机械零件的应力应变分析.docx

33机械零件的应力应变分析 一、拉（压）杆应力应变分析 （一）应力分析 前面应用截面法，可以求得任意截面上内力的总和，现在进一步分析横截面上的应力情况，首先研究该截面上的内力分布规律，内力是由于杆受外力后产生变形而引起的，我们首先通过实验观察杆受力后的变形现象，并根据现象做出假设和推论；然后进行理论分析，得出截面上的内力分布规律，最后确定应力的大小和方向。 现取一等直杆，拉压变形前在其表面上画垂直于杆轴的直线和（图3-28）。拉伸变形后，发现和仍为直线，且仍垂直于轴线，只是分别平行地移动至和。于是，我们可以作出如下假设：直杆在轴向拉压时横截面仍保持为平面。根据这个“平面假设”可知，杆件在它的任意两个横截面之间的伸长变形是均匀的。又因材料是均匀连续的，所以杆件横截面上的内力是均匀分布的，即在横截面上各点处的正应力都相等。若杆的轴力为，横截面积为,于是得： ? (32)这就是拉杆横截面上正应力的计算公式。当为压力时，它同样可用于压应力计算。规定拉应力为正，压应力为负。 例33? 图3-29（a）为一变截面拉压杆件，其受力情况如图示，试确定其危险截面。 解? 运用截面法求各段内力，作轴力图图3-29（b）： 段：? 段：段：? 段：根据内力计算应力，则得： 段：? 段：段：最大应力所在的截面称为危险截面。由计算可知，段和段为危险截面。 （二）、拉（压）杆的变形 杆件受轴向拉力时，纵向尺寸要伸长，而横向尺寸将缩小；当受轴向压力时，则纵向尺寸要缩短，而横向尺寸将增大。 设拉杆原长为，横截面面积为(图3-30)。在轴向拉力P作用下，长度由变为，杆件在轴线方向的伸长为, 。 实验表明，工程上使用的大多数材料都有一个弹性阶段，在此阶段范围内，轴向拉压杆件的伸长或缩短量，与轴力和杆长成正比，与横截面积成反比。即，引入比例常数则得到： ? （33） 这就是计算拉伸（或压缩）变形的公式，称为胡克定律。比例常数称为材料的弹性模量，它表征材料抵抗弹性变形的性质，其数值随材料的不同而异。几种常用材料的值已列入表31中。从公式（33）可以看出，乘积越大，杆件的拉伸（或压缩）变形越小，所以称为杆件的抗拉（压）刚度。 上式改写为： 其中，而表示杆件单位长度的伸长或缩短，称为线应变(简称应变)，即。是一个无量纲的量，规定伸长为正，缩短为负。 则（33）式可改写为：? ? （3-4） 式（3-17）表示，在弹性范围内，正应力与线应变成正比。这一关系通常称为单向胡克定律。 杆件在拉伸（或压缩）时，横向也有变形。设拉杆原来的横向尺寸为，变形后为（图3-30），则横向应变为： 实验指出，当应力不超过比例极限时，横向应变与轴向应变之比的绝对值是一个常数。即 称为横向变形系数或泊松比，是一个无量纲的量。和弹性模量E一样，泊松比也是材料固有的弹性常数。 因为当杆件轴向伸长时，横向缩小；而轴向缩短时，横向增大，所以和符号是相反的。 表3-1 几种常用材料的和的约值 材料名称 E(GPa)值 值 碳? 钢 合? 金? 钢 灰? 铸? 铁 铜及其合金 铝? 合? 金 19621618620678.515772.6128700.240.280.250.300.230.270.310.420.33例3-4? 图3-31中的螺栓内径=10.1mm，拧紧后在计算长度=800mm上产生的总伸长=0.03mm。钢的弹性模量=200GPa。试计算螺栓内的应力和螺栓的预紧力。 解? 拧紧后螺栓的应变为： 根据胡克定律，可得螺栓内的拉应力为： (MPa)螺栓的预紧力为： ?=6(kN)以上问题求解时，也可以先由胡克定律的另一表达式（1363）即求出预紧力，然后再由预紧力计算应力。 例3-5? 图3-32（a）为一等截面钢杆，横截面面积=500mm2，弹性模量=200GPa。所受轴向外力如图示，当应力未超过200MPa时，其变形将在弹性范围内。试求钢杆的总伸长。 解? 应用截面法求得各段横截面上的轴力如下： 段? =60(kN)段? =60-80= -20(kN) 段? =30(kN)由此可得轴力图图3-32（b）由式（32）可得各段横截面上的正应力为： 段? (MPa) 段? (MPa)段? (MPa)由于各段内的正应力都小于200MPa，即未超过弹性限度，所以均可应用胡克定律来计算其变形。