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高考数学知识点总结高三数学知识点总结(经典版)_文档_七日志_用文字记录生活 篇一 : 高三数学知识点总结(经典版)高中数学知识梳理总汇及复习第一部分 集合与函数1、在集合运算中一定要分清代表元的含义.举例1已知集P?y|y?x2,x?R,Q?y|y?2x,x?R，求P?Q.2、空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.举例若A?x|x2?a,B?x|x?2且A?B?，求a的取值范围.3、充要条件的判定可利用集合包含思想判定：若A?B，则x?A是x?B的充分条件；若A?B，则x?A是x?B的必要条件；若A?B且A?B即A?B，则x?A是x?B的充要条件.有时利用“原命题”与“逆否命题”等价，“逆命题”与“否命题”等价转换去判定也很方便.充要条件的问题要十分细心地去辨析：“哪个命题”是“哪个命题”的充分（必要）条件；注意区分：“甲是乙的充分条件（甲?乙）”与“甲的充分条件是乙（乙?甲）”，是两种不同形式的问题.举例设有集合M?(x,y)|x2?y2?2,N?(x,y)|y?x?2，则点P?M的条件是点P?N；点P?M是点P?N的条件.4、掌握命题的四种不同表达形式，会进行命题之间的转化，会正确找出命题的条件与结论.能根据条件与结论判断出命题的真假.举例命题：“若两个实数的积是有理数，则此两实数都是有理数”的否命题是，它是（填真或假）命题.5、若函数y?f(x)的图像关于直线x?a对称，则有f(a?x)?f(a?x)或f(2a?x)?f(x)等，反之亦然.注意：两个不同函数图像之间的对称问题不同于函数自身的对称问题.函数y?f(x)的图像关于直线x?a的对称曲线是函数y?f(2a?x)的图像，函数y?f(x)的图像关于点(a,b)的对称曲线是函数y?2b?f(2a?x)的图像.举例1若函数y?f(x?1)是偶函数，则y?f(x)的图像关于对称.举例2若函数y?f(x)满足对于任意的x?R有f(2?x)?f(2?x)，且当x?2时f(x)?x2?x，则当x?2时f(x)?.6、若函数y?f(x)满足：f(x?a)?f(x?a)(a?0)则f(x)是以2a为周期的函数.注意：不要和对称性相混淆.若函数y?f(x)满足：f(x?a)?f(x)(a?0)则f(x)是以2a为周1，则f(x)也是周期函数） f(x)举例已知函数y?f(x)满足：对于任意的x?R有f(x?1)?f(x)成立，且当x?0,2)?. 时，f(x)?2x?1，则f(1)?f(2)?f(3)?f(2006期的函数.（注意：若函数f(x)满足f(x?a)?7、奇函数对定义域内的任意x满足f(?x)?f(x)?0；偶函数对定义域内的任意x满足f(?x)?f(x)?0.注意：使用函数奇偶性的定义解题时，得到的是关于变量x的恒等式而不是方程.奇函数的图像关于原点对称,偶函数图像关于y轴对称；若函数y?f(x)是奇函数或偶函数，则此函数的定义域必关于原点对称；反之，若一函数的定义域不关于原点对称，高三数学知识点 高三数学知识点总结(经典版)则该函数既非奇函数也非偶函数.若y?f(x)是奇函数且f(0)存在，则f(0)?0；反之不然.1?a是奇函数，则实数a?； x2?1举例2若函数f(x)?ax2?(b?2)x?3是定义在区间2a?1,2?a上的偶函数，则此函数举例1若函数f(x)?的值域是.8、奇函数在关于原点对称的区间内增减性一致，偶函数在关于原点对称的区间内增减性相反.若函数y?f(x)的图像关于直线x?a对称，则它在对称轴的两侧的增减性相反；此时函数值的大小取决于变量离对称轴的远近.解“抽象不等式（即函数不等式）”多用函数的单调性，但必须注意定义域.举例若函数y?f(x)是定义在区间?3,3上的偶函数，且在?3,0上单调递增，若实数a 满足：f(2a?1)?f(a2)，求a的取值范围.9、要掌握函数图像几种变换：对称变换、翻折变换、平移变换.会根据函数y?f(x)的图像，作出函数y?f(?x),y?f(|x|),y?|f(x)|,y?f(x?a),y?f(x)?a的图像.（注意：图像变换的本质在于变量对应关系的变换）；要特别关注y?f(|x|),y?|f(x)|的图像. 举例函数f(x)?