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第三章导数的应用 第一节微分中值定理 第二节函数的性质 第三节洛必达法则 1 第二节函数的性质 一 函数的单调性 二 函数的极值 本节主要内容 三 函数的最值 四 曲线的凹凸性 五 曲线的渐近线 六 函数的分析作图法 2 一 函数的单调性 3 定理3 2 1 函数单调性的判定法 设y f x 在 a b 上连续 在开区间 a b 内可导 则 1 如果在 a b 内f x 0 那么函数y f x 在 a b 上单调增加 2 如果在 a b 内f x 0 那么函数y f x 在 a b 上单调减少 4 1 求函数单调区间 2 证明不等式 通常是两项不等式 利用导数性质来判断函数的性质 它包含两个典型的问题 单调性的应用 5 例1讨论函数y x3的单调性 y x3的定义域为 y 3x2 当x 0 和 0 时 y 0 由函数图像可知函数在 上是单调递增的 当x 0时 y 0 当f x 在某区间内仅在个别点处的导数为0或不存在 而在其余各点处导数均为正 或负 时 f x 在该区间仍是单增 或单减 的 解 6 例2讨论函数f x ex x 1的单调性 函数的定义域为 当x 0时 y 0 函数在 0 上单调增加 当x 0时 y 0 函数在 0 上单调减少 当x 0时 y 0 y ex 1 x 0为单调区间的分界点 解 7 当f x 在定义区间除去有限个点外导数均存在 那么只要用导数为零的点 驻点 和导数不存在的点来划分f x 的定义域 就能保证在各个部分区间上单调 单调区间的分界点为驻点和不可导点 当x 0时 y 0 函数在 0 上单调增加 当x 0时 y 0 函数在 0 上单调减少 当x 0时 y 不存在 函数的定义域为 x 0为单调区间的分界点 解 例3讨论函数的单调性 8 1 确定f x 的定义域 2 求出函数在考察范围内的全部驻点和不可导点 除指定范围外 考察范围一般是指函数定义域 3 用这些驻点和不可导点将考察范围划分成若干个子区间 4 确定f x 在各部分区间的符号 据判定定理判定出f x 的单调性 求函数单调区间的步骤 9 例4求函数f x x3 3x2 9x 1的单调区间 2 f x 3x2 6x 9 3 x 1 x 3 无不可导点 令f x 0 得x1 1 x2 3 3 它们将定义域划分为三个子区间 1 1 3 3 1 函数的定义域为 1 1 1 3 3 3 0 0 驻点 驻点 所以 1 和 3 是单调增区间 1 3 是单调减区间 解 10 令f x 0 得 x2 4 5 3 将定义域分为三个区间 0 0 4 5 4 5 1 函数的定义域为 0 0 0 4 5 4 5 4 5 不存在 0 不可导点 驻点 所以 0 和 4 5 是单调增区间 0 4 5 是单调减区间 例5求函数的单调区间 2 不可导点为x1 0 解 11 例6证明 当x 0时 ex 1 x f x ex 1 所以 x 0 有f x f 0 0 即ex 1 x 0 令f x ex 1 x 则f x 在 0 上连续 可导 且 当x 0时 y 0 函数在 0 上单调增加 所以当x 0时 ex 1 x 利用单调性证明不等式 证明 12 又因为 f 0 0 所以 当x 0时 y 0 函数在 0 上单调增加 所以 x 0 有f x f 0 即不等式成立 例7证明 令 则 证明 13 o x y y x M m a b 设函数y x 在 a b 内图形如下图 在 1处的函数值f 1 比它附近各点的函数值都要小 而在 2处的函数值f 2 比它附近各点的函数值都要大 但它们又不是整个定义区间上的最小 最大值 为此 我们引入极值与极值点的概念 二 函数的极值 14 定义3 2 1设函数f x 在x0的某领域N x0 内有定义 都有 1 f x f x0 成立 则称f x0 为函数f x 的极小值 函数的极大值与极小值统称为函数的极值 使函数取得极值的点称为极值点 注 1 极值是指函数值 而极值点是自变量的值 2 函数的极值概念具有局部性 在小范围内比较 该点的函数值较大或较小 而不是在整个定义域上最大或最小 所以函数的极大值不一定比极小值大 3 函数极值点必出现在区间内部 