易拉罐建模.doc

易拉罐形状和尺寸的最优设计摘要 我们都见过日常身活中的罐装可乐,他们的形状大小都是差不多,大部分都是355ml,为什么要设计成这个差不多样子,这不是偶然,商家要获取利益,是不是这样设计能够节省成本,所以应该是一种最有设计,之后通过数学建模去探究问题,易拉罐形状和尺寸的最优设计.关键词 最优设计 材料减少 lingo第一问: 取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。数据出见处参考文献第二问:设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。顶盖直径1 问题重述 我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。 为了实现可持续的经济发展，解决能源危机和人类正常发展，我们要提升利用资源的效率，合理的、科学的对我们现有的资源进行生产配置，实现资源的最优化利用. 所以思路是一个饮料量为355毫升的易拉罐，找出易拉罐的最优设计。假设它是一个正圆柱体，在不考虑易拉罐受外界影响下，求在正圆柱体的表面积最小时，底半径r与高度h的比值。顶盖直径顶盖直径2 问题分析假设最优化条件为保证容积的情况下，使制作易拉罐所需材料最省（表面积为最小）。在表面积为最小时，设圆柱形的体积V为常数，求底半径r与高度h的比值，如果能求出一定比例，就能找出模型最优设计。顶盖直径顶盖直径顶盖直径3 模型假设假设（1）假设易拉罐是正圆柱体 (2）假设易拉罐整体厚度均相同4 符号说明R 易拉罐内半径为H 高为a 厚度V 体积为r和h是自变量S所用材料的面积是因变量 V是固定参数 5模型的建立与求解S是目标函数约束条件V是已知的，即要在体积一定的条件下求S的最小值时，r和h的取值是多少因为按照实际测量数据可知，所以带，的项可以忽略，且，则有 求的最小值，令其导数为零，即，解得临界点为，则因为，则，所以当R:H=1:2时，是S最优解第三问:设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。1问题重述通常，在现实生活中，本文所见地易拉罐都不是单纯的正圆柱体，一般都是混合的三维图形。由于实际生活中，易拉罐是受到外力的影响（如开盖时的拉力，堆放时的压力等等），因此，本文依照生活中的易拉罐，设易拉罐的中心纵断面如图1所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。通过计算和测量，在理论的基础上，建立易拉罐最优设计的模型。图12 问题分析 假设最优化条件为保证容积的情况下，使制作易拉罐所需材料最省（表面积为最小）。由于易拉罐形状不是单纯的正圆柱体，所以本文建立模型时，先假设易拉罐上部分是一个正圆台，下部分是一个正圆柱体。然后，考虑易拉罐的厚度，在厚度一致时，利用lingo软件，计算出模型的最优解；通过本文观察发现易拉罐顶盖的厚度是罐身的三倍，所以，假设另一种模型当易拉罐顶盖、底盖厚度为a，其余部分为b，且a:b=3：1，体积V=355ml时，同样利用lingo软件，计算出模型的最优解。3模型假设假设（1）易拉罐上部分是一个正圆台，下部分是一个正圆柱体假设（2）易拉罐整体厚度均相同 4 符号说明R易拉罐顶盖、底部半径，H正圆柱体高为h正圆台高为V体积为其中R,r,H,h是自变量所用材料的体积S是因变量:而V是固定参数：设约束条件函数5模型的建立与求解S是目标函数是约束条件 V是已知的，即355ml即要在体积一定的条件下求表面积最小值时，R，r，H，h的取值各是多少利用LINGO求解，设R=x1,r=x3,H=x2,h=x4,则H+h=2R=4r时，S为最优解在LINGO输入min=(x12+x32+2*x1*x2+(x1+x3)*(x42+(x1-x3)2)(1/2)*3.1415926;3.14159*x12*x2+(1/3)*3.14159*(x12+x1*x3+x32)*x4=355;init:x1=2;x2=4;x3=2;x4=1; endinit说明定义：X1:在软件LINGO中的圆柱半径（R）X2:在软件LINGO中的圆柱高（H）X3:在软件LINGO中的圆台半径（r）X4:在软件LINGO中的圆台高(h)H+h=2R=4r时，S为最优解第四问:利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。 在第三问得条件下,要考虑材料节省,要使外形像第三问H+h=2R=4r,这时有最优解. 如果考虑要使体积不变,能减少所用材料厚度.我这样考虑,把下底面设计成凹球形,上地面凸球形,我考虑到半球形可以做屋顶所以,这种结构比较稳定,增加易拉罐的稳定性,这样可以使侧壁的厚度减小 所以我的理想模型是, 下底面设计成凹球形,上地面凸球形,侧壁是圆柱的侧壁形状,并且是H+h=2R=4r这时符号说明R易拉罐顶盖、底部半径(投影在水平面上的圆)H正圆柱体高为h正圆台高为V体积为其中R,r,H,h是自变量第五问:用你们做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文(不超过1000字，你们的论文中必须包括这篇短文)，阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点数学建模体会什么是数学建模？我认为做数学建模中心思想,就是要解决生活中的最优解问题,这是数学建模的核心.数学建模的重要性下来说：第一,资源问题, 在当前的环境下,人口过多地球的资源是有限的,我们通过数学建模找到最节省资源的方式,来节省不必要的浪费,从而保护环境.第二，收益问题，也是利益问题，通过数学建模我们能找到获得最大利益的收入，可以为商人赚取利益，可以帮公司获得更大的收益，可以帮国家之间的国际贸易获得更高的利益。第三，决策问题，在遇到风险决策问题，上到国家，下到个人或公司，都会在激烈的市场环境下面临到需要我们选择的时候，那个选择对我们是最好，可以通过建模来分析各个因数来分析决策的风险性，从而来帮助我们解决问题数学建模的实用性来说：第一，建模可以用数学的形式，通过数据的收集整理，来分析，不是个人的主观感受，可以用准确的实际数据来说明解决问题。第二，数学建模通过建立适当的模型来的到的结果，是有实际意义，在实际的情况下分析的到，并且是用数据来说明问题，真实，客观，可靠，结果用数据表示，不抽象，具体。数学建模的关键步骤：首先数学建模最关键的第一步，当然是我们的目的是什么？解决什么样的问题？清楚目的才能去解决问题我认为开始才是最难！这是起步。第二，就是我们要怎么把实际问题转化为数学模型。通过建立什么样的数学模型才能解决问题。这是核心！第三，建模需要的数学数据，你怎么去收集？要是数据真实，可用。第四，通过模型将数据结合起来，通过我们学习的mathtype，或者lingo来编写程序，计算结果。其中对程序的调解是难点。第五，验证我们的结果，通过优化来使结果更真实有效可靠。这是为了完美的收工。数学建模的难点：第一难点是，怎么建立数学模型，建立怎样的数学模型，这就像我们要找到一把怎样的钥匙来打开一扇门，而钥匙很多。这就是我们建立的模型有很多种，建立怎样模型才是最合适，最好的。第二难点是，收集数据要保证建模成功,结论正确数据的准确性要保证,这样得到的结论才有实际意义,可以应用到实际,才能解决实