(北师大版)数学必修5全套教案-最新.doc

北师大版高中数学必修5第一章数列全部教案第一课时 1.1.1 数列的概念一、教学目标1、知识与技能：（1）理解数列及其有关概念；（2）了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；（3）对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式。2、过程与方法：（1）采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学；（2）发挥学生的主体作用，作好探究性学习；（3）理论联系实际，激发学生的学习积极性。3、情感态度与价值观：（1）.通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验.理论联系实际，激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的辩证唯物主义观点；（2）.通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣.二、教学重点： 数列及其有关概念，通项公式及其应用.教学难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式.三、教学方法：探究、交流、实验、观察、分析四、教学过程（一）、揭示课题:今天开始我们研究一个新课题先举一个生活中的例子：场地上堆放了一些圆钢，最底下的一层有100根，在其上一层（称作第二层）码放了99根，第三层码放了98根，依此类推，问：最多可放多少层？第57层有多少根？从第1层到第57层一共有多少根？我们不能满足于一层层的去数，而是要但求如何去研究，找出一般规律实际上我们要研究的是这样的一列数象这样排好队的数就是我们的研究对象数列（二）、推进新课合作探究折纸问题师 请同学们想一想，一张纸可以重复对折多少次？请同学们随便取一张纸试试(学生们兴趣一定很浓).生 一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了.师 你知道这是为什么吗？我们设纸原来的厚度为1长度单位，面积为1面积单位，随依次折的次数，它的厚度和每层纸的面积依次怎样？师 说得很好，随数学水平的提高，我们的思维会更加理性化.请同学们观察上面我们列出的这一列一列的数，看它们有何共同特点？师 它们的共同特点：都是有一定次序的一列数.教师精讲1.数列的定义：按一定顺序排列着的一列数叫做数列.注意：（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，第n项，.同学们能举例说明吗？3.数列的分类：1)根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列.无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是无穷数列.2)根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列.递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列.常数数列：各项相等的数列.摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.4、通项公式法:如数列 的通项公式为 ； 的通项公式为 ； 的通项公式为 ；数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的一般表示通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项例1.根据下面数列an的通项公式，写出前5项：(1)an=;(2)an=(-1)nn.师 由通项公式定义可知，只要将通项公式中n依次取1，2，3，4，5，即可得到数列的前5项.例2.根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)3，5，7，9，11，；(2)，；(3)0，1，0，1，0，1，；(4)1，3，3，5，5，7，7，9，9，；(5)2，-6，12，-20，30，-42，.（三）、学生课堂练习：课本本节练习1、2、3、4（四）、课堂小结：对于本节内容应着重掌握数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n项求一些简单数列的通项公式。（五）、布置作业课本习题1-1A组1、2、3、4。五、教后反思：第二课时 1.1.2数列的函数特性一、教学目标 1、知识与技能：了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；理解数列是一种特殊的函数；2、过程与方法：通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；3、情态与价值：体会数列是一种特殊的函数；借助函数的背景和研究方法来研究有关数列的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用已知去研究未知的能力。