中学数学解题方法研究反证法毕业论文.doc

中学数学解题方法研究反证法毕业论文 目 录摘 要I绪 论11. 反证法的概念与来源21.1 反证法的概念21.2 反证法的来源21.2.1 古希腊的反证法21.2.2 中国古代数学的反证法31.2.3 反证法的其他来源42. 反证法的本质及步骤52.1 反证法的本质52.2 反证法的定义52.3 反证法的步骤53. 反证法的应用63.1 反证法在代数中的应用63.2 反证法在平面几何中的应用83.3 反证法在立体几何中的应用104. 毕业实习中的案例145. 总结与展望18致 谢19参考文献20东华绪 论近几年，随着大家对教育的关注，中、高考成为学生们展示自己个人实力的一个重要平台，而数学将在这个平台上起着非常重要的作用，因而数学的解题方法的探讨以及熟练的运用这些解题方法则成为学生们的制胜法宝，现如今，中学数学教材之中，数学思想贯穿于整个教材的每个部分，数学方法是数学思想的媒介，将数学试题和数学思想结合起来，几乎已经渗透到了所有的数学教学过程之中。运用适当的数学解题方法，通过正确的分类可使复杂的问题得到完整、清晰、严密的解答。而反证法在数学领域一枝独秀。反证法不仅仅在初等数学中有着非常广泛 的应用，就是在高等数学中也可能具有特殊作用。数学中的某些重要结论，从最基本的性质和定理，对于某些难度较大的世界名题，往往都要用到反证法去证明的。因此，我选择了反证法这个论文方向，希望能够通过对反证法的研究，使我们能够更加清楚地认识到反证法这种方法，对培养中学生逆向思维，解决数学问题提供了一个很好的方向。这篇论文主要先从反证法的概念，来源，本质的一些反证法的概念出发，通过对于反证法的本质的理解，使它在中学数学中的各个方面、领域中的应用。- 1 -1. 反证法的概念与来源1.1 反证法的概念反证法是一种间接法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设。然后，从这个假设出发经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定愿命题正确的一种方法。1.2 反证法的来源1.2.1 古希腊的反证法 反证法,无论是逻辑上的还是数学上的,它的概念都是一致的。即是反证法是证明的一种方法。西方数学在毕达哥拉斯学派的影响下,认为万物皆数。用整数和几何图形构建一个宇宙图式。但随着这个表征数学史第一次危机“ 2”的问题的出现,使得希腊人重新审视了自己的数学,这最终导致希腊人放弃了以数为基础的几何。第一次危机使人们不能再依靠图形和直观了,须要更多的依靠推理和逻辑;同时危机还使几何学拒绝了无穷小。此时西方的数学成为以证明为主的证明数学,他们要准确的数学,或者是他们推崇准确性的数学。表现形式就是:逻辑、演绎的体系。由此可见它是指证明的数学与算的数学正好相反。即使希腊人也讲计算,但是他们认为计算是初等的、低级的，是几何证明以后的一个应用而已。他们重视数学的演绎和证明,提出:希腊人除了重视演绎和逻辑的证明外也研究数值计算(尤其在希腊后期) ,但是希腊数学界认为数值计算是一种理论证。形式逻辑的发展与反对数学应用在实践的思潮对数学的影响深刻,柏拉图提出数学应从自明的绝对假设开始,通过系列的逻辑推论，而在最后达到所要求的结论。亚里士多德更是努力地把形式逻辑应用于数学,第一，首先他研究数学概念,而且他不同意毕达哥拉斯学派“万物皆数”的观点；第二,他先承认通则(公设) ,他提出数学的证明只是把原有道理画出来,问题就可以解决了。几何原本就是在这样的一种情况下的产物。西方数学界在处理圆的面积时采用了与同东方截然不相同的演绎证明方法,同时也体现出他们所需要的“不要近似”思想。西方欧克托斯的反证法就是基于两个正多边形的面积比等于其对应线段比的平方的这个结论。“萨谢利读欧几里得的原本,简直备他得力的归谬法吸引了, 在萨谢利的逻辑证明的内容中,有创建的是:把归谬法应用于欧几里得平行公设的研究,而且被允许印一本标题为排除任何谬误的欧几里得的小书”,当然，我们这里所说的归谬法即我这所研究反证法,因此这是非欧几何的肇始，并且也说明早在几何原本中就已经开始运用反证法了。1.2.2 中国古代数学的反证法在我们中国的传统数学中,本身对于演绎的证明一般就不太重视，而且中国传统逻辑学的不完备,尽管我们中国的先辈们认识到了一些逻辑规律，并且在魏晋时期就已经大兴辩难之风,但是他们大多使用的都是类似于反驳,当然其中使用到反驳中常使用的归谬法,刘徽受到它的影响下，在他为九章算术作注释时也多次采用了归谬论证法，墨子也使用归谬法。