|log2|2x?1|?1|的单调递增区间为.10、研究方程根的个数、超越方程（不等式）的解（特别是含有参量的）、二次方程根的分布、二次函数的值域、三角函数的性质（包括值域）、含有绝对值的函数及分段函数的性质（包括值域）等问题常利用函数图像来解决.但必须注意的是作出的图形要尽可能准确：即找准特殊的点（函数图像与坐标轴的交点、拐点、极值点等）、递增递减的区间、最值等.举例1已知函数f(x)?2x?1,g(x)?ax?1，若不等式f(x)?g(x)的解集不为空集，则实数a的取值范围是.举例2若曲线y?|x|?1与直线y?kx?b没有公共点，则k,b应当满足的条件是11、曲线可以作为函数图像的充要条件是：曲线与任何平行于y轴的直线至多只有一个交点.一个函数存在反函数的充要条件是：定义域与值域中元素须一一对应，反应在图像上平行于x轴的直线与图像至多有一个交点.单调函数必存在反函数吗？（是的,并且任何函数在它的每一个单调区间内总有反函数）.还应注意的是：有反函数的函数不一定是单调函数，你能举例吗？举例函数f(x)?x2?2ax?1，（x?0,1?3,4），若此函数存在反函数，则实数a的取值范围是.12、求一个函数的反函数必须标明反函数的定义域，反函数的定义域不能单从反函数的表达式上求解，而是求原函数的值域.求反函数的表达式的过程就是解（关于x的）方程的过程.注意：函数的反函数是唯一的，尤其在开平方过程中一定要注意正负号的确定.举例函数f(x)?log2(x2?2x?2),(x?(?,?2)的反函数为.13、原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域；原函数与反函数的图像关于直线y?x对称；若函数y?f(x)的定义域为A，值域为C，a?A,b?C,则有2高三数学知识点 高三数学知识点总结(经典版)f(f?1(b)?b,f?1(f(a)?a.b?f(a)?a?f?1(b).需要特别注意一些复合函数的反函数问题.如y?f(2x)反函数不是y?f?1(2x).?1举例1已知函数y?f(x)的反函数是y?f的表达式是. (x)，则函数y?2f?1(3x?4)的反函数?2x,x?0 举例2已知f(x)?，若f?1(a)?3，则a?.?log2(?x),?2?x?014、判断函数的单调性可用有关单调性的性质（如复合函数的单调性），但证明函数单调性只能用定义，不能用关于单调性的任何性质，用定义证明函数单调性的关键步骤往往是因式分解.记住并会证明：函数y?ax?举例函数f(x)?ax?b,(a,b?0)的单调性. x1(a?0)在x?1,?)上是单调增函数，求实数a的取值范围. x15、一元二次函数是最基本的初等函数，要熟练掌握一元二次函数的有关性质.一元二次函数在闭区间上一定存在最大值与最小值，应会结合二次函数的图像求最值.举例求函数f(x)?x2?2ax?1在区间?1,3的最值.16、一元二次函数、一元二次不等式、一元二次方程是不可分割的三个知识点.解一元二次不等式是“利用一元二次方程的根、结合一元二次函数的图像、写出一元二次不等式的解集”，可以将一元二次不等式的问题化归为一元二次方程来求解.特别对于含参一元二次不等式的讨论比较方便.还应当注意的是；不等式解集区间的端点值是对应方程的根（或增根）.举例1已知关于x的不等式|ax?3|?5的解集是?1,4，则实数a的值为. 举例2解关于x的不等式：ax2?2ax?1?0(a?R).第二部分 不等式17、基本不等式a?b?2ab,ab?(a?b2)要记住等号成立的条件与a,b的取值范围“.一正、211?的最小值为. ab二定、三相等”，“积定和有最小值、和定积有最大值”，利用基本不等式求最值时要考虑到等号是否成立.与函数相关的应用题多有基本不等式的应用. 举例已知正数a,b满足a?2b?3，则18、学会运用基本不等式：|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|.举例1若关于x的不等式|x?1|?|x?2|?a的解集是R，则实数a的取值范围是；举例2若关于x的不等式|x?1|?|x?2|?a的解集不是空集，则实数a的取值范围是.19、解分式不等式不能轻易去分母，通常采用：移项（化一边为零）通分转化为整式不等式化所有因式中的变量系数为正，（即不等式两边同除以变量系数，若它的符号不能确定即需要讨论）“序轴标根”（注意比较各个根的大小，不能比较时即需要讨论）；解绝对值不等式的关键是“去绝对值”，通常有利用绝对值不等式的性质平方讨论.