二、教学重点：理解数列的概念，探索并掌握数列的几种间单的表示法（列表、图象、通项公式）。难点：了解数列是一种特殊的函数；发现数列规律找出可能的通项公式。三、教学方法：讲授法为主四、教学过程（一）、导入新课师 同学们，昨天我们学习了数列的定义，数列的通项公式的意义等内容，哪位同学能谈一谈什么叫数列的通项公式？师 你能举例说明吗？教师进一步启发上面数列an=n-1、an=与函数有什么关系？你能用图象直观表示这个数列吗？由此展开本节新课。（二）新知探究1、数列与函数的关系：数列可以看作特殊的函数，项数是其自变量，项是项数所对应的函数值，数列的定义域是正整数集 ，或是正整数集 的有限子集 于是我们研究数列就可借用函数的研究方法，用函数的观点看待数列合作探究师 函数与数列的比较(由学生完成此表)：函数数列(特殊的函数)定义域R或R的子集N*或它的有限子集1，2，n解析式y=f(x)an=f(n)图象点的集合一些离散的点的集合师 对于函数，我们可以根据其函数解析式画出其对应图象，看来，数列也可根据其通项公式来画出其对应图象，下面同学们练习画数列:4，5，6，7，8，9，10;1, , , ,的图象.师 数列4，5，6，7，8，9，10,的图象与我们学过的什么函数的图象有关？师 数列1, , , ,的图象与我们学过的什么函数的图象有关？师 这两数列的图象有什么特点？2、数列的表示法（1）列举法: 简记为 一个函数的直观形式是其图象，我们也可用图形表示一个数列，把它称作图示法（2） 图示法:启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形具体方法是以项数 为横坐标，相应的项 为纵坐标，即以 为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列 为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势（3）通项公式法:如数列 的通项公式为 ；（4）递推公式法:如前面所举的钢管的例子，第 层钢管数 与第 层钢管数 的关系是 ，再给定 ，便可依次求出各项再如数列 中， ，这个数列就是 （三）、例题探析例1、判断下列无穷数列的增减性。（1）2,1,0，-1，3-n, ； （2）。例2、作出数列，的图像，并分析数列的增减性。 解析：如图是这个数列的图象，数列各项的值正负相间，表示数列的各点相对于横轴上下摆动，它既不是递增的，也不是递减的。（四）、学生练习：课本本节练习1、2（五）、课堂小结：1、探究结论；2、数列与函数有什么关系？（六）、作业布置：习题1-1 A组第5、6、7题五、教后反思：第三课时 数列的概念一、教学目标1、知识与技能：了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；理解数列的前n项和与的关系2、过程与方法：经历数列知识的感受及理解运用的过程。3、情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。二、教学重点：根据数列的递推公式写出数列的前几项教学难点理解递推公式与通项公式的关系三、教学过程.课题导入复习引入数列及有关定义.讲授新课数列的表示方法1、 通项公式法如果数列的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。如数列 的通项公式为 ； 的通项公式为 ； 的通项公式为 ；2、 图象法启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形具体方法是以项数 为横坐标，相应的项 为纵坐标，即以 为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列 为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势3、 递推公式法知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型 模型一：自上而下： 第1层钢管数为4；即：141+3 第2层钢管数为5；即：252+3 第3层钢管数为6；即：363+3若用表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且n7）运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便。让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律）模型二：上下层之间的关系自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。即；依此类推：（2n7）对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要。定义：递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式范例讲解例3 设数列满足写出这个数列的前五项。