但是应该指出：明确的反证法的用法却是凤毛麟角。在这一点上与西方存在着差别极大。而西方无论是在逻辑中,还是数学中都认为反证法是一种普通的证明方法。而在中国数学中,即便是刘徽这位我国古代在理论与逻辑方面都很擅长的数学大师,也只是用到了反驳(如:举反例)。证明与反驳在科学的发现中同样重要。证明只能用于证实猜想，因为这是个验证过程，通常不会有新的发现。当然这并不绝对,因为在证明的过程中会用到一些新知识，或因之开辟出新领域。那些坚持只有猜想才会有创新、发明的人经常忽视这一点，同时,鉴于反证法的特殊性借助一个逻辑中介证实的过程，使用反证法的过程中可以有所发现，它不仅解决许多难以证明的课题,而且有时运用反证法还可以为数学开拓出新的天地。例如：人们在试图证明第五公设的过程中，由于考虑到它可能有其它的定理或公设推出，但是直接证明这个猜想并不容易，于是出于对反证法逻辑的信任,采用反证法证明，但一直推不出矛盾，在这一事实的启发下，逐步形成了非欧几何的思想，有利地促进了几何学的发展。穷竭法和反证法并未真正解决无限问题。邹大海先生的工作中提到“刘徽未将求微数的程序进行到底，可见他对于无限，也只是把它作为处理问题的手段和方法，而没有把它本身作为研究对象。刘徽仍未摆脱中国古算讲求实际的传统影响，在他的方法能满足实际需要之后，再去探讨无限更深层次的问题的动因就大大减弱了。加之比较成熟的归谬法也没有发展起来对于由开方术过程来确认无理数是否存在这样的问题，没有富有成效的归谬法。是难以解决的,而归谬法不仅不是中国古代数学的传统,而且还是中国古代哲学思维的薄弱环节”。此处的“归谬法”，是指以反证法为核心以穷竭法为理论基础的方法.就上述可知,刘徽以及当时思想家们已能熟练地使用归谬法，在西方则有含穷竭法的反证法，但是从反证法的实质及其所起的作用来看,它并未解决无限问题。1.2.3 反证法的其他来源1 墨子的“归谬法”。例如:“学之益也,说在诽者。”通过证明“学习无益”是假,而得到“学习有益”的命题是真。这是一个非常有意思的反证法的特例。而将其归为归谬论证欠妥切,归谬是反驳的一种方法,显然在这里是证明一个命题为真。即便是反证法里运用了归谬法,但是它们二者之间有质的不同。这种表述完整的反证法模式在我们中国的逻辑史上也比较鲜见。这种方法没有被中算家注意与应用是十分可惜。2 刘徽的“证伪法”。在我们的数学中,我们都只将证明与反驳对应为直接证明、归谬法(如反例法)与间接证明(如反证法)。从这意义来说,刘徽他并没有使用过反证法,他仅仅只是在使用归谬法,只是在推翻一些假命题,即在证伪。这与运用反证法有很大的差别,可以说中算史中没有反证法，当然更加没有人使用过它。刘徽证明九章算术里面的某些公式是错误的方法是反驳。刘徽的大多数的反驳都是成功的,符合逻辑规律。3 证明与反驳在科学的发现中同样起着非常重要的作用。我们知道证明仅能对猜想予以证明,通常我们证明某个猜想时是不会有新的发现的,因为证明只是在验证某个结论。当然不是绝对的,因为在证明的过程中也许会用到一些新知识,或因它开辟出新领域。同时,由于反证法的特殊性,它是证实的一个过程,但是实质上借助一个逻辑中介又是在证伪，因而反证法可以发现真理。- 4 -东2. 反证法的本质及步骤2.1 反证法的本质反证法的实质是传统逻辑中排中律的应用,事实上, 命题的结论q要么真，要么假。反证法从出发，只要能导致矛盾(或与其他真命题矛盾, 或与已知事项p 矛盾) 就行，而这种矛盾的发生全在于互, 所以互不能成立 既然互不能成立，则q 成立便是必然的了。2.2 反证法的定义 在证明一个命题时,先假设命题不成立，从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义、公理、定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法。2.3 反证法的步骤1. 反设：假设所要证明的结论不成立，从而其反面成立；2. 归谬：由“反设”出发，通过正确的推理，导出矛盾与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾；3. 结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立。 运用反证法的关键在于导致矛盾。