而不在区间的端点 15 f x 的极小值点 f x 的极大值点 16 定理3 2 2 极值的必要条件 设函数f x 在点x0处可导 且在点x0处取得极值 那么函数f x 在点x0处的导数为零 即f x0 0 极值的必要条件 17 1 可导函数的极值点必是它的驻点 从而有几何意义 可导函数的图形在极值点处的切线是与x轴平行的 罗尔定理 2 对可导函数来说 驻点不一定是极值点 即曲线上有水平切线的地方 函数不一定有极值 如 o x y 则x 0为f x x3的驻点 如图 x 0不是f x x3的极值点 说明 18 3 对于函数y x 我们已知x 0是函数的连续不可导点 但x 0是函数的极小值点 如图 o x y x 实际上 连续不可导点也可能是极值点 因而函数还可能在连续不可导点处取得极值 19 定理3 2 3 极值的第一充分条件 设函数f x 在点x0某个空心邻域内可导 f x0 可以不存在 x为该邻域内任意一点 1 当x0 当x x0时f x x0时f x 0 则f x0 为函数f x 的极小值 3 当xx0时f x 的符号相同 则f x0 不是函数f x 的极值 极值的充分条件 20 是极值点情形 不是极值点情形 21 定理3 2 4 极值的第二充分条件 设函数f x 在点x0处二阶可导 且f x0 0 f x0 0 则 1 当f x0 0时 函f x 在点x0处取得极小值 注 1 第一充分条件适用于驻点和不可导点 而第二充分条件只能对驻点判定 2 当f x0 0时 无法判定f x 在点x0处是否有极值 22 1 确定函数f x 的考察范围 除指定范围外 考察范围一般是指函数定义域 2 求出函数f x 的导数f x 求出函数f x 的所有驻点及不可导点 即求出f x 0的根和f x 不存在的点 3 列表 利用第一充分条件或第二充分条件 判定上述驻点或不可导点是否为函数的极值点 并求出相应的极值 求极值的方法 23 例8求函数的极值 3 列表 1 函数的定义域为 2 0 2 4 5 4 5 1 极大值0 0 所以f x 在x 0处取得极大值为0 在x 4 5处取得极小值为 8 4 2 无不可导点 令f x 0 得 0 极小值 8 4 4 5 1 1 0 无极值 解 24 例9求函数的极值 令f x 0 得 1 函数的定义域为 所以f x 在x 1处取得极大值为17 在x 3处取得极小值为 47 2 无不可导点 3 因为 解 25 定义3 2 2设函数f x 在区间I上有定义 x1 x2 I 1 若 x I 都有f x f x1 成立 则称f x1 为函数f x 的最大值 x1为函数f x 的最大值点 2 若 x I 都有f x f x2 成立 则称f x2 为函数f x 的最小值 x2为函数f x 的最小值点 函数的最大值与最小值统称为函数的最值 使函数取得最值的点称为最值点 三 函数的最值 26 27 1 最值是一个整体概念 在某一范围内 最值若存在 只能是唯一的 2 最值点可以是I内部的点 也可以是端点 3 如果最值点不是I的端点 那么它必定是极值点 极值点不一定是最值点 4 当函数存在唯一的极值点时 函数的极大 小 值就是函数的最大 小 值 说明 28 2 求出函数f x 在内的所有可能极值点 驻点及不可导点 即求出f x 0的根和f x 不存在的点 3 计算函数f x 在驻点 不可导点处及端点a b处的函数值 4 比较这些函数值 其中最大者的即为函数的最大值 最小者的即为函数的最小值 1 确定函数f x 的考察范围 除指定范围外 考察范围一般是指函数定义域 求最值的方法 一 29 例10求函数在区间 0 4 上的最值 3 计算得f 1 32 f 2 5 又f 0 25 f 4 57 1 考察区间为 0 4 所以f x 在区间 0 4 上的最大值是f 4 57 最小值是f 2 5 2 无不可导点 令f x 0 得 解 30 1 当f x0 是极大值时 f x0 就是区间I上的最大值 2 当f x0 是极小值时 f x0 就是区间I上的最小值 设函数f x 在区间I内可导 且只有唯一驻点x0 又x0是f x 的极值点 则 求最值的方法 二 31 x R 有 令f x 0有唯一驻点 假设 例11证明 x R 有 又 所以函数f