1.3直角三角形全等的判定

1 3直角三角形全等的判定 第1章直角三角形 情境引入 1 探索并理解直角三角形全等的判定方法 HL 难点 2 会用直角三角形全等的判定方法 HL 判定两个直角三角形全等 重点 SSS SAS ASA AAS 旧知回顾 我们学过的判定三角形全等的方法 导入新课 如图 Rt ABC中 C 90 直角边是 斜边是 AC BC AB 思考 前面学过的四种判定三角形全等的方法 对直角三角形是否适用 A B C A B C 1 两个直角三角形中 斜边和一个锐角对应相等 这两个直角三角形全等吗 为什么 2 两个直角三角形中 有一条直角边和一锐角对应相等 这两个直角三角形全等吗 为什么 3 两个直角三角形中 两直角边对应相等 这两个直角三角形全等吗 为什么 口答 动脑想一想 我们知道 证明三角形全等不存在SSA定理 如果这两个三角形都是直角三角形 即 C C 90 且AB A B AC A C 现在能判定 ABC A B C 吗 动脑想一想 我们知道 证明三角形全等不存在SSA定理 任意画一个Rt ABC 使 C 90 再画一个Rt A B C 使 C 90 B C BC A B AB 把画好的Rt A B C 剪下来 放到Rt ABC上 它们能重合吗 作图探究 讲授新课 画图思路 1 先画 MC N 90 画图思路 2 在射线C M上截取B C BC N B 画图思路 3 以点B 为圆心 AB为半径画弧 交射线C N于A N B A 画图思路 4 连接A B N B A 思考 通过上面的探究 你能得出什么结论 在Rt ABC和Rt A B C 中 AB A B AC A C 根据勾股定理 BC2 AB2 AC2 B C 2 A B 2 A C 2 BC B C Rt ABC Rt A B C 证明猜想 斜边 直角边 定理 文字语言 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 简写成 斜边 直角边 或 HL 几何语言 在Rt ABC和Rt A B C 中 Rt ABC Rt A B C HL 判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等 不全等的画 全等的注明理由 1 一个锐角和这个角的对边对应相等 2 一个锐角和这个角的邻边对应相等 3 一个锐角和斜边对应相等 4 两直角边对应相等 5 一条直角边和斜边对应等 HL AAS或ASA SAS AAS AAS 判一判 例1如图 AC BC BD AD AC BD 求证 BC AD 证明 AC BC BD AD C与 D都是直角 在Rt ABC和Rt BAD中 Rt ABC Rt BAD HL BC AD 变式1 如图 ACB ADB 90 要证明 ABC BAD 还需一个什么条件 把这些条件都写出来 并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由 1 2 3 4 AD BC DAB CBA BD AC DBA CAB HL HL AAS AAS 如图 AC BD相交于点P AC BC BD AD 垂足分别为C D AD BC 求证 AC BD 变式2 HL AC BD Rt ABD Rt BAC 如图 AB AD CD BC AB CD 判断AD和BC的位置关系 变式3 HL ADB CBD Rt ABD Rt CDB AD BC 例2如图 已知AD AF分别是两个钝角 ABC和 ABE的高 如果AD AF AC AE 求证 BC BE 证明 AD AF分别是两个钝角 ABC和 ABE的高 且AD AF AC AE Rt ADC Rt AFE HL CD EF AD AF AB AB Rt ABD Rt ABF HL BD BF BD CD BF EF 即BC BE 方法总结 证明线段相等可通过证明三角形全等解决 HL 定理是直角三角形全等独有的判定方法 所以直角三角形全等的判定方法最多 使用时应该抓住 直角 这个隐含的已知条件 例3 如图 有两个长度相同的滑梯 左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等 两个滑梯的倾斜角 B和 F的大小有什么关系 解 在Rt ABC和Rt DEF中 Rt ABC Rt DEF HL B DEF 全等三角形对应角相等 DEF F 90 B F 90 1 判断两个直角三角形全等的方法不正确的有 A 两条直角边对应相等B 斜边和一锐角对应相等C 斜边和一条直角边对应相等D 两个锐角对应相等 D A 当堂练习 2 如图 在 ABC中 AD BC于点D CE AB于点E AD CE交于点H 已知EH EB 3 AE 4 则CH的长为 A 1B 2C 3D 4 4 如图 在 ABC中 已知BD AC CE AB BD CE 求证 EBC DCB 证明 BD AC CE AB BEC BDC 90 在Rt EBC和Rt DCB中 Rt EBC Rt DCB HL 3 如图 ABC中 AB AC AD是高 则 ADB与 ADC 填 全等 或 不全等 根据是 用简写法 全等 HL 5 如图 AB CD BF AC DE AC AE CF 求证 BF DE 证明 BF AC DE AC BFA DEC 90 AE CF AE EF CF EF 即AF CE 在Rt ABF和Rt CDE中 Rt ABF Rt CDE HL BF DE 如图 AB CD BF AC DE AC AE CF 求证 BD平分EF 变式训练1 Rt ABF Rt CDE HL BF DE Rt GBF Rt GDE AAS BFG DEG BGF DGE FG EG BD平分EF 如图 AB CD BF AC DE AC AE CF 想想 BD平分EF吗 变式训练2 C Rt ABF Rt CDE HL BF DE Rt GBF Rt GDE AAS BFG DEG BGF DGE FG EG BD平分EF 6 如图 有一直角三角形ABC C 90 AC 10cm BC 5cm 一条线段PQ AB P Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动 问P点运动到AC上什么位置时 ABC才能和 APQ全等 分析 本题要分情况讨论 1 Rt APQ Rt CBA 此时AP BC 5cm 可据此求出P点的位置 2 Rt QAP Rt BCA 此时AP AC P C重合 解 1 当P运动到AP BC时 C QAP 90 在Rt ABC与Rt QPA中 PQ AB AP BC Rt ABC Rt QPA HL AP BC 5cm 能力拓展 2 当P运动到与C点重合时 AP AC 在Rt ABC与Rt PQA中 PQ AB AP AC Rt QAP Rt BCA HL AP AC 10cm 当AP 5cm或1