量子力学第四章-力学量用算符表达-郭华忠

第四章力学量用算符表达 1算符的运算规则 2动量算符和角动量算符 3厄密算符的本征值与本征函数 4算符与力学量的关系 5共同本征函数 6测不准关系 一 算符定义 二 算符的一般特性 1算符的运算规则 代表对波函数 量子态 进行某种运算或变换的符号 u v表示 把函数u变成v 就是这种变换的算符 1 du dx v d dx就是算符 其作用是对函数u微商 故称为微商算符 2 xu v x也是算符 它对u作用是使u变成v 由于算符只是一种运算符号 所以它单独存在是没有意义的 仅当它作用于波函数上 对波函数做相应的运算才有意义 例如 一 算符定义 7 逆算符 8 算符函数 9 复共轭算符 10 转置算符 11 厄密共轭算符 12 厄密算符 1 线性算符 2 算符相等 3 算符之和 4 算符之积 5 对易关系 6 对易括号 二 算符的一般特性 1 线性算符 c1 1 c2 2 c1 1 c2 2其中c1 c2是任意复常数 1 1是任意两个波函数 满足如下运算规律的算符 称为线性算符 2 算符相等 若两个算符 对体系的任何波函数 的运算结果都相同 即 则算符 和算符 相等记为 例如 开方算符 取复共轭就不是线性算符 注意 描写可观测量的力学量算符都是线性算符 这是态叠加原理的反映 3 算符之和 若两个算符 对体系的任何波函数 有 则 称为算符之和 显然 算符求和满足交换率和结合率 例如 体系Hamilton算符 注意 算符运算没有相减 因为减可用加来代替 很易证明线性算符之和仍为线性算符 4 算符之积 若 则 其中 是任意波函数 一般来说算符之积不满足交换律 即 这是算符与通常数运算规则的唯一不同之处 5 对易关系 若 则称 与 不对易 显然二者结果不相等 所以 对易关系 量子力学中最基本的对易关系 若算符满足 则称 和 反对易 写成通式 但是坐标算符与其非共轭动量对易 各动量之间相互对易 注意 当 与 对易 与 对易 不能推知 与 对易与否 例如 6 对易括号 为了表述简洁 运算便利和研究量子力学与经典力学的关系 人们定义了对易括号 这样一来 坐标和动量的对易关系可改写成如下形式 不难证明对易括号满足如下对易关系 1 2 3 4 0上面的第四式称为Jacobi恒等式 7 逆算符 1 定义 设 能够唯一的解出 则可定义算符 之逆 1为 1 并不是所有算符都存在逆算符 例如投影算符就不存在逆 2 性质I 若算符 之逆 1存在 则 1 1 I 1 0证 1 1 1 因为 是任意函数 所以 1 I成立 同理 1 I亦成立 3 性质II 若 均存在逆算符 则 1 1 1 例如 设给定一函数F x 其各阶导数均存在 其幂级数展开收敛 则可定义算符 的函数F 为 9 复共轭算符 算符 的复共轭算符 就是把 表达式中的所有量换成复共轭 例如 坐标表象中 8 算符函数 利用波函数标准条件 当 x 时 0 由于 是任意波函数 所以 同理可证 10 转置算符 11 厄密共轭算符 由此可得 转置算符的定义 厄密共轭算符亦可写成 算符 之厄密共轭算符 定义 可以证明 12 厄密算符 1 定义 满足下列关系的算符称为厄密算符 2 性质 性质I 两个厄密算符之和仍是厄密算符 即若 则 性质II 两个厄密算符之积一般不是厄密算符 除非二算符对易 因为 仅当 0成立时 才成立 一 动量算符 1 动量算符的厄密性 2 动量本征方程 3 箱归一化 二 角动量算符 1 角动量算符的形式 2 角动量本征方程 3 角动量算符的对易关系 4 角动量升降阶算符 2动量算符和角动量算符 一 动量算符 1 动量算符的厄密性 使用波函数在无穷远处趋于零的边界条件 2 动量本征方程 其分量形式 证 由证明过程可见 动量算符的厄密性与波函数的边界条件有关 I 求解 这正是自由粒子的deBroglie波的空间部分波函数 如果取 c 2 2 3 1则 p r 就可归一化为 函数 于是 II 归一化系数的确定 采用分离变量法 令 3 箱归一化 在箱子边界的对应点A A 上加上其波函数相等的条件 此边界条件称为周期性边界条件 据上所述 具有连续谱的本征函数如 动量的本征函数是不能归一化为一的 而只能归一化为 函数 但是 如果我们加上适当的边界条件 则可以用以前的归一化方法来归一 这种方法称为箱归一化 