解：分析：题中已给出的第1项即，递推公式：解：据题意可知：，补充例题例4已知， 写出前5项，并猜想 .课堂练习：课本P36练习2补充练习1根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式(1) 0, (2n1) (nN)；(2) 1, (nN)；(3) 3, 32 (nN).课时小结：本节课学习了以下内容：1递推公式及其用法；2通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项（或n项）之间的关系. 3 an的定义及与n 之间的关系.课后作业：习题2.1A组的第4、6题 作业：P9 第4题四、教后反思：第四课时 1.2.1 等差数列（一）一、教学目标1知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系。2. 过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导，归纳抽象出等差数列的概念；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。3情态与价值:培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识。二、教学重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系。教学难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。三、学法：引导学生首先从四个现实问题（数数问题、座位问题、鞋号问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列的特点，推导出等差数列的通项公式；可以用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。四、教学过程（一）、创设情景 上节课我们学习了数列。在日常生活中，人口增长、鞋号问题、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们就先学习一类特殊的数列。（二）新知探究()、引导观察数列：0，5，10，15，20， ； 48，53，58，63 18，15.5，13，10.5，8，5.5 ； 10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360 看这些数列有什么共同特点呢？（由学生讨论、分析）等差数列的概念:对于以上几组数列我们称它们为等差数列。请同学们根据我们刚才分析等差数列的特征，尝试着给等差数列下个定义：等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。那么对于以上四组等差数列，它们的公差依次是5，5，-2.5，72。()、得出等差数列的定义：注意：从第二项起，后一项减去前一项的差等于同一个常数。1名称：等差数列，首项 ， 公差 ；2若 则该数列为常数列；3寻求等差数列的通项公式： 由此归纳为 当时 （成立） 注意: 1 等差数列的通项公式是关于的一次函数；2 如果通项公式是关于的一次函数，则该数列成等差数列； 证明：若 它是以为首项，为公差的AP。 3 公式中若 则数列递增， 则数列递减； 4 图象： 一条直线上的一群孤立点得出通项公式：以为首项，d为公差的等差数列的通项公式为：；知等差数列的首项和公差d，那么这个等差数列的通项就可以表示。（三）、例题讲解：注意在中，四数中已知三个可以求出另一个。例1、 （课本）判断下面数列是否为等差数列.例2、 已知数列首项与公差,求通项公式.例3、（此题可以看成应用题）已知数列的其中几项,求其余各项例4、已知数列其中两项,求通项公式.关于等差中项： 如果成AP 则 证明：设公差为，则 例5、在-1与7之间顺次插入三个数使这五个数成等差数列，求此数列。 （五）、小结：等差数列的定义、通项公式、等差中项（六）、练习:P13练习 1、2、3 （七）、作业： 习题12 A组5、6、7五、教后反思：第五课时1.2.2等差数列（二）一、教学目标1、知识与技能：（1）明确等差中项的概念；（2）进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式，能通过通项公式与图象认识等差数列的性质；（3）能用图象与通项公式的关系解决某些问题。2、过程与方法：（1）通过等差数列的图象的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想；（2）发挥学生的主体作用，讲练相结合，作好探究性学习；（3）理论联系实际，激发学生的学习积极性。3、情感态度与价值观（1）通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点；（2）通过体验等差数列的性质的奥秘，激发学生的学习兴趣。二、教学重点 等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用。