【精品】2011届高考数学第一轮总复习经典实用 7-4曲线和方程学案课件

基础知识一 曲线方程的定义在直角坐标系中 如果某曲线C 看作适合某条件的点的集合或轨迹 上的点与一个二元方程f x y 0的实数解建立了如下的关系 1 曲线上的点的坐标 2 以这个方程的解为坐标的点 那么这个方程叫做曲线的方程 这条曲线叫做方程的曲线 图形 都是这个方程的解 都是曲线上的点 二 曲线方程的两个基本问题曲线方程的两个基本问题 一是 二是 已知曲线求方程的五步法 建系设点 列等式 代换 化简 证明 中 建立适当的坐标系是前提 由条件列出等式是求方程的关键 最后一步可以省略不写 但遇到特殊情况要加以说明 因此 五步 即 四步一说明 根据已知条件 求出 表示平面曲线的方程 通过方程 研究平面曲线的 性质 由方程画曲线 图形 的步骤 讨论曲线的对称性 关于x轴 y轴和原点 求截距 讨论曲线的范围 列表 描点 画线 三 交点与曲线系方程求两曲线的交点 就是解这两条曲线方程组成的方程组 过曲线f1 x y 0和f2 x y 0的交点的曲线系方程是f1 x y f2 x y 0 R 易错知识一 忽视特殊情况致误1 求过点 0 1 的直线 使它与抛物线y2 2x仅有一个交点 错解 设所求过点 0 1 的直线为y kx 1 则它与抛物线方程联立为消去y得 kx 1 2 2x 0 整理得k2x2 2k 2 x 1 0 直线与抛物线仅有一个交点 0 解得k 所求直线为y x 1 分析 此解法共有三处错误 第一 设所求直线为y kx 1时 没有考虑k 0与斜率不存在的情形 实际上就是承认了该直线的斜率是存在的 且不为零 这是不严密的 第二 题中要求直线与抛物线只有一个交点 它包含相交和相切两种情况 而上述解法考虑不全面 原因是对于直线与抛物线 相切 和 只有一个交点 的关系理解不透 第三 将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程 要考虑它的判别式 所以它的二次项系数不能为零 即k 0 而上述解法没作考虑 表现出思维不严密 正解 当所求直线斜率不存在时 即直线垂直x轴 因为过点 0 1 所以x 0 即y轴 它正好与抛物线y2 2x相切 当所求直线斜率为零时 直线为y 1平行x轴 它正好与抛物线y2 2x只有一个交点 一般地 设所求的过点 0 1 的直线为y kx 1 k 0 则 k2x2 2k 2 x 1 0 令 0 解得k 所求直线为y x 1 综上 满足条件的直线为 y 1 x 0 y x 1 回归教材1 教材P781题改编 到两坐标轴距离之和为6的点的轨迹方程为 A x y 6B x y 6C x y 6D x y 6解析 由条件及绝对值的几何意义可知选C 答案 C 2 如图所示 曲线的方程是 A x y 0B x y 0解析 曲线的方程为x y y 0 或x y y 0 等价于x y 0 答案 B 3 若曲线y x2 x 2和y x m有两个交点 则 A m RB m 1 C m 1D m 1 4 4 2 m 0 m 1 故选D 答案 D 4 已知lg x 2 lg 2y lg 16x 成等差数列 则点P x y 的轨迹方程为 2lg 2y lg x 2 lg 16x lg4y2 lg16x x 2 4y2 16x x 2 5 教材P798题改编 长度为2a的线段AB的两端点A B分别在x轴 y轴上滑动 则线段AB的中点P的轨迹方程是 解析 OP AB a x2 y2 a2 答案 x2 y2 a2 例1 如果曲线l上的点的坐标满足方程F x y 0 则以下说法正确的是 A 曲线l的方程是F x y 0B 方程F x y 0的曲线是lC 坐标不满足方程F x y 0的点不在曲线l上D 坐标满足方程F x y 0的点在曲线l上 命题意图 考查 曲线的方程 和 方程的曲线 的概念的理解 分析 从 曲线的方程 和 方程的曲线 两方面判断 解答 直接法 原说法写成命题形式即 若点M x y 是曲线l上的点 则M点的坐标适合方程F