视教材和基础知识 基本方法基本技能 重视两纲的 导向作用 也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心 估计以后的高考 对数列的考查主要涉及数列的基本公式 基本性质 递推数列 数列求和 数列极限 简单的数列不等式证明等 这种考查方式还要持续 20102010 陕西文数 陕西文数 16 本小题满分 12 分 已知 an 是公差不为零的等差数列 a1 1 且a1 a3 a9成等比数列 求数列 an 的通项 求数列 2an 的前n项和Sn 解 由题设知公差d 0 由a1 1 a1 a3 a9成等比数列得 12 1 d 1 8 12 d d 解得d 1 d 0 舍去 故 an 的通项an 1 n 1 1 n 由 知 2n 由等比数列前 n 项和公式得2 m a Sm 2 22 23 2n 2n 1 2 2 1 2 1 2 n 2010 全国卷全国卷 2 文数 文数 18 本小题满分 12 分 已知是各项均为正数的等比数列 且 n a 12 12 11 2 aa aa 345 345 111 64 aaa aaa 求的通项公式 n a 设 求数列的前项和 2 1 nn n ba a n bn n T 解析 本题考查了数列通项 前项和及方程与方程组的基础知识 n 1 设出公比根据条件列出关于与的方程求得与 可求得数列的通项公式 1 a d1 a d 2 由 1 中求得数列通项公式 可求出 BN 的通项公式 由其通项公式化可知其和可分成两个等比 数列分别求和即可求得 20102010 江西理数 江西理数 22 本小题满分 14 分 证明以下命题 1 对任一正整 a 都存在整数 b c b c 使得成等差数列 222 abc 2 存在无穷多个互不相似的三角形 其边长为正整数且成等差数列 nnnn abc 222 nnn abc 解析 作为压轴题 考查数学综合分析问题的能力以及创新能力 1 考虑到结构要证 类似勾股数进行拼凑 222 2acb 证明 考虑到结构特征 取特值满足等差数列 只需取 b 5a c 7a 对一切正整数 a 均能成立 222 1 5 7 结合第一问的特征 将等差数列分解 通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形 再证明 互不相似 且无穷 证明 当成等差数列 则 222 nnn abc 2222 nnnn bacb 分解得 nnnnnnnn babacbcb 选取关于 n 的一个多项式 做两种途径的分解 2 4 1 n n 222 4 1 22 22 22 22 n nnnnnnn 2 4 1 n n 对比目标式 构造 由第一问结论得 等差数列成立 2 2 2 21 1 4 21 n n n ann bnn cnn 考察三角形边长关系 可构成三角形的三边 下证互不相似 任取正整数 m n 若 m 相似 则三边对应成比例 n 222 222 21121 21121 mmmmm nnnnn 由比例的性质得 与约定不同的值矛盾 故互不相似 11 11 mm mn nn 2010 安徽文数 安徽文数 21 本小题满分 13 分 设是坐标平面上的一列圆 它们的圆心 12 n C CC 都在轴x 的正半轴上 且都与直线相切 对每一个正整 3 3 yx 数 圆n 都与圆相互外切 以表示的半径 已知 n C 1n C n r n C为递 n r 增数列 证明 为等比数列 n r 设 求数列的前项和 1 1r n n r n 命题意图 本题考查等比列的基本知识 利用错位相减法求和等基本方法 考察抽象概括能力以及推 理论证能力 解题指导 1 求直线倾斜角的正弦 设的圆心为 得 同理得 结合 n C 0 n 2 nn r 11 2 nn r 两圆相切得圆心距与半径间的关系 得两圆半径之间的关系 即中与的关系 证明为等比 n r 1n r n r n r 数列 2 利用 1 的结论求的通项公式 代入数列 然后用错位相减法求和 n r n n r n nnnn n n 1n 1n 1nnn 1n 1nn n 1n n n 11 n nn n n 12 331 sin 332 r1 2r 2 2rrr2r2r r3r rq3 n r1q3r3n 3 r 12 rr x C 解 1 将直线y 的倾斜角记为 则有t an 设的圆心为 0 则由题意得知 得 同理 从而 将代入 解得 故为公比的等比数列 由于 故 从而 记S 121 n 121 n 121 n 1 1 r 12 33 3 3 1 32 3 1 3 3 3 1 33 3 3 3 1 333 3 3 2 22 3 9139 23 3 3 4224 n n nn nn n nn n n n n n nn n nn