教学难点 等差数列的性质的应用、灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题。三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程（一）、导入新课师 同学们，上一节课我们学习了等差数列的定义，等差数列的通项公式，哪位同学能回忆一下什么样的数列叫等差数列？师 对，我再找同学说一说等差数列an的通项公式的内容是什么？师 好！刚才两位同学说得很好，由上面的两个公式我们还可以得到下面几种计算公差d的公式：d=an-a n-1；.你能理解与记忆它们吗？ 生3 公式与记忆规律是项的值的差比上项数之间的差(下标之差).合作探究探究内容：如果我们在数a与数b中间插入一个数A，使三个数a，A，b成等差数列，那么数A应满足什么样的条件呢？（二）、推进新课我们来给出等差中项的概念：若a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.根据我们前面的探究不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项.如数列：1，3，5，7，9，11，13中5是3与7的等差中项，也是1和9的等差中项.9是7和11的等差中项，也是5和13的等差中项.合作探究师 在等差数列an中，d为公差，若m,n,p,qN*且m+n=p+q，那么这些项与项之间有何种等量关系呢？生 我得到了一种关系am+an=ap+aq.师 能把你的发现过程说一下吗？生 我能给出证明，只要运用通项公式加以转化即可.设首项为a1，则am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(m+n-2)d,ap+aq=a1+(p-1)d+a1+(q-1)d=2a1+(p+q-2)d.因为我们有m+n=p+q,所以上面两式的右边相等，所以am+an=ap+aq.师 好极了！由此我们的一个重要结论得到了证明：在等差数列an的各项中，与首末两项等距离的两项的和等于首末两项的和.另外，在等差数列中，若m+n=p+q,则上面两式的右边相等，所以am+an=ap+aq.同样地，我们还有：若m+n=2p,则am+an=2ap.这也是等差中项的内容.师 举得好!这说明在等差数列中，am+an=ap+aq是m+n=p+q成立的必要不充分条件. 例题剖析【例1】 在等差数列an中，若a1+a6=9，a4=7，求a3，a9.师 在等差数列中通常如何求一个数列的某项？【例2】 (课本例2)某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4千米(不含4千米)计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少元的车费?师 本题是一道实际应用题，它所涉及到的是什么知识方面的数学问题？（三）、课堂练习1.在等差数列an中，(1)若a5=a,a10=b,求a15.(2)若a3+a8=m,求a5+a6.(3)若a5=6,a8=15,求a14.(4)已知a1+a2+a5=30,a6+a7+a10=80，求a11+a12+a15的值.2.让学生完成课本练习2、3、4。教师对学生的完成情况作出小结与评价。方法引导此类问题的解题的关键在于灵活地运用等差数列的性质，因此，首先要熟练掌握等差数列的性质，其次要注意各基本量之间的关系及其它们的取值范围.（四）、课堂小结师 通过今天的学习，你学到了什么知识?有何体会？（五）、布置作业课本习题1-2 A组9，B组1预习内容：课本下节内容；预习提纲：等差数列的前n项和公式；等差数列前n项和的简单应用。五、教后反思：第六课时 1.2.3 等差数列的前n项和（一）一、教学目标：1、知识与技能：掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题。2、过程与方法：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题、解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平。3、情感态度与价值观：通过公式的推导过程，展现数学中的对称美，通过生动具体的现实问题，令人着迷的数学史，激发学生探究的兴趣，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感。二、教学重点 等差数列的前n项和公式的理解、推导及应用。教学难点 灵活应用等差数列前n项和公式解决一些简单的有关问题。三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程导入新课教师出示投影胶片1： 生 只要计算出1+2+3+100的结果就是这些宝石的总数.师 对，问题转化为求这100个数的和.怎样求这100个数的和呢？这里还有一段故事.教师出示投影胶片2：高斯回答说：因为1+100=101；2+99=101；50+51=101，所以10150=5 050.师 这个故事告诉我们什么信息？高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？