x 在x 1 2处取得极小值 即最小值 因而 x R 有f x 0即 证明 32 在实际问题中 往往根据问题的性质就可以断定可导函数f x 必存在最大值 或最小值 而且一定在定义区间内部取到 这时 如果f x 在定义区间内部只有唯一驻点x0 那么 可以断定f x0 就是最大值 或最小值 不必讨论f x0 是否为极值 求最值的方法 三 33 例12要做一个容积为V的有盖圆柱形水桶 问半径r与桶高h如何确定 可使所用材料最省 假设水桶表面积为S 则 容积 要使所用材料最省 就要使水桶表面积最小 解 34 令S r 0 得唯一的驻点 此时h 2r0 所以当半径r为 桶高h为时 可使所用材料最省 35 1 根据题意建立函数关系式y f x 2 根据实际问题确定函数的定义域 3 求出驻点 若定义域为开区间且驻点只有一个 则该驻点所对应函数值就是所求 如果驻点有多个 且函数既存在最大值也存在最小值 则需比较这几个驻点处的函数值 其中最大值即为所求最大值 其中最小值即为所求最小值 实际问题求最值 36 曲线的凹凸性是描述函数性状的一个更深入的概念 例如 四 曲线的凹凸性 37 1 2 曲线 1 上任意两点 x1 f x1 x2 f x2 之间的弦上的点位于曲线相应点的下面 即曲线在弦之上 曲线 2 则相反 曲线在弦之下 几何解释 38 定义3 2 3设f x 在区间 a b 上连续 如果对 a b 内任意两点x1 x2 恒有那么称f x 在 a b 上的图形是凹的 记为 如果恒有那么称f x 在 a b 上的图形是凸的 记为 39 1 观察切线与曲线的位置关系 1 凹 曲线位于其任一点切线的上方 凸 曲线位于其任一点切线的下方 2 观察切线斜率的变化与曲线凹凸性的关系 2 凹 切线斜率单调递增 凸 切线斜率单调递减 观察与思考 40 定义3 2 4曲线凹与凸的分界点称为曲线的拐点 如果 x0 f x0 是拐点且f x0 存在 问f x0 如何找可能的拐点 如何确定曲线y f x 的拐点 o x y y x a A B b c C 讨论 41 1 在拐点 x0 f x0 处f x0 0或f x0 不存在 2 只有f x0 等于零或不存在 x0 f x0 才可能是拐点 3 如果在x0的左右两侧f x 异号 则 x0 f x0 是拐点 2 拐点是曲线上的点 从而拐点的坐标需用横坐标与纵坐标同时表示 不能仅用横坐标表示 这与驻点及极值点的表示方法不一样 1 拐点一定是f x 0或不存在的点 但是f x 0或不存在的点不一定都是拐点 结论 注意 42 定理3 2 5设f x 在 a b 上连续 在 a b 内具有二阶导数 若在 a b 内f x 0 则f x 在 a b 上的图形是凹的 若在 a b 内f x 0 则f x 在 a b 上的图形是凸的 曲线凹凸性判定定理 43 若曲线y f x 在点x0连续 f x0 0或不存在 f x 在x0两侧异号 则点 x0 f x0 是曲线的一个拐点 1 确定函数的定义域 2 在定义域内求f x 0的点和f x 不存在的点 3 用上述点划分定义域 并列表判别函数的凹凸性 拐点的判定 求曲线凹向区间和拐点的步骤 44 f x 没有为0的点 但是x 4时 f x 不存在 例13讨论曲线的凹向区间与拐点 x f x f x 4 4 4 不存在 拐点 4 2 1 函数的定义域为 解 45 定义3 2 5若曲线L上的动点P沿着曲线无限地远离原点时 点P与一条定直线C的距离趋于零 则称直线C为曲线L的渐近线 当C垂直于x轴时 称C为曲线L的垂直渐近线 当C垂直于y轴时 称C为曲线L的水平渐近线 五 曲线的渐近线 46 例如 对于曲线来说 1 水平渐近线 47 所以直线 都是该曲线的水平渐近线 又如 曲线 48 例如 对于曲线y lnx来说 所以直线x 0是曲线y lnx 的垂直渐近线 2 垂直渐近线 49 所以直线x 1是该曲线的水平渐近线 又如 曲线 50 所以 y 2为水平渐近线 例14求曲线的渐近线 所以 x 1为垂直渐近线 解 51 所以 x 0为垂直渐近线 例15求曲线的渐近线 所以 y 2为水平渐近线 解 52 作函数y f x 图象的一般步骤为 1 确定函数y f x 的定义域 分析函数的奇偶性 周期性 2