第讲-三角函数三角恒等变换解三解形.ppt

5 终边与终边关于原点对称 2k k Z 6 终边在x轴上的角可表示为 k k Z 终边在y轴上的角可表示为k Z 终边在坐标轴上的角可表示为k Z 2 与的终边关系 由 两等分各象限 一二三四 确定 如若的第二象限角 则是第象限角 3 弧长公式 l R 扇形面积公式 1弧度 1rad 57 3 如已知扇形AOB的周长是6cm 该扇形的中心角是1弧度 则该扇形的面积 一 三 2cm2 4 任意角的三角函数的定义 设是任意一个角 P x y 是的终边上的任意一点 异于原点 它与原点的距离是那么sin costan x 0 三角函数值只与角的大小有关 而与终边上点P的位置无关 如 1 已知角的终边经过点P 5 12 则sin cos的值为 2 设是第三 四象限角 sin 则m的取值范围是 3 若则cot sin tan cos 的符号是 用 正 负 填空 负 5 三角函数线的特征 正弦线MP 站在x轴上 起点在x轴上 余弦线OM 躺在x轴上 起点是原点 正切线AT 站在点A 1 0 处 起点是A 三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式 如 1 若 0 则sin cos tan的大小关系为 2 若为锐角 则 sin tan的大小关系为 3 函数的定义域是 6 同角三角函数的基本关系式 1 平方关系 sin2 cos2 1 2 商数关系 同角三角函数的基本关系式的主要应用是 已知一个角的三角函数值 求此角的其它三角函数值 在运用平方关系解题时 要根据已知角的范围和三角函数的取值 尽可能地压缩角的范围 以便进行定号 在具体求三角函数值时 一般不需用同角三角函数的基本关系式 而是先根据角的范围确定三角函数值的符号 再利用解直角三角形求出此三角形函数值的绝对值 如若0 2x 2 则使成立的x的取值范围是 7 三角函数诱导公式的本质是 奇变偶不变 对k而言 指k取奇数或偶数 符号看象限 看原函数 同时可把看成是锐角 诱导公式的应用是求任意角的三角函数值 其一般步骤 1 负角变正角 再写成2k 0 2 2 转化为锐角三角函数 如 的值为 已知sin 540 则cos 270 若为第二象限角 则 8 两角和与差的正弦 余弦 正切公式及倍角公式sin sincos cossin 9 三角函数的化简 计算 证明的恒等变形的基本思路是 一角二名三结构 即首先观察角与角之间的关系 注意角的一些常用变式 角的变换是三角函数变换的核心 其次看函数名称之间的关系 通常 切化弦 再次观察代数式的结构特点 基本的技巧有 1 已知角与特殊角的变换 已知角与目标角的变换 角与其倍角的变换 两角与其和差角的变换 如等 如已知那么的值是 2 三角函数名互化 切化弦 如 求值 sin50 1 tan10 已知则 3 公式变形使用如 已知A B为锐角 且满足tanAtanB tanA tanB 1 则cos A B 设 ABC中 tanA tanB tanAtanB sinAcosA 则此三角形是三角形 4 三角函数次数的降升 降幂公式 与升幂公式 1 等边 10 辅助角公式中辅助角的确定 其中角所在的角限由a b的符号确定 角的值由确定 在求最值 化简时起着重要作用 如 1 若方程有实数解 则c的取值范围是 2 当函数y 2cosx 3sinx取得最大值时 tanx的值是 2 2 11 正弦函数和余弦函数的图象正弦函数y sinx和余弦函数y cosx图象的作图方法 五点法 先取横坐标分别为0 的五点 再用光滑的曲线把这五点连结起来 就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象 12 正弦函数y sinx x R 余弦函数y cosx x R 的性质 1 定义域 都是R 2 值域 都是 1 1 对y sinx 当 k Z 时 y取最大值1 当 k Z 时 y取最小值 1 对y cosx 当 k Z 时 y取最大值1 当 k Z 时 y取最 小值 1 如 若函数y a bsin的最大值为最小值为则a b 函数f x sinx 的值域是 3 周期性 y sinx y cosx的最小正周期都是 f x Asin x 和f x Acos x 的最小正周期都是如若f x 则f 1 f 2 f 3 f 2003 4 奇偶性与对称性 正弦函数y sinx x R 是奇函数 对称中心是 k 0 k Z 对称轴是直线 k Z 余弦函数y cosx x R 是偶函 1或 1 1 2 0 数 对称中心是 k 0 k Z 对称轴是直线x k k Z 正 余 弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x轴的直线 对称中心为图象与x轴交点 如 函数的奇偶性是 已知函数f x ax bsin3x 1 a b为常数 且f 5 7 则f 5 5 单调性 y sinx在 k Z 