（二）、推进新课合作探究 师 我们再回到前面的印度泰姬陵的陵寝中的等边三角形图案中，在图中我们取下第1层到第21层，得到右图，则图中第1层到第21层一共有多少颗宝石呢?师 高斯的这种“首尾配对”的算法还得分奇、偶个项的情况求和，适用于偶数个项，我们是否有简单的方法来解决这个问题呢?师 妙得很!这种方法不需分奇、偶个项的情况就可以求和，真是太好了!我将他的几何法写成式子就是：1+2+3+21， 21+20+19+1，对齐相加(其中下第二行的式子与第一行的式子恰好是倒序)这实质上就是我们数学中一种求和的重要方法“倒序相加法”.现在我将求和问题一般化：(1)求1到n的正整数之和，即求1+2+3+(n-1)+n.(注：这问题在前面思路的引导下可由学生轻松解决)(2)如何求等差数列an的前n项的和Sn?教师精讲两位同学的推导过程都很精彩，一位同学是用“倒序相加法”，后一位同学用的是基本量来转化为用我们前面求得的结论，并且我们得到了等差数列前n项求和的两种不同的公式.这两种求和公式都很重要,都称为等差数列的前n项和公式.其中公式()是基本的，我们可以发现，它可与梯形面积公式(上底+下底)高2相类比，这里的上底是等差数列的首项a1，下底是第n项an，高是项数n,有利于我们的记忆.方法引导师 如果已知等差数列的首项a1，项数为n，第n项为an，则求这数列的前n项和用公式()来进行，若已知首项a1，项数为n，公差d，则求这数列的前n项和用公式()来进行.引导学生总结：这些公式中出现了几个量？知识应用【例1】 (直接代公式)计算：(1)1+2+3+n；(2)1+3+5+(2n-1)；(3)2+4+6+2n；(4)1-2+3-4+5-6+(2n-1)-2n.【例2】 （课本例1)分析：这是一道实际应用题目，同学们先认真阅读此题，理解题意.你能发现其中的一些有用信【例3】 (课本例2)已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1 220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？分析：若要确定其前n项求和公式，则必须确定什么？合作探究师 请同学们阅读课本例3，阅读后我们来互相进行交流.(给出一定的时间让学生对本题加以理解)师 本题是给出了一个数列的前n项和的式子，来判断它是否是等差数列.解题的出发点是什么?师 如果一个数列的前n项和公式是常数项为0，且是关于n的二次型函数，则这个数列一定是等差数列，从而使我们能从数列的前n项和公式的结构特征上来认识等差数列.实质上等差数列的两个求和公式中皆无常数项.（三）、课堂练习：等差数列-10，-6，-2，2，前多少项的和是54？(学生板演)解：设题中的等差数列为an，前n项和为Sn,则a1=-10,d=(-6)-(-10)=4,Sn=54,由公式可得-10n+4=54.解之,得n1=9,n2=-3(舍去).所以等差数列-10，-6，-2，2前9项的和是54.(教师对学生的解答给出评价)（四）、课堂小结：师 同学们，本节课我们学习了哪些数学内容?生 等差数列的前n项和公式1：,等差数列的前n项和公式2：.（五）、布置作业：课本习题1-2 A组11、12、13 B组3五、教学反思：第七课时 1.2.4等差数列的前n项和（二）一、教学目标1、知识与技能：（1）进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；（2）了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；（3）会利用等差数列通项公式与前n项和的公式研究Sn的最值。2、过程与方法：（1）经历公式应用的过程，形成认识问题、解决问题的一般思路和方法；（2）学会其常用的数学方法和体现出的数学思想，促进学生的思维水平的发展。3、情感态度与价值观：通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题。二、教学重点 熟练掌握等差数列的求和公式.教学难点 灵活应用求和公式解决问题.三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程（一）、导入新课师 首先回忆一下上一节课所学主要内容.生 我们上一节课学习了等差数列的前n项和的两个公式：(1)；(2).（二）、推进新课合作探究师 本节课的第一个内容是来研究一下等差数列的前n项和的公式的函数表示，请同学们将求和公式写成关于n的函数形式.生 我将等差数列an的前n项和的公式整理、变形得到：n.(*)师 很好!我们能否说(*)式是关于n的二次函数呢?师 说的在理.同学们能画出(*)式表示的函数图象或描述一下它的图象特征吗?生 当d=0时，(*)式是关于n的一次函数，所以它的图象是位于一条直线上的离散的点列，当d0时，(*)式是n的二次函数，它的图象是在二次函数的图象上的一群孤立的点.这些点的坐标为(n,Sn)(n=1，2，3，).师 例题剖析【例】 (课本例4)分析:等差数列an的前n项和公式可以写成，所以Sn可以看成函数 (xN *)当x=n时的函数值.另一方面，容易知道Sn关于n的图象是一条抛物线上的点.因此我们可以利用二次函数来求n的值.