n Sn 则有 S S 得 2S 方法技巧 对于数列与几何图形相结合的问题 通常利用几何知识 并结合图形 得出关于数列相邻 项与之间的关系 然后根据这个递推关系 结合所求内容变形 得出通项公式或其他所求结论 对 n a 1n a 于数列求和问题 若数列的通项公式由等差与等比数列的积构成的数列时 通常是利用前 n 项和乘以 n S 公比 然后错位相减解决 2010 重庆文数 16 本小题满分 13 分 小问 6 分 小问 7 分 已知是首项为 19 公差为 2 的等差数列 为的前项和 n a n S n an 求通项及 n a n S 设是首项为 1 公比为 3 的等比数列 求数列的通项公式及其前项和 nn ba n bn n T 2010 浙江文数 浙江文数 19 本题满分 14 分 设 a1 d 为实数 首项为 a1 公差为 d 的等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 满足 15 0 56 S S 若 5 求及 a1 5 S 6 S 求 d 的取值范围 2010 重庆理数 重庆理数 21 本小题满分 12 分 I 小问 5 分 II 小问 7 分 在数列中 1 其中实数 n a 1 a 1 1 21 n nn acacnnN 0c I 求的通项公式 n a II 若对一切有 求 c 的取值范围 kN 21kzk aa 2010 山东文数 山东文数 18 本小题满分 12 分 已知等差数列满足 的前 n 项和为 n a 3 7a 57 26aa n a n S 求 及 n a n S 令 求数列的前 n 项和 2 1 1 n n b a nN n b n T 20102010 北京文数 北京文数 16 本小题共 13 分 已知为等差数列 且 n a 3 6a 6 0a 求的通项公式 n a 若等差数列满足 求的前 n 项和公式 n b 1 8b 2123 baaa n b 解 设等差数列的公差 n ad 因为 36 6 0aa 所以 解得 1 1 26 50 ad ad 1 10 2ad 所以10 1 2212 n ann 设等比数列的公比为 n bq 因为 2123 24 8baaab 所以 即 3824q q 所以的前项和公式为 n bn 1 1 4 1 3 1 n n n bq S q 20102010 北京理数 北京理数 20 本小题共 13 分 已知集合对于 121 0 1 1 2 2 nn SX Xx xxxin n 12 n Aa aa 定义 A 与 B 的差为 12 nn Bb bbS 1122 nn ABababab A 与 B 之间的距离为 11 1 i d A Bab 证明 且 nn A B CSABS 有 d AC BCd A B 证明 三个数中至少有一个是偶数 n A B CSd A B d A C d B C 设 P P 中有 m m 2 个元素 记 P 中所有两元素间距离的平均值为 P n S d 证明 P d2 1 mn m 考生务必将答案答在答题卡上 在试卷上作答无效 证明 I 设 12 n Aa aa 12 n Bb bb 12 n Cc cc n S 因为 所以 www ks i a 0 1 i b 0 1 ii ab 1 2 in 从而 1122 nnn ABabababS 又 1 n iiii i d AC BCacbc 由题意知 i a i b i c 0 1 1 2 in 当时 0 i c iiiiii a cbcab 当时 1 i c 1 1 iiiiiiii a cbcabab 所以 1 n ii i d AC BCabd A B II 设 12 n Aa aa 12 n Bb bb 12 n Cc cc n S d A Bk d A Cl d B Ch 记 由 I 可知 0 0 0 n OS d A Bd AA BAd O BAk d A Cd AA CAd O CAl d B Cd BA CAh 所以中 1 的个数为 的 1 的 1 2 ii bain k 1 2 ii cain 个数为 l 设 是使成立的 的个数 则t 1 iiii baca i2hlkt 由此可知 三个数不可能都是奇数 k l h 即 三个数中至少有一个是偶数 d A B d A C d B C III 其中表示中所有两个元素间距离的总和 www ks 2 1 A B P m d Pd A B C A B P d A B P 设种所有元素的第 个位置的数字中共有个 1 个 0Pi i t i mt 则 A B P d A B 1 n ii i t mt 由于 i t i mt 2 1 2 4 m in 所以 A B P d A B 2 4 nm 从而 2 22 1 42 1 A B