2018_2019学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入复习提升课学案新人教A版.docx

第三章 数系的扩充与复数的引入章末复习提升课复数的概念问题展示（教材P116复习参考题A组T2）已知复数z与（z2）28i都是纯虚数，求z.【解】因为z是纯虚数，所以设zbi（b0，bR）.则（z2）28i（2bi）28i44bib2i28i（4b2）（4b8）i因为（z2）28i也是纯虚数，所以所以b2.所以z2i.复数z满足（z2）28i，求复数z.【解】设zxyi，x，yR，所以（xyi2）28i，即（x2）2y22（x2）yi8i，所以解得或所以z2i或z42i.复数z满足（z2）28i是纯虚数.求|z|的最小值.【解】设zxyi（x，yR），则（z2）28i（x2yi）28i（x2）2y22（x2）y8i.因为（z2）28i是纯虚数，所以由得，y2（x2）2，所以|z|2x2y2x2（x2）22x24x42（x1）22.所以当x1，y1时，满足式，此时，|z|2的最小值为2，即|z|min.复数的几何意义问题展示（教材P112习题3.2A组T3）ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C三点对应的复数分别是13i，i，2i，求点D对应的复数.【解】由复数的几何意义知，A，B，C分别对应复平面内点（1，3），（0，1），（2，1）.又因为四边形ABCD是平行四边形，所以.设D（x，y），则有（1，4）（2x，1y），所以解得故点D对应的复数为35i.在复平面上，A，B，C，D四点对应的复数分别为13i，i，2i，35i，则四边形ABCD一定是（）A.矩形B.梯形C.正方形 D.平行四边形【解析】因为（0，1）（1，3）（1，4），（3，5）（1，3）（2，2），（2，1）（0，1）（2，2）.所以，（1，4）（2，2）100.所以ABCD仅为平行四边形，故选D.【答案】D【拓展1】在复平面xOy中，四边形ABCD的点B，D对应的复数分别为i与35i，A，C两点在直线2xy50上，且A、C两点对应的复数zA与zC的实部和虚部都是正整数.（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；（2）计算：zAzC与.【解】（1）证明：设zAabi，zCcdi，且a，b，c，dN*，zAzC，因为A、C两点都在直线2xy50上，所以（a，b）与（c，d）是方程2xy50的正整数解对应的有序数对（x，y）.由2xy50得y52x0，所以x，又xN*，所以当x1时，y3，当x2时，y1.所以（x，y）（1，3）或（2，1）.所以zA13i，zC2i或zA2i，zC13i.当zA13i，zC2i时，（3，5）（1，3）（2，2），（2，1）（0，1）（2，2），所以，又A，B，C，D不共线，所以ABCD是平行四边形.当zA2i，zC13i时，（3，5）（2，1）（1，4），（1，3）（0，1）（1，4）.所以，又A，D，B，C不共线，所以ABCD是平行四边形.（2）由（1）可知zAzC（2i）（13i）26ii3i217i.当zA13i，zC2i时，1i.当zA2i，zC13i时，i.【拓展2】在复平面上，正方形ABCD的顶点A、B、C、D按逆时针方向排列.A，B对应的复数分别为13i与i.（1）求C、D分别对应的复数zC与zD.（2）设与对应的复数分别为z1与z2，求.【解】（1）设zCabi，zDcdi，a，b，c，dR，所以（0，1）（1，3）（1，4），（a，b）（0，1）（a，b1），因为ABCD是正方形，所以0，且|.即（1，4）（a，b1）0.且，所以解得或当a4，b0时，A、B、C的顺序是顺时针排列，舍去.当a4，b2时，A、B、C的顺序是逆时针排列.此时，zC42i，由得（c，d）（1，3）（4，2）（0，1），即（c，d）（4，2）（0，1）（1，3）（5，2）.所以zD52i.（2）由（1）得z1（42i）（13i）35i，z2（52i）（i）53i.i.所以ii2i2 017i.复数的运算与参数问题问题展示（教材P116复习参考题B组T3）已知复数z1m（4m2）i（mR），z22cos （3sin ）i（，R），并且z1z2，求的取值范围.【解】由z1z2得m（4m2）i2cos （3sin ）i，由复数相等的定义知，必有得44cos23sin .所以44cos23sin 44（1sin2）3sin 4sin23sin 44.因为sin 1，1，所以max47，min.故.已知复数z1m（4m2）i（mR），z22cos （73sin ）i.若z1z2.求证：z1在复平面上对应的点Z在虚轴上.【证明】因为z1z2，由复数相等的定义得代入得44cos273sin .所以4sin23sin 70.解得sin 1或sin （舍去）.所以cos 0，即m0.所以z14i，即z1对应的点Z在虚轴上. 1.已知复数z（i为虚数单位），则z在复平面内所对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析：选C.因为zi，所以z在复平面内所对应的点在第三象限，故选C.2.已知复数z12ai（aR），z212i，若为纯虚数，则|z1|（）A. B.C.2 D.解析：选D.由于为纯虚数，则a1，则|z1|，故选D.3.已知i是虚数单位，z是复数，则下列叙述正确的是（）A.z为纯虚数B.z2n0（nZ）C.对于任意的zC，|z|D.满足z的z仅有一个解析：选C.当z0时，z0R，所以选项A错误；当zi，n1时，z2ni210，所以选项B错误；由复数的模与共轭复数的定义，知|z|，所以选项C正确；当zi或i时均满足z，故选项D错误.4.复数z2cos （3sin ）i的模的最大值为.解析：