(解答见课本第52页)师 我们能否换一个角度再来思考一下这个问题呢？请同学们说出这个数列的首项和公差. 方法引导师 受刚才这位同学的新解法的启发，我们大家一起来归纳一下这种解法的规律当等差数列an的首项大于零，公差小于零时，它的前n项的和有怎样的最值?可通过什么来求达到最值时的n的值?生Sn有最大值，可通过求得n的值.师 当等差数列an的首项不大于零，公差大于零时，它的前n项的和有怎样的最值?可通过什么来求达到最值时的n的值?生 Sn有最小值，可以通过求得n的值.教师精讲好!有了这种方法再结合前面的函数性质的方法，我们求等差数列的前n项的和的最值问题就有法可依了.主要有两种：(1)利用an取值的正负情况来研究数列的和的变化情况；(2)利用Sn：由利用二次函数求得Sn取最值时n的值.（三）、课堂练习：请同学们做下面的一道练习：已知：an=1 024+lg21-n(lg2=0.3 01 0)n*.问多少项之和为最大？前多少项之和的绝对值最小？(让一位学生上黑板去板演)合作探究师 我们大家再一起来看这样一个问题：全体正奇数排成下表：1357911131517192123252729此表的构成规律是：第n行恰有n个连续奇数;从第二行起，每一行第一个数与上一行最后一个数是相邻奇数，问2 005是第几行的第几个数?（四）、课堂小结：本节课我们学习并探究了等差数列的前n项和的哪些内容?生1我们学会了利用等差数列通项公式与前n项和的公式研究Sn的最值的方法：利用an：当an0，d0，前n项和有最大值.可由an0，且a n+10，求得n的值；当an0，d0，前n项和有最小值.可由an0，且a n+10，求得n的值.利用Sn：由Sn= n2+(a1-)n利用二次函数求得Sn取最值时n的值.（五）、布置作业课本习题1-2 A组14、15 B组4预习提纲：什么是等比数列？等比数列的通项公式如何求？五、教学反思：第八课时 1.3.1等比数列（一）一、教学目标：1、知识与技能：了解现实生活中存在着一类特殊的数列；理解等比数列的概念，探索并掌握等比数列的通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关的知识解决相应的实际问题；体会等比数列与指数函数的关系。2、过程与方法：采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学；发挥学生的主体作用，作好探究性活动；.密切联系实际，激发学生学习的积极性。3、情感态度与价值观：通过生活中的大量实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力；通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切联系，激发学生学习的兴趣。二、教学重点 1.等比数列的概念；2.等比数列的通项公式。教学难点 1.在具体问题中抽象出数列的模型和数列的等比关系；2.等比数列与指数函数的关系.三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程（一）、导入新课：师 现实生活中，有许多成倍增长的实例.如，将一张报纸对折、对折、再对折、，对折了三次，手中的报纸的层数就成了8层，对折了5次就成了32层.你能举出类似的例子吗？ 生 一粒种子繁殖出第二代120粒种子，用第二代的120粒种子可以繁殖出第三代120120粒种子，用第三代的120120粒种子可以繁殖出第四代120120120粒种子，教师出示投影胶片2：计算机病毒传播问题.一种计算机病毒，可以查找计算机中的地址簿，通过邮件进行传播.如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，邮件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推.假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机,那么在不重复的情况下,这种病毒感染的计算机数构成一个什么样的数列呢?（二）、推进新课合作探究师 从上面的数列中我们发现了它们的共同特点是：具有等比关系.如果我们将具有这样特点的数列称之为等比数列，那么你能给等比数列下一个什么样的定义呢？生 回忆等差数列的定义，并进行类比，说出：一般地，如果把一个数列，从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列。教师精讲师 同学们概括得很好，这就是等比数列(geometric sequence)的定义.有些书籍把等比数列的英文缩写记作G.P.(GeometricProgression).我们今后也常用G.P.这个缩写表示等比数列.定义中的这个常数叫做等比数列的公比(common ratio)，公比通常用字母q表示(q0). 请同学们想一想，为什么q0呢？合作探究师类比等差中项的概念，请同学们自己给出等比中项的概念.生 如果在a与b中间插入一个数G，使a、G、b成等比数列，那么G叫做a、b的等比中项. 师 想一想，这时a、b的符号有什么特点呢？你能用a、b表示G吗？生 一起探究,a、b是同号的，G=，G2=ab.