【教学设计】《对数函数及其性质》（人教）.docx

对数函数及其性质 教材分析本节内容是在学习了指数函数后，通过具体实例了解对数函数模型的实际背景，学习对数的概念进而学习对数函数。教材的编写中反映了指数函数与对数函数的很多对应关系，为反函数的提出作为铺垫。本本节的重难点是对数函数的定义、图像和性质。解决有关对数函数的问题时，一要注意对数函数的定义域，二要注意底数的取值范围的限制，需要分类讨论时一定要分类讨论。 教学目标【知识与能力目标】对数函数的概念，熟悉对数函数的图像与性质规律. 掌握对数函数的性质，能初步运用性质解决问题。【过程与方法目标】让学生通过观察对数函数的图像，发现并归纳对数函数的性质. 学生通过观察和类比函数图像，体会两种函数的单调性差异。【情感态度价值观目标】培养学生数形结合的思想以及分析推理的能力，体会指数函数与对数函数互为反函数，培养学生严谨的科学态度。 教学重难点【教学重点】理解对数函数的定义，掌握对数函数的图像和性质. 理解指数函数与对数函数内在联系。【教学难点】底数a对图像的影响及对数函数性质的作用。 课前准备 回顾指数与指数函数的性质和对数与对数的运算，阅读材料对数的发明。 教学过程1设置情境在221的例6中，考古学家利用估算出土文物或古遗址的年代，对于每一个C14含量P，通过关系式，都有唯一确定的年代与之对应。同理，对于每一个对数式中的，任取一个正的实数值，均有唯一的值与之对应，所以的函数。2探索新知 一般地，我们把函数（0且1）叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+）。提问：（1）在函数的定义中，为什么要限定0且1。（2）为什么对数函数（0且1）的定义域是（0，+）。组织学生充分讨论、交流，使学生更加理解对数函数的含义，从而加深对对数函数的理解。答：根据对数与指数式的关系，知可化为，由指数的概念，要使有意义，必须规定0且1。因为可化为，不管取什么值，由指数函数的性质，0，所以。下面我们来研究函数的图像，并通过图像来研究函数的性质：先完成P81表23，并根据此表用描点法或用电脑画出函数 再利用电脑软件画出12468121610122.5833.584yx 注意到：，若点的图像上，则点的图像上。 由于（）与（）关于轴对称，因此，的图像与的图像关于轴对称。 所以，由此我们可以画出的图像。先由学生自己画出的图像，再由电脑软件画出与的图像。探究：选取底数0，且1）的若干不同的值，在同一平面直角坐标系内作出相应的对数函数的图像。观察图像，你能发现它们有哪些特征吗？作法：用多媒体再画出，和0提问：通过函数的图像，你能说出底数与函数图像的关系吗？函数的图像有何特征，性质又如何？先由学生讨论、交流，教师引导总结出函数的性质。(投影)图像的特征函数的性质（1）图像都在轴的右边（1）定义域是（0，+）（2）函数图像都经过（1，0）点（2）1的对数是0（3）从左往右看，当1时，图像逐渐上升，当01时，图像逐渐下降（3）当1时，是增函数，当01时，是减函数（4）当1时，函数图像在（1，0）点右边的纵坐标都大于0，在（1，0）点左边的纵坐标都小于0。当01时，图像正好相反，在（1，0）点右边的纵坐标都小于0，在（1，0）点左边的纵坐标都大于0。（4）当1时：1，则0； 01，0；当01时： 1，则0； 01，0。由上述表格可知，对数函数的性质如下（先由学生仿造指数函数性质完成，教师适当启发、引导）：101图像性质（1）定义域（0，+）；（2）值域R；（3）过点（1，0），即当=1，=0；（4）在（0，+）上是增函数在（0，+）是上减函数3.例题讲解例1 求下列函数的定义域（1） （2） （0且1） 分析：由对数函数的定义知：0；0，解出不等式就可求出定义域。解：（1）因为0，即0，所以函数的定义域为.（2）因为0，即4，所以函数的定义域为. 例2 比较下列各组数中的两个值大小（1） （2）（3） （0，且1）分析：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成：（1）解法1：用图形计算器或多媒体画出对数函数的图像.在图像上，横坐标为3、4的点在横坐标为8.5的点的下方：所以，解法2：由函数+上是单调增函数，且3.48.5，所以。解法3：直接用计算器计算得：，（2）第（2）小题类似（3）注：底数是常数，但要分类讨论的范围，再由函数单调性判断大小。解法1：当1时，在（0，）上是增函数，且5.15.9.所以，当1时，在（0，）上是减函数，且5.15.9。所以，解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调判断大小不一，令 令 则当1时，在R上是增函数，且5.15.9所以，即当01时，在R上是减函数，且5.15.9所以，即说明：先画图像，由数形结合方法解答4.课堂练习：练习第，题5.反函数探究：在指数函数中，为自变量，为因变量，如果把当成自变量，当成因变量，那么是的函数吗？如果是，那么对应关系是什么？如果不是，请说明理由。引导学生通过观察、类比、思考与交流，得出结论。在指数函数中，是自变量， 是的函数（），而且其在R上是单调递增函数。过轴正半轴上任意一点作轴的平行线，与的图像有且只有一个交点。由指数式与对数式关系，即对于每一个，在关系式的作用之下，都有唯一的确定的值和它对应，所以，可以把作为自变量，作为的函数，我们说。从我们的列表中知道，是同一个函数图像。引出反函数的概念（只让学生理解，加宽学生视野）当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数为反函数。由反函数的概念可知，同底的指数函数和对数函数互为反函数。如的反函数，但习惯上，通常以表示自变量，表示函数，对调中的，这样是指数函的反函数。以后，我们所说的反函数是对调后的函数，如的反函数是。同理，1）的反函数是0且。课堂练习：求下列函数的反函数（1） （2）补充练习1已知函数的定义域为-1，1，则函数的定义域为 。2求函数的值域。3已知0，按大小顺序排列m, n, 0, 1。4已知01,