x y 0 其逆否命题即 若M点的坐标不适合方程F x y 0 则M点不在曲线l上 此即说法C 特值方法 作如图所示的曲线l 考查l与方程F x y x2 1 0的关系 显然A B D中的说法全不正确 选C 总结评述 本例给出了判定方程和曲线对应关系的两种方法 等价转换和特值方法 其中特值方法应引起重视 它的使用依据即 方程的曲线上的点的纯粹性和完备性 简言之 即 多一点不行 少一点不可 设方程f x y 0的解集非空 如果命题 坐标满足方程f x y 0的点都在曲线C上 是不正确的 则下面命题中正确的是 A 坐标满足f x y 0的点都不在曲线C上B 曲线C上的点的坐标都不满足f x y 0C 坐标满足f x y 0的点有些在C上 有些不在曲线上D 一定有不在曲线上的点 其坐标满足f x y 0 解析 坐标满足方程f x y 0的点都在曲线C上 不正确 就是说 坐标满足方程f x y 0的点不都在曲线C上 是正确的 这意味着一定有这样的点 x0 y0 虽然f x0 y0 0 但 x0 y0 C 即一定有不在曲线上的点 其坐标满足f x y 0 故应选D 答案 D 总结评述 都 的否定是 不都 而不是 都不 故不能选A 而B与A是等价的 也不能选 本题还易错选C 选错的原因是没有弄清 不都 包含有 都不 的情况 举例说 f x y 0只有一个解 那么满足f x y 0的点就不会出现 有些在C上 的情况 至于题目的条件 设f x y 0的解集非空 会使问题更加严密 判断方程表示什么曲线 就要把方程变形 一般变形的方法有 配方法 因式分解法或化成我们熟悉的形式 然后再根据方程 等式等 数 的性质进行判断 例2 2004 黄冈三模 方程 x2 y2 4 0曲线形状是 命题意图 本题考查曲线与方程之间的关系 解答 由题可得或x y 1 0表示直线x y 1 0和其右上方的圆x2 y2 4 0 故选C 答案 C 方程 x2 4 2 0表示的图形是 A 四条直线B 两个点C 四个点D 四条直线 解析 方程等价于x2 4且y2 4 即x 2且y 2 即故方程表示四个点 选C 答案 C 例3 过定点A a b 任作互相垂直的两直线l1与l2 且l1与x轴交于M点 l2与y轴交于N点 求线段MN中点P的轨迹方程 分析 题中给出了3个条件A a b l1 l2 点M 点N 从不同的角度去分析三个条件之间的联系 将有不同的解法 解答 方法1 直接法 当直线AM斜率存在时 设P x y 则M 2x 0 N 0 2y 整理化简 得2ax 2by a2 b2 0 x 当直线AM x轴时 此时MN的中点也满足上述方程 所求点P的轨迹方程为2ax 2by a2 b2 0 方法2 相关点法 设P x y M x1 0 N 0 y1 l1 l2 x1 a 2 b2 y1 b 2 a2 x y 化简得ax1 by1 a2 b2 0 所求点P的轨迹方程为2ax 2by a2 b2 0 方法3 参数法 1 当l1不平行于y轴时 设l1的斜率为k1 依题意k1 0 l1 l2 l2的斜率为 l1的方程为y b k1 x a l2的方程为y b x a 在 中令y 0 得M点的横坐标x0 a 在 中令x 0 得N点的纵坐标y0 b 设MN中点P的坐标为 x y 则 消去k1 得2ax 2by a2 b2 0 x 2 当l1平行于y轴时 MN中点为 其坐标满足方程 所求MN中点P的轨迹方程为2ax 2by a2 b2 0 2007 福建 20 如图 已知F 1 0 直线l x 1 P为平面上的动点 过P作直线l的垂线 垂足为点Q 且 求动点P的轨迹C的方程 分析 本题采用直接法 设出点P坐标 根据已知条件列出方程及限制条件 解答 设点P x y 则Q 1 y 由得 x 1 0 2 y x 1 y 2 y 化简得C y2 4x 总结评述 求轨迹与求轨迹方程不同 前者求方程之后需指明是何种曲线 以及相关变量允许取值的范围 1 视曲线为点集 曲线上的点应满足的条件转化为动点坐标 x y 所满足的方程 则曲线上的点集与