合作探究探究：(1)一个数列a1,a2,a3,an,(a10)是等差数列，同时还能不能是等比数列呢？(2)写出两个首项为1的等比数列的前5项，比较这两个数列是否相同？写出两个公比为2的等比数列的前5项，比较这两个数列是否相同？(3)任一项an及公比q相同，则这两个数列相同吗？(4)任意两项am、an相同，这两个数列相同吗？(5)若两个等比数列相同，需要什么条件？教师精讲概括总结对上述问题的探究，得出：(1)中，既是等差数列又是等比数列的数列是存在的，每一个非零常数列都是公差为0，公比为1的既是等差数列又是等比数列的数列.概括学生对(2)(3)(4)的解答.(2)中，首项为1，而公比不同的等比数列是不会相同的；公比为2，而首项不同的等比数列也是不会相同的.(3)中，是指两个数列中的任一对应项与公比都相同，可得出这两个数列相同；(4)中，是指两个数列中的任意两个对应项都相同，可以得出这两个数列相同；(5)中，结论是：若两个数列相同，需要“首项和公比都相同”.(探究的目的是为了说明首项和公比是决定一个等比数列的必要条件；为等比数列的通项公式的推导做准备)合作探究师 回顾等差数列的通项公式的推导过程，你能推导出等比数列的通项公式吗？生 推导等比数列的通项公式.方法引导师 让学生与等差数列的推导过程类比，并引导学生采用不完全归纳法得出等比数列的通项公式.具体的，设等比数列an首项为a1，公比为q，根据等比数列的定义，我们有：a2=a1q,a3=a2q=a1q2,an=a n-1q=a1q n-1，即an=a1qn-1.教师精讲通过用不同的数学知识解决类似的数学问题，从中发现等比数列和指数函数可以联系起来. (1)在同一平面直角坐标系中，画出通项公式为an=2 n-1的数列的图象和函数y=2x-1的图象，你发现了什么？(2)在同一平面直角坐标系中，画出通项公式为的数列的图象和函数y=()x-1的图象，你又发现了什么？等差数列等比数列定义从第二项起，每一项与它前一项的差都是同一个常数从第二项起，每一项与它前一项的比都是同一个常数首项、公差(公比)取值有无限制没有任何限制首项、公比都不能为0通项公式an=a1+(n-1)dan=a1q n-1相应图象的特点直线y=a1+(x-1)d上孤立的点函数y=a1qx-1图象上孤立的点例题剖析【例1】 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩留的这种物质是原来的84，这种物质的半衰期为多长(精确到1年)？（三）、练习：1.一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项.（四）、课堂小结：本节学习了如下内容：1.等比数列的定义；2.等比数列的通项公式；3.等比数列与指数函数的联系。（五）、布置作业：课本习题1-3 A组第1、2、3、4五、教学反思：第九课时 1.3.2等比数列（二）一、教学目标：1、知识与技能：了解等比数列更多的性质；能将学过的知识和思想方法运用于对等比数列性质的进一步思考和有关等比数列的实际问题的解决中；能在生活实际的问题情境中，抽象出等比数列关系，并能用有关的知识解决相应的实际问题。2、过程与方法：继续采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学；对生活实际中的问题采用合作交流的方法，发挥学生的主体作用，引导学生探究问题的解决方法，经历解决问题的全过程；当好学生学习的合作者的角色。3、情感态度与价值观：通过对等比数列更多性质的探究，培养学生的良好的思维品质和思维习惯，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力；通过生活实际中有关问题的分析和解决，培养学生认识社会、了解社会的意识，更多地知道数学的社会价值和应用价值。二、教学重点 1.探究等比数列更多的性质；2.解决生活实际中的等比数列的问题。教学难点 渗透重要的数学思想。三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程（一）、导入新课猜想：在数列an中每隔m(m是一个正整数)取出一项，组成一个新数列，这个数列是以a1为首项、qm为公比的等比数列.本题可以让学生认识到，等比数列中下标为等差数列的子数列也构成等比数列，可以让学生再探究几种由原等比数列构成的新等比数列的方法.（二）、推进新课合作探究师 出示投影胶片1例题1(教材B组第3题)就任一等差数列an，计算a7+a 10，a8+a9和a10+a 40，a20+a30，你发现了什么一般规律，能把你发现的规律用一般化的推广吗？从等差数列和函数之间的联系的角度来分析这个问题.在等比数列中会有怎样的类似结论？师 注意题目中“就任一等差数列an”，你打算用一个什么样的等差数列来计算？师 很好，这个数列最便于计算，那么发现了什么样的一般规律呢？生 在等差数列an中，若k+s=p+q(k,s,p,qN *)，则ak+as=ap+aq.教师精讲师 从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题：由等差数列an的图象，可以看出,根据等式的性质，有.所以ak+as=ap+aq.师 在等比数列中会有怎样的类似结论？