全杆总长的改变为各段长度改变之和。由式（1363）即得： 二、拉伸和压缩时材料的机械性质 在外力作用下不同材料所表现的机械性质不同。所谓材料的机械性质或力学性质主要是指，材料在外力作用下表现出的变形和破坏方面的特性。因此，要解决构件的强度及刚度问题，就必须通过试验来研究材料的机械性质，作为合理选择材料及计算的依据。我们将在常温、静载的条件下，通过对材料进行拉伸及压缩试验，观察材料在开始受力直到破坏这一全过程中所呈现的各种现象，来认识材料的各项机械性质。 为使试验结果能互相比较，采用标准试件。拉伸试件的形状如图3-33所示，中间为较细的等直部分，两端加粗。在中间等直部分取长为的为一段作为工作段，称为标距。对圆截面试件，标距与横截面直径有两种比例，=10和=5。由国家规定的试验标准（金属拉力试验法GB228-76），对试件的形状、加工精度、试验条件等都有具体规定。 1. 拉伸时材料的机械性质 1、低碳钢 低碳钢是工程上常用的材料。在拉伸试验中，低碳钢表现出来的机械性质最为典型，故选择其作为拉伸试验的典型材料。 试件装上试验机后，缓慢加载。试验机的示力盘指出一系列拉力的数值，对应着每一个拉力，同时又可测出试件标距的伸长量。以纵坐标表示拉力，横坐标表示伸长量。根据测得的一系列数据，作图表示和的关系（图3-34），称为拉伸图或-曲线。 -曲线与试件的尺寸有关。为了消除试件尺寸的影响，可把-曲线改为曲线，亦即纵坐标用应力和横坐标用应变，其中为试验前试件的横截面面积，为试验前的标距。这样画出的曲线（图3-35），称为应力-应变图或曲线。从应力-应变图中，可以得到一系列重要的机械性质。 根据试验结果，低碳钢的机械性质大致如下： （1）弹性阶段：在拉伸的初始阶段，的关系为直线，这表示在这一阶段内成正比，此直线段的斜率即材料的弹性模量，即。直线的最高点所对应的应力，用来表示，称为比例极限。当应力不超过比例极限时，材料服从胡克定律。 超过比例极限后，从点到点，间的关系不再是直线。但变形仍是弹性的，即解除拉力后变形将完全消失。点对应的应力称为弹性极限，用来表示。在曲线上，两点非常接近，所以工程上对弹性极限和比例极限并不严格区分。 如果超过了弹性极限，则会产生塑性变形。 （2） 屈服阶段：当应力超过点增加到某一数值时，应变有非常明显的增加，而应力先是下降，然后在很小的范围内波动，在曲线上出现接近水平线的小锯齿形线段。这种现象称为屈服或流动。在屈服阶段内的最高应力和最低应力分别称为上屈服极限和下屈服极限。上屈服极限的值受变形速度及试件形状的影响较大，故常把数值比较稳定的下屈服极限称为屈服极限或流动极限，用表示。 表面光滑的试件在应力达到屈服极限时，表面将出现与轴线大致成45倾角的条纹（图3-36）。因为在45的斜截面上作用着数值最大的剪应力，所以这是材料沿最大剪应力作用面发生滑移的结果，这些条纹称为滑移线。 当材料屈服时，将引起显著的塑性变形。而零件的塑性变形将影响机器的正常工作，所以屈服极限是衡量材料强度的重要指标。 （3）强化阶段：过了屈服阶段后，材料又恢复了抵抗变形的能力，要使它继续变形必须增加拉力。这种现象称为材料的强化。在图3-35中，强化阶段中最高点所对应的应力，是试件所能承受的最大应力，称为强度极限，用表示。在强化阶段中试件横向尺寸明显缩小。 （4）颈缩阶段：过点后，试件局部显著变细，并形成颈缩现象（图3-37所示）。由于在颈缩部分横截面面积迅速减小，因此使试件继续变形所需的载荷也相应减小。在图中，用横截面原始面积算出的应力随之下降，降落到点，试件被拉断。 因为应力到达强度极限后，试件出现颈缩现象，随后即被拉断，所以强度极限是衡量材料强度的另一重要指标。 （5）塑性指标：试件拉断后，弹性变形消失，而塑性变形依然保留。常用来表示材料的塑性性能的指标有二：一是延伸率，用表示，即 ? （3-5） 式中是拉断后的标距长度。 另一塑性指标为截面收缩率，以表示，即 ? ?（3-6） 式中是拉断后断口处横截面面积。 都表示材料直到拉断时其塑性变形所能达到的最大程度。愈大，说明材料的塑性愈好。故是衡量材料塑性的两个重要指标。 工程上通常按延伸率的大小把材料分成两大类，5%的材料称为塑性材料，如碳钢、黄铜、铝合金等；而把1。可用符号表示，称为材料的许用应力。 