八年级数学下册19.2.3 一次函数与方程、不等式

19 2 3一次函数与方程 不等式 我们先来看下面两个问题 1 解方程2x 20 0 2 当自变量x为何值时函数y 2x 20的值为0 讨论 对于2x 20 0和y 2x 20 从形式上看 有什么相同和不同 作出直线y 2x 20 看看 1 和 2 是怎样的一种关系 2从问题本质上看 1 和 2 有什么关系 从函数图象上看 直线y 2x 20与x轴的交点坐标是 10 0 这也说明 方程2x 20 0的解是先x 10 求2x 20 0的解 相当于求函数y 2x 20的值为0时 对应的自变量x 归纳 从数的角度看 求2x 20 0的解 这相当已知直线y 2x 20 确定它与x轴交点的横坐标 从图象上看 一次函数与一元一次方程的关系 求ax b 0 a b是常数 a 0 的解 当X为何值时y ax b的值为0 求直线y ax b与X轴交点的横坐标 从数的角度看 从形的角度看 求ax b 0 a b是常数 a 0 的解 结论 由于任何一元一次方程都可转化为 kx b 0 k b为常数 k 0 的形式 所以解一元一次方程都可转化为 当一次函数值为0时 求相应的自变量的值 从图像上看 这相当于已知直线y kx b 确定它与x轴交点的横坐标的值 1 以下的一元一次方程与一次函数问题是同一问题 当x为何值时 y 8x 3的值为0 解方程 7x 2 0 当x为何值时 y 5x 5的值为0 练习 2 根据图象你能写出哪些一元一次方程的解 方程5x 0的解是x 0 方程x 2 0的解是x 2 方程 2 5x 5 0的解是x 2 方程x 3 0的解是x 3 3 已知方程ax b 0的解是 2 下列图象肯定不是直线y ax b的是 B 不等式2x 4 0与一次函数y 2x 4会有什么关系呢 观察图象 若要求函数y 2x 4的函数值y 0 则x的取值范围是 x 2 即 不等式2x 4 0的解集为x 2 要求不等式2x 4 0的解集 可以看作一次函数y 2x 4的函数值y0时自变量x的取值范围 这个范围是 如何利用函数图象求不等式2x 4 0的解集呢 x 2 即 不等式2x 4 0的解集为x 2 由于任何元一次不等式都可以转化为ax b 0或ax b 0 a b为常数 a 0 的形式 所以解一元一次不等式可以看作 当一次函数值大于 或小于 0时 求自变量相应的取值范围 结论 求ax b 0 或 0 的解 X为何值时 y ax b的值大于0 或小于0 求直线y ax b在X轴上方 或下方 部分所有点的横坐标 从数的角度看 从形的角度看 一次函数与一元一次不等式的关系 求ax b 0 或 0 的解 例用画函数图象的方法解不等式 不等式化为3x 6 0 画出函数y 3x 6的图象 这时y 3x 6 0 此不等式的解集为x 2 y 3x 6 5x 4 2x 10 解 由图象可以看出 当x 2时这条直线上的点在x轴的下方 解法二 把5x 4 2x 10看做两个一次函数y 5x 4和y 2x 10 画出y 5x 4和y 2x 10的图象 10 5 y 2x 10 y 5x 4 2 它们的交点的横坐标为2 当x 2时直线y 5x 4上的点都在直线y 2x 10的下方 x 2 14 4 由图象可知 即5x 4 2x 10 此不等式的解集为 两种解不等式的方法都是把不等式转化为比较直线上点的位置的高低 基础练习 提高能力 4 0 x 4 x 4 x 6 4 x 6 y 2 y 1 探究 二元一次方程与一次函数的关系 以方程x y 3的解为坐标的所有点组成的图象就是的图象 你会将二元一次方程x y 3用x的式子表示y吗 一次函数y 3 x的图象上所有点的坐标都是二元一次方程x y 3解吗 y x 3 一次函数y x 3 归纳 每个二元一次方程都可转化为一次函数 思考 二元一次方程组与一次函数的关系 任何一个方程组都可以看成是两个一次函数的组合 对于 根据方程组解的意义和函数的观点 就是求当x取什么数值时 两个 次函数的y值相等 它反映在图象上 就是求直线y 0 6x 1 6和直线y 2x 1的交点坐标 直角坐标系中两直线的交点的坐标可以看作是一个二元一次方程组的解 方程组的解 就是这两个函数表达式组成的两一次函数的图象的交点坐标 归纳 你一定能行的 随堂练习 1 一次函数y 5 x与y 2x 1图象的交点为 2 3 则方程组的解为 2 若二元一次方程组的解为 则函数与的图象的交点坐标为 2 2 3 根据下列图象 你能说出哪些方程组的解 这些解是什么 综合运用 一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式 方式A以每分0 1元的价格按上网时间计费 方式B初收月租费20元外再以每分0 05元的价格按上网时间计费 如何选择收费方式能使上网者更合算 解法1 设上网时间为x分 若按方式A则收费y 0 1x元 若按方式B则收费y 0 05x 20元 在同一直角坐标系中分别画出这两个函数的图象 解方程组 所以两图象交于 400 40 当0 x 400时 直线y 0 1x在直线y 0 05x 20的下方 0 1x 0 05x 20 选A种方式合算 当x 400时两者均可 当x 400时 直线y 0 1x在直线y 0 05x 20的上方 0 1x 0 05x 20 选B种方式合算 解法2 设上网时间为x分 方式A与方式B两种计费差额为y元 则y与x的函数关系式为 y 0 05x 20 0 1x 0 05x 200 一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式 方式A以每分0 1元的价格按上网时间计费 方式B初收月租费20元外再以每分0 05元的价格按上网时间计费 如何选择收费方式能使上网者更合算 画出这个函数的图象 400 解方程 0 05x 200 0 得x 400 所以图象与x轴交点为 400 0 由图象可知 当0 x 400时 y 0 选A方式合算 当x 400时 y 0 两者均可 当x 400时 y