例题2：（1）在等比数列an中，已知a1=5,a9a 10=100,求a 18;（2）在等比数列bn中，b4=3,求该数列前七项之积；（3）在等比数列an中，a2=-2,a5=54,求a8.例题2三个小题由师生合作交流完成，充分让学生思考，展示将问题与所学的性质联系到一起的思维过程.解答：(1)在等比数列an中，已知a1=5，a9a10=100，求a 18.解：a1a 18=a9a 10，a 18= =20.(2)在等比数列bn中，b4=3，求该数列前七项之积.解：b1b2b3b4b5b6b7=(b1b7)(b2b6)(b3b5)b4.b42=b1b7=b2b6=b3b5，前七项之积(32)33=37=2 187.(3)在等比数列an中，a2=-2，a5=54，求a8.解：.a5是a2与a8的等比中项，542=a8(-2).a8=-1 458.另解：a8=a5q3=a5=-1 458.合作探究师 判断一个数列是否成等比数列的方法：1、定义法；2、中项法；3、通项公式法.教师精讲除了上面的证法外，我们还可以考虑如下证明思路：证法二：设数列an的公比是p，bn公比是q，那么数列anbn的第n项、第n-1项与第n1项(n1,nN *)分别为a1p n-1b1q n-1、a1p n-2b1qn-2与a1pnb1qn，因为(anbn)2=(a1p n-1b1qn-1)2=(a1b1)2(pq) 2(n-1),(a n-1bn-1)(a n+1bn+1)=(a1pn-2b1qn-2)(a1pnb1qn)=(a1b1)2(pq)2(n-1),即有(anbn)2=(a n-1bn-1)(a n+1bn+1)(n1,nN *),所以anbn是一个等比数列.师 根据对等比数列的认识，我们还可以直接对数列的通项公式考察：证法三：设数列an的公比是p，bn公比是q，那么数列anbn的通项公式为anbn=a1p n-1b1qn-1=(a1b1)(pq) n-1,设cn=anbn,则cn=(a1b1)(pq) n-1,所以anbn是一个等比数列.（三）、课堂小结：本节学习了如下内容：1.等比数列的性质的探究.2.证明等比数列的常用方法.（四）、布置作业：课本习题1-2. A组第5、6、7题、B组第1题.五、教学反思：第十课时 1.3.3等比数列的前n项和（一）一、教学目标：1、知识与技能：了解现实生活中存在着大量的等比数列求和的计算问题；探索并掌握等比数列前n项和公式；用方程的思想认识等比数列前n项和公式，利用公式知三求一；体会公式推导过程中的分类讨论和转化化归的思想。2、过程与方法：采用观察、思考、类比、归纳、探究得出结论的方法进行教学；发挥学生的主体作用，作好探究性活动。3、情感态度与价值观：通过生活中有趣的实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力；在探究活动中学会思考，学会解决问题的方法；通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切联系，激发学生学习的兴趣。二、教学重点 1.等比数列前n项和公式的推导；2.等比数列前n项和公式的应用。教学难点 等比数列前n项和公式的推导。三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程（一）、导入新课师 国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者.这个故事大家听说过吗？ 生 知道一些，踊跃发言.师 “请在第一个格子里放上1颗麦粒，第二个格子里放上2颗麦粒，第三个格子里放上4颗麦粒，以此类推.每一个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒的2倍.直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”这就是国际象棋发明者向国王提出的要求.师 假定千粒麦子的质量为40 g，按目前世界小麦年度产量约60亿吨计.你认为国王能不能满足他的要求？课件展示：S=1+2+22+23+2 63,2S=2+22+23+263+264,-得2S-S=2 64-1.264-1这个数很大，超过了1.8410 19，假定千粒麦子的质量为40 g，那么麦粒的总质量超过了7 000亿吨.而目前世界年度小麦产量约60亿吨，因此，国王不能实现他的诺言.（二）推进新课合作探究师 在对一般形式推导之前，我们先思考一个特殊的简单情形：1+q+q2+qn=？师 这个式子更突出表现了等比数列的特征，请同学们注意观察.生 观察、独立思考、合作交流、自主探究.师 上面我们先思考了一个特殊的简单情形，那么，对于等比数列的一般情形我们怎样思考？课件展示：a1+a2+a3+an=？教师精讲师 在上面的特殊简单情形解决过程中，蕴含着一个特殊而且重要的处理问题的方法，那就是“错位相减，消除差别”的方法.我们将这种方法简称为“错位相减法”.师 在解决等比数列的一般情形时，我们还可以使用“错位相减法”.如果记Sn=a1+a2+a3+an,那么qSn=a1q+a2q+a3q+anq,要想得到Sn，只要将两式相减，就立即有(1-q)Sn=a1-anq.师 再次提醒学生注意q的取值.如果q1，则