P mm nmmn d Pd A B CCm 2010 四川理数 四川理数 21 本小题满分 12 分 已知数列 an 满足 a1 0 a2 2 且对任意 m n N 都有 a2m 1 a2n 1 2am n 1 2 m n 2 求 a3 a5 设 bn a2n 1 a2n 1 n N 证明 bn 是等差数列 设 cn an 1 an qn 1 q 0 n N 求数列 cn 的前 n 项和 Sn 本小题主要考查数列的基础知识和化归 分类整合等数学思想 以及推理论证 分析与解决问题的能力 解 1 由题意 零 m 2 n 1 可得 a3 2a2 a1 2 6 再令 m 3 n 1 可得 a5 2a3 a1 8 20 2 分 2 当 n N 时 由已知 以 n 2 代替 m 可得 a2n 3 a2n 1 2a2n 1 8 于是 a2 n 1 1 a2 n 1 1 a2n 1 a2n 1 8w w w k s5 u c o m 即 bn 1 bn 8 所以 bn 是公差为 8 的等差数列 5 分 3 由 1 2 解答可知 bn 是首项为 b1 a3 a1 6 公差为 8 的等差数列 则 bn 8n 2 即 a2n 1 a2n 1 8n 2 另由已知 令 m 1 可得 an n 1 2 211 2 n aa 那么 an 1 an 2n 1w w w k s5 u c o m 2121 2 nn aa 2n 1 82 2 n 2n 于是 cn 2nqn 1 当 q 1 时 Sn 2 4 6 2n n n 1 当 q 1 时 Sn 2 q0 4 q1 6 q2 2n qn 1 两边同乘以 q 可得 qSn 2 q1 4 q2 6 q3 2n qn 上述两式相减得 1 q Sn 2 1 q q2 qn 1 2nqnw w w k s5 u c o m 2 2nqn 1 1 n q q 2 1 1 1 1 nn nqnq q 所以 Sn 2 1 2 1 1 1 nn nqnq q 综上所述 Sn 12 分 1 2 1 1 1 1 2 1 1 nn n nq nqnq q q A 20102010 天津文数 天津文数 22 本小题满分 14 分 在数列中 0 且对任意 k 成等差数列 其公差为 2k n a 1 a N 2k 12k2k 1 a a a 证明成等比数列 456 a a a 求数列的通项公式 n a 记 证明 222 23 23 n n n T aaa A A A n 3 2nT2 n 2 2 解析 本小题主要考查等差数列的定义及前 n 项和公式 等比数列的定义 数列求和等基础知识 考 查运算能力 推理论证能力 综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法 满分 14 分 I 证明 由题设可知 21 22aa 32 24aa 43 48aa 54 412aa 65 618aa 从而 所以 成等比数列 65 54 3 2 aa aa 4 a 5 a 6 a II 解 由题设可得 2121 4 kk aak kN 所以 2112121212331 kkkkk aaaaaaaa 441 4 1kk 21 k kkN 由 得 从而 1 0a 21 21 k ak k 2 221 22 kk aakk 所以数列的通项公式为或写为 n a 2 2 1 2 2 n n n a n n 为奇数 为偶数 2 11 24 n n n a nN III 证明 由 II 可知 21 21 k ak k 2 2 2 k ak 以下分两种情况进行讨论 1 当 n 为偶数时 设 n 2m mN 若 则 1m 2 2 22 n k k k n a 若 则2m 22 222 11 2 21111 221 2214441 221 nmmmm kkkkk kkk kkkkkk aaakk k 2 11 11 4411 11 222 212121 mm kk kk mm k kk kkk 1131 22112 22 mmn mn 所以 从而 2 2 31 2 2 n k k k n an 2 2 3 22 4 6 8 2 n k k k nn a 2 当 n 为奇数时 设 21 nmmN 22 22 2 22 21 212131 4 2221 nm kk kkm mmkk m aaamm m 1131 42 22121 mn mn 所以 从而 2 2 31 2 21 n k k k n an 2 2 3 22 3 5 7 2 n k k k nn a 综合 1 和 2 可知 对任意有2 nnN 3 22 2 n nT 20102010 天津理数 天津理数 22 本小题满分 14 分 在数列中 且对任意 成等差数列 其公差为 n a 1 0a kN 21k