特别注意：求一个变量的范围时，若分段讨论的也是这个变量，结果要“归并”.高三数学知识点 高三数学知识点总结(经典版)举例解关于x的不等式：a(x?1)?1(a?0). x?220、求最值的常用方法：用基本不等式（注意条件：一正、二定、三相等）；方程有解法单调性；换元法；一般而言：在用基本不等式求最值因“不相等”而受阻时，常用函数y?x?a,(a?0)的单调性；求二次函数（自变量受限制）的值域，先配方、再利用图x132111x的最大值不大于，又当x?,时，f(x)?，62428像、单调性等；求分式函数的值域（自变量没有限制）常用“逆求”（即判别式法）；求分式函数的值域（自变量受限制）通常分子、分母同除一个式子，变分子（分母）为常数. 举例1已知函数f(x)?ax?求实数a的值.举例2求函数f(x)?x?3在区间?2,2上的最大值与最小值. x2?6x?1321、遇到含参不等式（或含参方程）求其中某个参数的取值范围通常采用分离参数法，转化为求某函数的最大值（或最小值）；但是若该参数分离不出来（或很难分离），那么也可以整体研究函数y?f(a,x)的最值.特别注意：双变量问题在求解过程中应把已知范围的变量作为主变量，另一个作为参数.举例已知不等式4?a?2?2?0对于x?1,?）恒成立，求实数a的取值范围. xx第三部分 三角函数22、若?(0,?2)，则sin?tg?；角的终边越“靠近”y轴时，角的正弦、正切的绝对值就较大，角的终边“靠近”x轴时，角的余弦、余切的绝对值就较大.举例1已知?0,?，若sin?|cos?|?0，则?的取值范围是. 举例2方程sinx?x的解的个数为个.23、求某个角或比较两角的大小：通常是求该角的某个三角函数值（或比较两个角的三角函数值的大小），然后再定区间、求角（或根据三角函数的单调性比较出两个角的大小）.比如：由tg?tg?未必有?；由?同样未必有tg?tg?；两个角的三角函数值相等，这两个角未必相等，如sin?sin?；则?2k?；或?2k?,k?Z；若cos?cos?，则?2k?,k?Z；若tg?tg?，则?k?,k?Z.举例1已知?,?都是第一象限的角，则“?”是“sin?sin?”的（ ）A、充分不必要条件；B、必要不充分条件；C、充要条件；D、既不充分又不必要条件. 举例2已知?0,?0,?，则“?”是“sin?sin?”的（ ）A、充分不必要条件；B、必要不充分条件；C、充要条件；D、既不充分又不必要条件.24、已知一个角的某一三角函数值求其它三角函数值或角的大小，一定要根据角的范围来确定；能熟练掌握由tg?的值求sin?,cos?的值的操作程序；给（一个角的三角函数）值求（另一个三角函数）值的问题，一般要用“给值”的角表示“求值”的角，再用两角和（差）的三角公式求得.举例1已知?是第二象限的角，且cos?a，利用a表示tg?；高三数学知识点 高三数学知识点总结(经典版)举例2已知6sin?sin?cos?2cos?0,?(22?2,?)，求sin(2?3)的值.25、欲求三角函数的周期、最值、单调区间等，应注意运用二倍角正（余）弦公式，半角公式降次即：sinx?211?(1?cos2x),cos2x?(1?cos2x)；引入辅助角（特别注意，2236经常弄错）使用两角和、差的正弦、余弦公式（合二为一），将所给的三角函数式化为y?Asin(?x?)?B的形式.函数y?|Asin(?x?)|的周期是函数y?Asin(?x?)周期的一半.举例函数f(x)?2cos2x?23sinxcosx?1的最小正周期为；最大值为；单调递增区间为；在区间0,2?上，方程f(x)?1的解集为26、当自变量x的取值受限制时，求函数y?Asin(?x?)的值域，应先确定?x?的取值范围，再利用三角函数的图像或单调性来确定sin(?x?)的取值范围，并注意A的正负；千万不能把x取值范围的两端点代入表达式求得.举例已知函数f(x)?2sinx(sinx?cosx),x?0,?，求f(x)的最大值与最小值.27、三角形中边角运算时通常利用正弦定理、余弦定理转化为角（或边）处理.有关a,b,c的齐次式（等式或不等式），可以直接用正弦定理转化为三角式；当知道ABC三边a,c平方的和差关系，常联想到余弦定理解题；正弦定理应记为abc?2R（其sinAsinBsinC中R是ABC外接圆半径.举例在ABC中，a,c分别是?A,?B,?C对边的长.已知a,c成等比数列，且a2?c2?ac?bc，求?A的大小及bsinB的