上单调递增 在 k Z 单调递减 y cosx在 2k 2k k Z 上单调递减 在 2k 2k 2 k Z 上单调递增 特别提醒 别忘了k Z 偶函数 5 13 形如y Asin x 的函数 1 函数y Asin x 表达式的确定 A由最值确定 由周期确定 由图象上的特殊点确定 如 A 0 0 的图象如图所示 则f x 2 函数y Asin x 图象的画法 五点法 设X x 令X 0 求出相应的x值 计算得出五点的坐标 描点后得出图象 图象变换法 它是作函数简图常用方法 3 函数y Asin x k的图象与y sinx图象间的关系 函数y sinx的图象纵坐标不变 横 f x Asin x 坐标向左 0 或向右 0 或向下 k 0 平移 k 个单位得到y Asin x k的图象 要特别注意 若由y sinx得到y sin x 的图象 则应向左或向右平移个单位 如函数2sin的图象经过怎样的变换才能得到y sinx的图象 y sin y 答案向上平移1个单位得y 2sin 2x 的图象 再向左平移个单位得y 2sin2x的图象 横坐标扩大到原来的2倍得y 2sinx的图象 最后将纵坐标缩小到原来的即得y sinx的图象14 正切函数y tanx的图象和性质 1 定义域 2 值域是R 在上面定义域上无最大值也无最小值 3 周期性 是周期函数且周期是 它与直线y a的两个相邻交点之间的距离是一个周期 绝对值或平方对三角函数周期性的影响 一般说 来 某一周期函数解析式加绝对值或平方 其周期性是 弦减半 切不变 既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值 其周期性不变 其它不定 如y sin2x y sinx 的周期都是 的周期为而的周期不变 4 奇偶性与对称性 是奇函数 对称中心是 5 单调性 正切函数在开区间 k Z 内都是增函数 但要注意在整个定义域上不具有单调性 k Z y sinx y tanx 15 三角形中的有关公式 1 内角和定理 三角形三角和为 这是三角形中三角函数问题的特殊性 解题不可忘记任意两角和与第三个角总互补 任意两半角和与第三个角的半角总互余 锐角三角形 三内角都是锐角 三内角的余弦值为正值 任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方 2 正弦定理 R为三角形外接圆的半径 注意 正弦定理的一些变式 a b c sinA sinB sinC sinA a 2RsinA b 2RsinB c 2RsinC 已知三角形两边一对角 求解三角 形时 若运用正弦定理 则务必注意可能有两解 3 余弦定理 a2 b2 c2 2bccosA 等 常选用余弦定理鉴定三角形的形状 4 面积公式 其中r为三角形内切圆半径 如 ABC中 若sin2Acos2B cos2Asin2B sin2C 则 ABC的形状是 直角三角形 1 2009 全国 文 1 sin585 的值为 A B C D 解析 45 2 2009 辽宁文 8 已知tan 2 则sin2 sincos 2cos2 A B C D 解析又故原式 sin585 sin 360 225 sin 180 A D 3 已知函数y sin x 0 0 且此函数的图象如图所示 则点 的坐标是 A B C D 解析结合图形提供的信息分别确定 的值 由图知函数的周期故 的坐标为因此选C C 4 2009 四川文 4 已知函数f x sin x R 下面结论错误的是 A 函数f x 的最小正周期为2B 函数f x 在区间上是增函数C 函数f x 的图象关于直线x 0对称D 函数f x 是奇函数解析A正确 y cosx在上是减函数 y cosx在上是增函数 B正确 由图象知y cosx关于直线x 0对称 C正确 y cosx是偶函数 D错误 D 5 已知那么的值是 A B C 2D 2解析从而由已知得 A 6 如图 为了测定河的宽度 在一岸边选定两点A B 望对岸标记物C 测得 CAB 30 AB 120米 则河的宽度是 A 40米B 50米C 60米D 70米解析作CD AB 河宽为CD 则得CD 60 米 CBA 75 C 7 在 ABC中 a b分别为角A B的对边 若B 60 C 75 a 8 则边b 解析易得A 45 由正弦定理 得8 2009 上海理 6 函数y 2cos2x sin2x的最小值是 解析 y 2cos2x sin2x 1 cos2x sin2x 9 给出下列命题 存在实数x 使sinx cosx 若是第一象限角 且 则 函数是偶函数 若则 y sin2x的图象向左平移个单位 得到函数y sin 2x 的图象 若是三角形的内角 有最大值 但无最小值 其中正确命题的序号为 解析逐一判定 中 最大值 是假命题 中 令则与 则 矛盾 是假命题 中 函数是偶函数 是真命题 中 由或且或其中 m n Z k Z 是真命题 中 y sin2x向左移个单位长