周期性边界条件 这表明 px只能取分立值 换言之 加上周期性边界条件后 连续谱变成了分立谱 这时归一化系数c可由归一化条件来确定 讨论 1 箱归一化实际上相当于如图所示情况 2 由px 2nx L py 2ny L pz 2nz L 可以看出 相邻两本征值的间隔 p 2 L与L成反比 当L选的足够大时 本征值间隔可任意小 当L 时 本征值变成为连续谱 3 从这里可以看出 只有分立谱才能归一化为一 连续谱归一化为 函数 4 p r exp iEt 就是自由粒子波函数 在它所描写的状态中 粒子动量有确定值 该确定值就是动量算符在这个态中的本征值 5 周期性边界条件是动量算符厄米性的要求 二 角动量算符 1 角动量算符的形式 根据量子力学基本假定III 量子力学角动量算符为 I 直角坐标系 角动量平方算符 经典力学中 若动量为p 相对点O的位置矢量为r的粒子绕O点的角动量是 由于角动量平方算符中含有关于x y z偏导数的交叉项 所以直角坐标下角动量平方算符的本征方程不能分离变量 难于求解 为此我们采用球坐标较为方便 直角坐标与球坐标之间的变换关系 这表明 r r x y z x x r II 球坐标 将 1 式两边分别对xyz求偏导数得 将 2 式两边分别对xyz求偏导数得 对于任意函数f r 其中 r 都是x y z的函数 则有 将 3 式两边分别对xyz求偏导数得 将上面结果代回原式得 则角动量算符在球坐标中的表达式为 2 本征方程 I Lz的本征方程 求归一化系数 正交性 I 波函数有限条件 要求 z为实数 II 波函数单值条件 要求当 转过2 角回到原位时波函数值相等 即 合记之得正交归一化条件 最后得Lz的本征函数和本征值 讨论 厄密性要求第一项为零 所以 则 这正是周期性边界条件 II L2的本征值问题 L2的本征值方程可写为 为使Y 在 变化的整个区域 0 内都是有限的 则必须满足 1 其中 0 1 2 该方程的解就是球函数Ylm 其表达式 归一化系数 由归一化条件确定 其正交归一条件为 具体计算请参考有关数学物理方法的书籍 在这里就不作详细介绍了 III 本征值的简并度 由于量子数 表征了角动量的大小 所以称为角量子数 m称为磁量子数 可知 对应一个 值 m取值为0 1 2 3 共 2 1 个值 因此当 确定后 尚有 2 1 个磁量子状态不确定 换言之 对应一个 值有 2 1 个量子状态 这种现象称为简并 的简并度是 2 1 度 根据球函数定义式 3 角动量算符的对易关系 证 4 角动量升降阶算符 I 定义 显然有如下性质 所以 这两个算符不是厄密算符 II 对易关系 不难证明 可见 L Ylm 也是Lz与L2的共同本征函数 对应本征值分别为 m 1 和l l 1 2 III 证明 证 将Eq 1 作用于Ylm得 将Eq 2 作用于Ylm得 由于相应于这些本征值的本征函数是Yl m 1所以 L Ylm与Yl m 1二者仅差一个常数 即 求 常系数alm blm 首先对式左边积分并注意L L 再计算式右积分 比较二式 由 4 式 例 证明在LZ本征态Ylm下 0 证 方法I 代入平均值公式 同理 由角动量对易关系 代入平均值公式 同理 方法II 一 厄密算符的平均值 二 厄密算符的本征方程 三 厄密算符本征函数的正交性 四 实例 4厄密算符的本征值与本征函数 定理I 体系任何状态 下 其厄密算符的平均值必为实数 证 逆定理 在任何状态下 平均值均为实数的算符必为厄密算符 根据假定在任意态下有 证 取 1 c 2 其中 1 2也是任意态的波函数 c是任意常数 一 厄密算符的平均值 因为对任意波函数 左式 右式 令c 1 得 令c i 得 二式相加得 二式相减得 所得二式正是厄密算符的定义式 故逆定理成立 实验上的可观测量当然要求在任何状态下平均值都是实数 因此相应的算符必须是厄密算符 所以左右两边头两项相等相消 于是有 1 涨落 厄密算符平方的平均值一定大于等于零 于是有 2 力学量的本征方程 若体系处于一种特殊状态 在此状态下测量F所得结果是唯一确定的 即 则称这种状态为力学量F的本征态 可把常数记为Fn 把状态记为 n 于是得 其中Fn n分别称为算符F的本征值和相应的本征态 上式即是算符F的本征方程 求解时 作为力学量的本征态或本征函数还要满足物理上对波函数的要求即波函数的标准条件 