在数论中，不少问题是通过奇偶分析或同余等方法引出矛盾的。- 5 -3. 反证法的应用3.1 反证法在代数中的应用1. 用反证法证明的一些定理。例1：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。已知：,求证：。证明：假设，那么：，上式两边平分得即即这与是非负数相矛盾所以是不可能的因此：。2. 用反证法证明无理数 例2：已知：、是无理数。 求证：也是无理数证明：假设是有理数，则（p,为互质的正整数） 两边平方 整理得 上式左边是无理数，右边是有理数，自相矛盾。 是无理数。3. 用反证法证明否定性命题例3：设，是公比不相等的两个等比数列，证明数列不是等比数列。证明：假设是等比数列，则 即：整理得： （*） ，是等比数列 ，由（*）式可得 设：，则 即： 这与已知矛盾，因此不是等比数列。3.2 反证法在平面几何中的应用1. 证明几何量之间的关系例4：已知：四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，。求证：。证明：假设AB不平行于CD。如图3-1，连结AC，取AC的中点G，连结EG、FG。E、F、G分别是AD、BC、AC的中点，；，。AB不平行于CD，GE和GF不共线，GE、GF、EF组成一个三角形。 但 与矛盾。 图3-1上面所举的例子，用直接证法证明都比较困难，尤其是证两条直线是异面直线，常采用反证法。2. 证明“唯一性”的问题在几何中需要证明符合某种条件的点、线、面只有一个时，称为“唯一性”问题。例5：过平面上的点A的直线，求证：是唯一的。证明：假设不是唯一的，则过A至少还有一条直线，、是相交直线，、可以确定一个平面。设和相交于过点A的直线。，。这样在平面内，过点A就有两条直线垂直于，这与定理产生矛盾。所以，是唯一的。关于唯一性的问题，不仅在平面几何中存在，在代数、空间几何、三角函数等中都又存在。这一类问题如果使用直接证法证明可能会相当困难，那么在这种情况下，一般都采用间接证法。即用反证法证明，这样从反面出发，从结论出发，也许会有意想不到的效果。3. 证明“不可能”问题平面几何问题中有一类问题，是要证明某个图形不可能存在某种性质或者要证明具有某种性质的图形不存在。它们的结论命题一般都是以否定形式出现的，若用直接证法证明将会有一定的困难。而它的否定命题则是具有某种性质的图形存在或者某个图形具有某种性质，因此，这类问题一般非常适宜用反证法。例6：求证：抛物线不存在渐近线。证明：设抛物线的方程是()。假设抛物有渐近线，渐近线的方程是，易知、都不为0。因为渐近线与抛物线相切于无穷远点，于是方程组 的两组解的倒数都是0。将（2）代入（1），得 （3）设、是（3）的两个根，由韦达定理，可知，则， （4）， （5）由（4）、（5），可推得，这于假设矛盾。所以，抛物线不存在渐近线。关于“不可能”问题是几何中非常重要也是最常见的一种类型。由于它们的结论一般是以否定形式出现，如果采用直接证法有些困难，所以这类问题一般都使用反证法加以证明。4. 证明“至少存在”或“不多于”问题在几何中存在一类很特殊的问题，就是证明具有某种性质的图形至少有一个或不多于几个。由于这类问题能找到直接论证的理论根据很少，用直接证法有一定困难。如果采用反证法，添加了否定结论这个新的假设，就可以推出更多的结论，容易使命题获证。例7：已知：四边形ABCD中，对角线AC=BD=1。求证：四边形中至少有一条边不小于。证明：假设四边形的边都小于，由于四边形中至少有一个角不是钝角（这一结论也可用反证法证明），不妨设，根据余弦定理，得，即。这与已知四边形BD=1矛盾。所以，四边形中至少有一条边不小于。3.3 反证法在立体几何中的应用1. 用反证法证明一些基本定理 我们知道，所谓证明，就是利用已经学过的公理，定义和定理，用推理的方法，去证明新命题的正确或错误。但在数学的各个分支中，按公理化的方法，最初建立的仅是数量不多的定义和公理o因此，证明某些原始的性质或定理，常常难以运用直接证法找出论据、也就是说，还没有公理，定义或定理可以利用（或较困难）在这种情况下，可采用反证法证明。全国统编教材立体几何前面的基本定理，大部分都可以用反证法证之例8：直线与平面平行的判定定理 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。已知：直线/直线，求证： 图3-2 这个定理，教科书是用反证法证明的。