对塑性材料，其许用应力为： ? （3-7） 对脆性材料，其许用应力为： ? （3-8） 表1363给出几种常用材料在静载，常温条件下的许用应力值。 表3-2 常用材料的许用应力值 材料名称 牌号 许用应力（MPa） ly普通钢 A2137152137152普通碳钢 A3 152167152167优质碳钢 45216238216238低碳合金钢 16Mn211238211238灰铸铁 2878118147铜 2911829118铝 29782978松木（顺纹） 6.99.88.612混凝土 0.0980.690.988.8注：（1）l为许用拉应力，y为许用压应力。 （2）材料质量较好，尺寸较小时取上限反之取下限。 采用安全系数的原因，主要是由于以下两个方面： 一是强度计算中，有些数据与实际有差异。这种差异，主要是指材料组织不是理想均匀的，载荷估计不十分准确以及应力计算的近似性。 二是给构件一定的强度储备。 即使载荷的估计，应力的计算等方面都比较准确，在强度方面也还是要留有一定的储备。这种强度储备要考虑到构件的工作条件及构件的重要性等。如构件在腐蚀条件下工作时，或构件的破坏要引起严重的后果时，均应给予较多的强度储备。所以安全系数的选择必须考虑构件的具体工作条件。 一般在静载荷下，对塑性材料取n=1.22.5,对脆性材料取n=23.5塑性材料的抗拉与抗压是等强度的，所以拉伸与压缩的许用应力是相同的。对脆性材料，由于抗拉强度和抗压强度是不同的，所以许用应力小于许用应力。 合理的选择安全系数是一个比较复杂的问题，安全系数偏大会造成材料的浪费，偏小又可能造成破坏事故，所以安全系数的确定是关系到安全与经济的大问题。 四、圆轴扭转时的应力与变形 （一）应力计算 1、横截面上剪应力计算公式 式3-9即为圆轴扭矩时横截面上任一点剪应力的计算公式只与横截面的尺寸有关，称为横截面对点的极惯性矩，其量纲为长度4。故（e）式可写成： ? (3-9)。 由式（3-9）看出，当等于横截面半径时，剪应力最大，其值为： ? ?(3-10)令 ? ?(3-11)于是横截面上最大剪应力为 ? ?(3-12)式中称为抗扭截面模量，它也只与截面尺寸有关，其量纲为长度3。 公式（3-21）、（3-9）和（3-12）是以平面假设为基础导出的。试验结果表明，只有对横截面不变的圆轴，平面假设才是正确的。因此，这些公式只适用于圆轴（包括实心轴和空心轴）的扭转问题。此外，导出公式时还应用了胡克定律，所以只适用于不超出材料的剪切比例极限的情况。 2、的计算 实心圆轴如图3-44所示，以（c）式代入（f）式得： ? (3-13)式中为圆截面的直径。 ? (3-14)空心圆轴如图3-45所示，因为横截面上的空心部分没有内力，所以（f）式中的定积分也不应包括空心部分，于是（f）式应为： ?（3-15） ? （3-16） 式中，分别为空心圆截面的外径和内径，为外半径。 （二）圆轴扭转时的变形扭转变形的标志是两个横截面绕轴线的相对转角，即扭转角。由公式（3-21）得： ? （a） 表示相距为的两横截面间的扭转角。因此长为的两个横截面之间的相对转角为： ? （b） 当杆只在两端受一对外力偶作用时，则所有横截面上的均相等；又对于同一种材料制成的等直圆杆为常量；于是将上式积分后得： ? （3-17） 式中为圆轴的抗扭刚度，称为长为的等直圆轴的扭转角。 若在需求相对扭转角的两截面间，值发生改变，或者轴为阶梯轴，并非常量，则应分段计算各段的扭转角，然后相加，即 ? （3-18） 注意，上述扭转变形的计算公式是建立于剪切胡克定律基础上的，故公式（3-17）、（3-18）只有在材料处于弹性范围内才是正确的。 五、弯曲时的正应力 梁的变形时，横截面的轮廓线在梁弯曲后仍然保持在一平面内，这就启示我们提出以下假设：梁的所有横截面在变形过程中要发生转动，但仍保持为平面，并且和变形后的梁轴线垂直。这一假设称为平面假设。又因为梁下部的纵向纤维伸长而宽度减小，上部纵向纤维缩短而宽度增加。因此又假设：所有与轴线平行的纵向纤维都是轴向拉伸或压缩。（即纵向纤维之间无挤压）。以上假设之所以成立，是因为以此为基础所得到的应力和变形公式为实验所证实。这样，平面假设就反映出梁弯曲变形的本质了。 根据平面假设，把梁看成由无数纵向纤维所组成，包括oo在内且与底面平行的一层纵向纤维，既不伸长也不缩短，我们把它叫中性层，中性