证明 二 厄密算符的本征方程 定理II 厄密算符的本征值必为实 当体系处于F的本征态 n时 则每次测量结果都是Fn 由本征方程可以看出 在 n 设已归一 态下 证 3 量子力学基本假定III 根据定理I I 量子力学中的力学量用线性厄密算符表示 若力学量是量子力学中特有的 如宇称 自旋等 将由量子力学本身定义给出 若力学量在经典力学中有对应的量则在直角坐标系下通过如下对应方式 改造为量子力学中的力学量算符 II 测量力学量F时所有可能出现的值 都对应于线性厄密算符F的本征值Fn 即测量值是本征值之一 该本征值由力学量算符F的本征方程给出 1 正交性 定理III 厄密算符属于不同本征值的本征函数彼此正交 证 设 取复共轭 并注意到Fm为实 两边右乘 n后积分 二式相减得 若Fm Fn 则必有 证毕 2 分立谱 连续谱正交归一表示式 1 分立谱正交归一条件分别为 2 连续谱正交归一条件表示为 3 正交归一系 满足上式的函数系 n或 称为正交归一 函数 系 三 厄密算符的本征函数的正交性 4 简并情况 上面证明厄密算符本征函数的正交性时 曾假设这些本征函数属于不同本征值 即非简并情况 如果F的本征值Fn是f度简并的 则对应Fn有f个本征函数 n1 n2 nf 满足本征方程 一般说来 这些函数并不一定正交 证明分如下两步进行 1 nj是本征值Fn的本征函数 2 满足正交归一条件的f个新函数 nj可以组成 1 nj是本征值Fn的本征函数 2 满足正交归一条件的f个新函数 nj可以组成 方程的归一化条件有f个 正交条件有f f 1 2个 所以共有独立方程数为二者之和等于f f 1 2 为此只需证明线性叠加系数Aji的个数f2大于或等于正交归一条件方程个数即可 算符F本征值Fn简并的本质是 当Fn确定后还不能唯一的确定状态 要想唯一的确定状态还得寻找另外一个或几个力学量算符 F算符与这些算符两两对易 其本征值与Fn一起共同确定状态 综合上述讨论可得如下结论 既然厄密算符本征函数总可以取为正交归一化的 所以以后凡是提到厄密算符的本征函数时 都是正交归一化的 即组成正交归一系 因为f2 f f 1 2 f f 1 2 0 所以 方程个数少于待定系数Aji的个数 因而 我们有多种可能来确定这f2个系数使上式成立 f个新函数 nj的确是算符F对应于本征值Fn的正交归一化的本征函数 2 线性谐振子能量本征函数组成正交归一系 1 动量本征函数组成正交归一系 3 角动量本征函数组成正交归一系 1 Lz本征函数 2 L2本征函数 4 氢原子波函数组成正交归一系 四 实例 一 力学量的可能值 二 力学量的平均值 1 力学量算符本征函数组成完备系 2 力学量的可能值和相应几率 3 力学量有确定值的条件 4算符与力学量的关系 三 例题 但是还有两点问题没有搞清楚 1 测得每个本征值 n的几率是多少 也就是说 哪些本征值能够测到 对应几率是多少哪些测不到 几率为零 2 是否会出现各次测量都得到同一个本征值 即有确定值 要解决上述问题 我们还得从讨论本征函数的另一重要性质入手 1 力学量算符本征函数组成完备系 1 函数的完备性 例如 动量本征函数组成完备系 一 力学量的可能值 2 力学量算符的本征函数组成完备系 I 数学中已经证明某些满足一定条件的厄密算符其本征函数组成完备系 参看 梁昆淼 数学物理方法 P324 王竹溪 郭敦仁 特殊函数概论 1 10用正交函数组展开P41 即若 则任意函数 x 可按 n x 展开 II 除上面提到的动量本征函数外 人们已经证明了一些力学量算符的本征函数也构成完备系 如下表所示 但是对于任何一个力学量算符 它的本征函数是否一定完备并无一般证明 这将涉及到一个颇为复杂的数学问题 不管怎样 由上述两点分析 量子力学认为 一切力学量算符的本征函数都组成完备系 2 力学量的可能值和相应几率 现在我们再来讨论在一般状态 x 中测量力学量F 将会得到哪些值 即测量的可能值及其每一可能值对应的几率 根据量子力学基本假定III 测力学量F得到的可能值必是力学量算符F的本征值 nn 1 2 之一 该本征值由本征方程确定 而每一本征值 n各以一定几率出现 那末这些几率究竟是多少呢 下面我们讨论这个问题 由于 n x 组成完备系 所以体系任一状态 x 可按其展开 展开系数cn与x无关 