为什么用反证法而不用直接证法？我们试加以分析。 从结论出发，进行考察。欲证即证明与没有公共点怎样证明直线与平面没有公共点呢？是否有这方面的公理，定理可以直接利用呢？我们只学过直线与平面平行的定义。 “直线与平面没有公共点叫直线与平面平行”。而我们要证明的定理恰好是“直线与平面没有公共点”，也就是说，到目前为止，我们无法判断与是否没有公共点。因为还没有这方面的定理，公理可以利用，所以要直接证明“与没有公共点”是很困难的，甚至是不可能的为此，我们可以从它的逆否命题入手去考察。逆否命题是：如果直线a与平面有公共点，那么直线a与直线不平行。因为平面外的一条直线与平面的位置关系只有两种情况。有一个公共点，没有公共点。这是两种互相矛盾的判断，不能同假，必有一真。如果“有公共点”这个判断是错误的，那么“没有公共点”这个判断就是正确的了。而假设有公共点，是很容易导致矛盾的。所以教科书采用反证法证之，使得证明来得简练又确切。 证明：假设与不平行， 因为，所以与必相交，设A 图3-3 在平面内过A点引直线c，使c/，这时，c/b，故。 而 这与公理“平行于同一条直线的另两条直线互相平行”相矛盾 与不平行是错误的，故 2. 用反证法证明否定性命题 例9： 两条异面直线不能同时垂直于同一个平面证明：假设两条异面直线能同时垂直于同一个平面，那么根据“直线与平面垂直的性质定理，如果两条直线同时垂直予一个平面，那么达两条直线平行”，达两条异面直线必平行，因而它在同一平面内，自相矛盾。所以两条异面直线不能同时垂直于同一个平面。3. 用反证法证明两直线是异面直线例10 ：四面体相对两棱所在的直线是异面直线。已知：如图3-3-3，ABCD是四面体 图3-4求证：AB、CD；AD、BC；BD、AC分别是异面直线。证明：先证AB、CD是异面直线，设AB、CD不是异面直线，即AB、CD相交或平行，那么AB、CD在同一平面上，那么A、B、C、D四点共面，这与已知ABCD是四面体矛盾，所以AB、CD是异面直线。 同理可证：AD、BC；BD、AC也是异面直线。 4. 用反证法证明“唯一”性命题例11：试证：过直线上一点A，有且只有一个平而和这条直线垂直。 已知：直线及上一点A， 求证：过A点有且只有一个平面和这条直线垂直。 证明 存在性：如图3-5： 图3-5 过直线任作两个相交平面、，在、内过A点分别作与垂直的直线AC，AB，那么过AC，AB确定的平面就与垂直（直线与平面垂直的判定定理） 唯一性： 假设除了平面外还有一个平面与垂直，那么过任作一个平面，分别与，交于、，并且有，。这就是说，过直线上一点A在平面内有两条直线同时垂直，这是不可能的。故过直线上一点只有一个平面和这条直线垂直。5. 用反证法证明“必然性”的命题 例12： 如果两个平面互相垂直，那么经过一个平面内的一点且垂直于第二个平面的直线必然在第一个平而内。 已知： ，, 求证：。 证明 假设，过A点在内作直线，如图。则（两个平面垂直的性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面） 又 AB/AC（垂直于同一平面的两条直线平行） 这与矛盾 因此,AB. 通过上述例题说明，今后在证明时，要灵活应用证题方法，若直接法简捷就用直接法，若反证法简捷则用反证法。一般来说，对于上述所列五种类型的证明题，反证法都能收到良好的效果。- 14 -东华理工大学毕业设计（论文） 毕业实习中的案例4. 毕业实习中的案例在实习时，我们正好学习到反证法这一节，因此，对于反证法这一证明方法，我首先我把反证法的概念，本质，背景，以及步骤，然后讲解了反证法在中学数学中的应用，而对于反证法的注意事项，什么时候，什么类型的题目应该运用反证法去证明，我们进行了总结。例(1)：用反证法证明:圆两条不是直径的相交弦不能互相平分。 . 图4-1已知：如图4-1，在圆O中，弦AB与CD交于点P，且AB，CD不是直径。求证：弦AB与CD不能被P点平分。证明：假设弦AB与CD能被P点平分，由于P点一定不是圆心O，连结OP，根据垂径定理推论，有OPAB,OP CD即过P点有两条直线AB,CD与OP都垂直,这与垂线性质矛盾.弦AB与CD不能被P点平分。例（2）：求证:若一个整数的平方是偶数,则这个数也是偶数.证明：假设这个数是奇数,可以设为2k+1，则有：而，明显不是偶数由此可以得出结论明显与原命题不符合则可以得出原命题是正确的。