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双曲线及其标准方程 1 我们知道 2 引入问题 椭圆 画双曲线 演示实验 用拉链画双曲线 画双曲线 演示实验 用拉链画双曲线 如图 A MF1 MF2 F2F 2a 如图 B 上面两条合起来叫做双曲线 由 可得 MF1 MF2 2a 差的绝对值 MF2 MF1 F1F 2a 根据实验及椭圆定义 你能给双曲线下定义吗 两个定点F1 F2 双曲线的焦点 F1F2 2c 焦距 2a F1F2 平面内与两个定点F1 F2的距离的差的绝对值等于常数 小于 F1F2 的点的轨迹叫做双曲线 双曲线定义 思考 1 若2a F1F2 则轨迹是 2 若2a F1F2 则轨迹是 MF1 MF2 2a 1 两条射线 2 不表示任何轨迹 x o 设P x y 双曲线的焦距为2c c 0 F1 c 0 F2 c 0 常数 2a F1 F2 P 以F1 F2所在的直线为X轴 线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系 1 建系 2 设点 3 列式 PF1 PF2 2a 4 化简 如何求双曲线的标准方程 令c2 a2 b2 y o F1 M 焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么 想一想 双曲线的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 问题 如何判断双曲线的焦点在哪个轴上 F c 0 F 0 c x2与y2的系数符号 决定焦点所在的坐标轴 x2 y2哪个系数为正 焦点就在哪个轴上 双曲线的焦点所在位置与分母的大小无关 焦点在x轴上 焦点在y轴上 练习 写出以下双曲线的焦点坐标 请注意焦点的位置 F 5 0 F 0 5 例1已知双曲线的焦点为F1 5 0 F2 5 0 双曲线上一点P到F1 F2的距离的差的绝对值等于6 求双曲线的标准方程 2a 6 c 5 a 3 c 5 b2 52 32 16 所以所求双曲线的标准方程为 根据双曲线的焦点在x轴上 设它的标准方程为 解 点P的轨迹为双曲线 课堂练习 1 写出适合下列条件的双曲线的标准方程1 a 4 b 3 焦点在x轴上 2 a c 4 焦点在坐标轴上 解 双曲线的标准方程为 使A B两点在x轴上 并且点O与线段AB的中点重合 解 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s 可知A地与爆炸点的距离比B地与爆炸点的距离远680m 因为 AB 680m 所以爆炸点的轨迹是以A B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上 例2 已知A B两地相距800m 在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s 且声速为340m s 求炮弹爆炸点的轨迹方程 如图所示 建立直角坐标系xOy 设爆炸点P的坐标为 x y 则 即2a 680 a 340 因此炮弹爆炸点的轨迹方程为 例3 如果方程表示双曲线 求m的范围 解 m 1 2 m 2或m 1 MF1 MF2 2a 2a F1F2 F c 0 F 0 c 小结 F c 0 F c 0 a 0 b 0 但a不一定大于b c2 a2 b2
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