a 2k a 21k a k d 若 证明 成等比数列 k d2k 2k a 21k a 22k a kN 若对任意 成等比数列 其公比为 kN 2k a 21k a 22k a k q 解析 本小题主要考查等差数列的定义及通项公式 前 n 项和公式 等比数列的定义 数列求和等基 础知识 考查运算能力 推理论证能力 综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法 满分 14 分 证明 由题设 可得 4 2121 aak kN kk 所以 131 2121212123 aaaaaaaa kkkkk 44 1 4 1kk 2k k 1 由 0 得 1 a 22 2 1 22 2 1 2122122 ak kaakkak kkkk 从而 于是 11 21222221 221212 aaaa kk kkkk akakaa kkkk 所以 所以成等比数列 2 22122 k dkkNaaa kkk 时 对任意 证法一 i 证明 由成等差数列 及成等比数列 2 2121 k aaa kk 22122 aaa kkk 得 21211 2 2 22121 221 k aa kk aaaq kkk aaq kkk 当 1 时 可知 1 k 1 q k q N 从而 11111 1 1 2 11 1 1111 21 1 k qqqq kkkk qk 即 所以是等差数列 公差为 1 1 1qk 证明 可得 从而 1 由 有 1 0a 2 2a 3 4a 1 4 2 2 q 1 1 1 q 11 11 1 k k kkqkN qk k 得 所以 2 2 22211221 2122 aaa kkkkk kN aakak kkk 从而 因此 222 2 2 222 1 2 22214 22 2 1 2212 1 2 1 22242 k aaa kk kkk aak aak kkN kk aaakkk kk 以下分两种情况进行讨论 1 当 n 为偶数时 设 n 2m mN 若 m 1 则 2 2 22 n k k k n a 若 m 2 则 2222 1 2 2111 221 2 21 4 2 nmmm kkkk kkk kkkk aaak 22 111 111 4414411 11 222 2 1 2 1 2 1 21 1131 22 1 1 2 22 mmm kkk kkkk mm k kk kk kkk mmn mn 所以 22 22 313 2 22 4 6 8 22 nn kk kk kk nnn ana 从而 2 当 n 为奇数时 设 n 2m 1 mN 2 222 2 22 21 21 31 21 4 222 1 nm kk kkm kkmm m aaamm m 1131 42 22 1 21 mn mn 所以从而 2 2 31 2 21 n k k k n an 2 2 3 22 3 5 7 2 n k k k nn a 综合 1 2 可知 对任意 有2n nN 2 2 3 22 2 n k k k n a 证法二 i 证明 由题设 可得 212222 1 kkkkkkkk daaq aaaq 所以 2 12221222 1 kkkkkkkkkk daaq aq aa q q 1kkk dq d 232211 1 2 222222 1 111 kkkkkk k kkkkkkk aadddq q aaq aq aq 由可知 可得 1 1q 1 k qkN 1 111 1 1111 k kkkk q qqqq 所以是等差数列 公差为 1 1 1 k q ii 证明 因为所以 12 0 2 aa 121 2daa 所以 从而 于是 由 i 可知所以是公差为 1 的等 321 4aad 3 1 2 2 a q a 1 1 1 1q 1 1 k q 差数列 由等差数列的通项公式可得 故 1 1 k q 11kk 1 k k q k 从而 1 1 k k k dk q dk 所以 由 可得 12 1121 12 121 kkk kk ddddkk k ddddkk 1 2d 2 k dk 于是 由 i 可知 2 212 21 2 kk ak kakkN 以下同证法一 20102010 全国卷全国卷 1 1 理数 理数 22 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 注意 在试题卷上作答无效 已知数列中 n a 11 1 1 n n aac a 设 求数列的通项公式 51 22 n n cb a n b 求使不等式成立的的取值范围 1 3 nn aa c 2010 四川文数 四川文数 20 本小题满分 12 分 w w w k s5 u c o m 已知等差数列的前 3 项和为