例（3）：如图4-2，设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点。求证：AC与平面SOB不垂直。【分析】结论是“不垂直”，呈“否定性”，考虑使用反证法，即假设“垂直”后再导出矛盾后，再肯定“不垂直”。 图4-2【证明】 假设AC平面SOB， 直线SO在平面SOB内， ACSO， SO底面圆O， SOAB， SO平面SAB， 平面SAB底面圆O，这显然出现矛盾，所以假设不成立。即AC与平面SOB不垂直。例（4）：若下列方程：x4ax4a30， x(a1)xa0, x2ax2a0至少有一个方程有实根。试求实数a的取值范围。【分析】 三个方程至少有一个方程有实根的反面情况仅有一种：三个方程均没有实根。先求出反面情况时a的范围，再所得范围的补集就是正面情况的答案。【解】 设三个方程均无实根，则有：,解得,即a1。所以当a1或a时，三个方程至少有一个方程有实根。例（5）. 给定实数a，a0且a1，设函数y (其中xR且x)，证明：.经过这个函数图像上任意两个不同点的直线不平行于x轴； .这个函数的图像关于直线yx成轴对称图像。(88年全国理)。【分析】“不平行”的否定是“平行”，假设“平行”后得出矛盾从而推翻假设。【证明】 设M(x,y)、M(x,y)是函数图像上任意两个不同的点，则xx,假设直线MM平行于x轴，则必有yy，即整理得a(xx)xxxx a1， 这与已知“a1”矛盾， 因此假设不对，即直线MM不平行于x轴。 由y得axyyx1,即(ay1)xy1,所以x，即原函数y的反函数为y，图像一致。由互为反函数的两个图像关于直线yx对称可以得到，函数y的图像关于直线yx成轴对称图像。【注】对于“不平行”的否定性结论使用反证法，在假设“平行”的情况下，容易得到一些性质，经过正确无误的推理，导出与已知a1互相矛盾。第问中，对称问题使用反函数对称性进行研究，方法比较巧妙，要求对反函数求法和性质运用熟练。通过上述例题，我们可以得出反证法的注意事项和宜用反证法的类型。 宜用：（1）以否定性判断作为结论的命题；（2）某些定理的逆命题；（3）：以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陈述的命题；（4）关于“唯一性”结论的命题；（5）解决整除性问题；（6）一些不等量命题的证明；（7）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段；（8）涉及各种“无限”结论的命题等等。用反证法证题时,应注意的事项：（1）周密考察原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏；（2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性；（3）在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的。 反证法在初等数学中应用比较普遍,教学实践中发现大多数学生并不习惯使用这种方法,甚至根本就想不到,这与中学的数学教育有关。更重要的是反证法在初等数学里用的很少,只是在立体几何中当命题的结论涉及到无限个,或证明唯一性时才会用到,另外与中国的传统文化、传统数学也不无关系。文化已经深深地积淀在我们的潜意识里,对我们思维起到了迁移默化作用。我们的潜意识及日常生活中多用反驳很少用到反证法,在数学领域里只有通过有意识训练,才会变为自己的一种证明方法。- 17 -东华理工大学毕业设计（论文） 总结与展望5. 总结与展望反证法是中学数学解题方法中的一种重要的方法。牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精良的武器之一”。一般来讲，反证法常用它来证明的题型有：命题的结论以“至多”、“唯一”或“否定形式”、“无限”、“至少”等形式出现的命题；或者否定结论更明显、具体、简单的命题，或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。通过此次对反证法的粗略研究，是我发现了以后作为一名老师，他在以后的数学反证法的教学，或者其他知识点的教学中，应该渗透这种反证法的思想，或者经常利用反证法的这种逆向思维，对学生们进行思维的训练。如果我以后从事教师这个职业的话，对于反证法这种解题方法，我还要继