讨论 与波函数 x 按动量本征函数展开式比较二者完全相同 我们知道 x 是坐标空间的波函数 c p 是动量空间的波函数 则 cn 则是F空间的波函数 三者完全等价 证明 当 x 已归一时 c p 也是归一的 同样cn也是归一的 证 所以 cn 2具有几率的意义 cn称为几率振幅 我们知道 x 2表示在x点找到粒子的几率密度 c p 2表示粒子具有动量p的几率 那末同样 cn 2则表示F取 n的几率 量子力学基本假定IV 综上所述 量子力学作如下假定 任何力学量算符F的本征函数 n x 组成正交归一完备系 在任意已归一态 x 中测量力学量F得到本征值 n的几率等于 x 按 n x 展开式 中对应本征函数 n x 前的系数cn的绝对值平方 3 力学量有确定值的条件 推论 当体系处于 x 态时 测量力学量F具有确定值的充要条件是 x 必须是算符F的一个本征态 证 1 必要性 若F具有确定值 则 x 必为F的本征态 确定值的意思就是每次测量都为 根据基本假定III 测量值必为本征值之一 令 m是F的一个本征值 满足本征方程 又根据基本假定IV n x 组成完备系 且测得可能值是 1 2 m 相应几率是 c1 2 c2 2 cm 2 现在只测得 m 所以 cm 2 1 c1 2 c2 2 0 除 cm 2外 于是得 x m x 即 x 是算符F的一个本征态 2 充分性 若 x 是F的一个本征态 即 x m x 则F具有确定值 根据基本假定IV 力学量算符F的本征函数组成完备系 所以 测得 n的几率是 cn 2 因为 表明 测量F得 m的几率为1 因而有确定值 力学量平均值就是指多次测量的平均结果 如测量长度x 测了10次 其中4次得x1 6次得x2 则10次测量的平均值为 如果波函数未归一化 同样 在任一态 x 中测量某力学量F的平均值 在理论上 可写为 则 这两种求平均值的公式都要求波函数是已归一化的 此式等价于以前的平均值公式 二 力学量的平均值 例1 已知空间转子处于如下状态 试问 1 是否是L2的本征态 2 是否是Lz的本征态 3 求L2的平均值 4 在 态中分别测量L2和Lz时得到的可能值及其相应的几率 解 没有确定的L2的本征值 故 不是L2的本征态 是Lz的本征态 本征值为 3 求L2的平均值 方法I 验证归一化 归一化波函数 方法II 4 例2 周 3 6设t 0时 粒子的状态为 x A sin2kx 1 2 coskx 求粒子的平均动量和平均动能 解 可写成单色平面波的叠加 比较二式 因单色平面波动量有确定值 或 从而得 归一化后 c pi 2表示粒子具有动量为pi的几率 于是就可以计算动量和动能的平均值了 1 动量平均值 2 动能平均值 5共同本征函数 一 两力学量同时有确定值的条件 二 两算符对易的物理含义 三 力学量完全集合 一 两力学量同时有确定值的条件 体系处于任意状态 x 时 力学量F一般没有确定值 如果力学量F有确定值 x 必为F的本征态 即 如果有另一个力学量G在 态中也有确定值 则 必也是G的一个本征态 即 结论 当在 态中测量力学量F和G时 如果同时具有确定值 那么 必是二力学量共同本征函数 二 两算符对易的物理含义 是特定函数 非任意函数也 例如 0的态 Y m Y00LxLz同时有确定值 但是 如果两个力学量的共同本征函数不止一个 而是一组且构成完备系 此时二力学量算符必可对易 考察前面二式 定理 若两个力学量算符有一组共同完备的本征函数系 则二算符对易 证 由于 n组成完备系 所以任意态函数 x 可以按其展开 则 因为 x 是任意函数 逆定理 如果两个力学量算符对易 则此二算符有组成完备系的共同的本征函数 证 考察 n也是G的本征函数 同理F的所有本征函数 n n 1 2 也都是G的本征函数 因此二算符具有共同完备的本征函数系 仅考虑非简并情况 即 与 n只差一常数Gn 定理 一组力学量算符具有共同完备本征函数系的充要条件是这组算符两两对易 例1 例2 例3 例4 三 力学量完全集合 1 定义 为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学量算符的最小 数目 集合称为力学量完全集 例1 三维空间中自由粒子 完全确定其状态需要三个两两对易的力学量 例2 氢原子 完全确定其