高中数学平面解析几何初步章末知识整合苏教版.docx

【金版学案】2016-2017学年高中数学 第2章 平面解析几何初步章末知识整合 苏教版必修2一、数形结合思想“数形结合”是把代数中的“数”与几何中的“形”结合起来认识问题、理解问题并解决问题的思维方法，是人们的一种普遍思维习惯在数学上的具体表现数形结合一般包括两个方面，即以“形”助“数”和以“数”解“形”解析几何研究问题的主要方法坐标法，就是数形结合的典范在本章的学习中主要体现在以下两个方面：(1)直线的方程中有很多概念，如距离、倾斜角、斜率等都很容易转化成“形”，因此题目中涉及这些问题时可以尝试用数形结合来解决(2)与圆有关的最值问题、直线与圆的交点个数、圆与圆的位置关系等都可能用到数形结合思想例1已知圆C1：x2y24和圆C2：x2(y8)24，直线yxb在两圆之间(不与圆相交或相切)，求实数b的取值范围解：画出示意图如图所示，直线yxb，即x2y2b0.当直线与圆C1相切时，2，解得b3；当直线与圆C2相切时，2，解得b5或b11.结合图形可知3b5.规律总结圆是一种几何特征非常明显的图形在解圆的有关问题时，一般要根据题意在平面直角坐标系中画出图形，然后充分利用图形解决问题变式训练1设点P(x，y)是圆x2(y4)24上的任意一点，则的最大值为_解析：因为点P(x，y)是圆x2(y4)24上的任意一点，所以表示点(1，1)与该圆上任意一点的距离易知点(1，1)在圆x2(y4)24外，如图所示，所以的最大值为22.答案：22已知点A(3，1)，在直线yx和y0上各找一点M和N，使AMN的周长最短，并求出最短周长解：由点A(3，1)及直线yx，可求得点A关于yx的对称点B(1，3)，同理可得点A关于y0的对称点C(3，1)，如图所示则AMANMNBMCNMNBC，当且仅当B，M，N，C四点共线时，AMN的周长最短，为BC2.由点B(1，3)，C(3，1)可得直线BC的方程为2xy50.由得故点M的坐标为.对于2xy50，令y0，得x，故点N的坐标为.故点M与点N即所求，此时AMN的周长最短，且最短周长为2.二、分类讨论思想分类讨论思想是数学的基本思想之一，其实质就是把整体问题化为部分问题，从而增加题设的条件来解决问题例2过点P(1，0)，Q(0，2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线方程解：(1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x1，x0，它们在x轴上截距之差的绝对值为1，满足题意；(2)当直线的斜率存在时，设其斜率为k，则两条直线的方程分别为yk(x1)，ykx2.令y0，分别得x1，x.由题意1，即k1.所以这两条直线的方程分别为yx1，yx2，即xy10，xy20.综上可知，所求的直线方程分别为x1，x0或xy10，xy20.规律总结研究直线要善于从斜率的角度去考虑问题，即从斜率存在和斜率不存在两个方面分类讨论这是隐含在题中的一个分类因素，易被忽视，也是犯“对而不全”错误的根源之一变式训练3已知直线l：4xysin 10，求它的斜率及斜率的取值范围解：直线l的方程中y的系数是sin ，而sin 的值域是1，1，sin 的值可取零，但sin 0的直线的斜率不存在，故视sin 为研究对象，分类讨论(1)当sin 0，即k(kZ)时，直线l的斜率不存在，倾斜角；(2)当sin 0，即k(kZ)时，直线l的斜率kk的取值范围为(，44，)三、函数与方程思想函数与方程思想在圆中应用较广泛，求圆的方程、直线与圆的交点及圆与圆的交点等都要用到函数与方程思想例3已知过点(3，0)的直线l与圆x2y2x6y30相交于P，Q两点，且OPOQ(其中O为坐标原点)，求直线l的方程分析：已知OPOQ，若设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x2y1y20，由点P，Q在圆及直线l上，可联立方程，借助根与系数的关系求解解：设直线l的方程为xay30，由题意知a0.由(*)消去y，得x2x630，即(a21)x2(a26a6)x3a218a90，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x2.由方程组(*)消去x，得(3ay)2y23ay6y30，即(a21)y2(7a6)y150，所以y1y2.依题意知OPOQ，所以x1x2y1y20.将代入，得0.整理，得a26a80，解得a2或a4，经检验知a2和a4都满足题意，所以直线l的方程为x2y30或x4y30.规律总结函数思想的实质是用联系和变化的观点提出问题的数学特征，建立各变量间的函数关系通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决方程的思想多用于曲线方程的求解和两直线位置关系的判定变式训练4已知直线l：yx和两个定点A(1，1)，B(2，2)，问直线l上是否存在一点P，使得|PA|2|PB|2取得最小值，若存在，求出点P的坐标和|PA|2|PB|2的最小值；若不存在，说明理由解：假设存在一点P，使得|PA|2|PB|2取得最小值，设此点为P(2x0，x0)，则|PA|2|PB|2(2x01)2(x01)2(2x02)2(x02)210x18x010.因为x0R，所以当x0，即点P的坐标为时，PA2PB2可取得最小值，且最小值为.四、转化与化归思想把代数问题几何化、几何问题代数化，可使较复杂问题直观化、具体化、简单化，从而使问题快速得到解决例4已知实数x，y满足yx22x2(1x1)，试求的最大值和最小值解：设yx22x2(1x1)表示曲线段AB.由的几何意义可知，它表示定点P(2，3)和曲线段AB上任一点(x，y)的连线的斜率k，如图所示，可知kPAkkPB.由已知可得A(1，1)，B(1，5)，所以kPA，kPB8.所以k8，故的最大值是8，最小值是.规律总结对于形如k的分式函数y的值域问题，可利用定点与动点的相对位置，转化为求直线斜率的范围，利用数形结合进行求解变式训练5已知实数x