初一数学全部基本内容经典.doc

第一节知识点1 负数的引入正数和负数是根据实际需要而产生的，随着社会的发展，小学学过的自然数、分数和小数已不能满足实际的需要，比如一些有相反意义的量：收入200元和支出100元、零上6和零下等等，它们不但意义相反，而且表示一定的数量，怎样表示它们呢？我们把一种意义的量规定为正的，把另一种和它意义相反的的量规定为负的，这样就产生了正数和负数。用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种意义为正，是可以任意选择的，但习惯把“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正，而把“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负。知识点2 正数和负数的概念1、像3、1.5、584等大于0的数，叫做正数，在小学学过的数，除0以外都是正数，正数比0大。2、像3、1.5、584等在正数前面加“”(读作负)号的数，叫做负数。负数比0小。3、零即不是正数也不是负数，零是正数和负数的分界。注意：（1）为了强调，正数前面有时也可以加上“”（读作正）号，例如：3、1.5、也可以写作3、1.5、。（2）对于正数和负数的概念，不能简单理解为：带“”号的数是正数，带“”号的数是负数。例如：a一定是负数吗？答案是不一定。因为字母a可以表示任意的数，若a表示的是正数，则a是负数；若a表示的是0，则a仍是0；当a表示负数时，a就不是负数了（此时a是正数）。知识点3 有理数的有关概念1、有理数：整数和分数统称为有理数。注：（1）有时为了研究的需要，整数也可以看作是分母为1的数，这时的分数包括整数。但是本讲中的分数不包括分母是1的分数。 （2）因为分数与有限小数和无限循环小数可以互化，上述小数都可以用分数来表示，所以我们把有限小数和无限循环小数都看作分数。 （3）“0”即不是正数，也不是负数，但“0”是整数。2、整数包括正整数、零、负整数。例如：1、2、3、0、1、2、3等等。3、分数包括正分数和负分数，例如：、0.6、0.6等等。知识点4 有理数的分类1、按整数、分数的关系分类：2、按正数、负数与0的关系分类：注 通常把正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正数，正整数和0称为非负整数（也叫做自然数），负整数和0统称为非正整数。如果用字母表示数，则a0表明a是正数；a0表明a是负数；a0表明a是非负数；a0表明a是非正数。知识点5 数轴的概念规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴数轴的定义包含三层含义：一，数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；二，数轴有三要素原点、正方向、单位长度，三者缺一不可；三，原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据实际需要“规定”的（通常取向右为正方向）。6543210123456数轴的用途: 用数轴表示数. 所有的实数都可以用数轴上的点来表示, 数轴上的任一点都表示一个实数, 实数和数轴上的点是一一对应的. 用数轴可以比较两个数的大小.知识点6 数轴的画法（1）画一条直线（一般画成水平的直线）。（2）在直线上选取一点为原点，并用这点表示零（在原点下面标上“0”）。（3）确定正方向（一般规定向右为正），用箭头表示出来。（4）选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示为1，2，3；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次表示为1，2，3注 （1）原点的位置、单位长度的大小可根据实际情况适当选取；（2）确定单位长度时，根据实际情况，有时也可以每隔两个(或更多的)单位长度取一点，从原点向右，依次表示为2，4，6，；从原点向左，依次表示为2，4，6，； 知识点7 数轴上的点与有理数的关系所有的有理数都可以用数轴上的点表示。正有理数可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原点左边的点表示，零用原点表示。知识点8 利用数轴比较有理数的大小在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数。知识点9相反数的概念（1）相反数的几何定义：在数轴上原点的两旁，到原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。如下图，4与4互为相反数，与互为相反数。（2）相反数的代数定义：只有符号不同的两个数（除了符号不同以外完全相同），我们说其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。性质:a. 任何一个数都有一个相反数, 并且只有一个相反数.b. 正数的相反数是负数, 负数的相反数是正数,0 的相反数是0.c. 互为相反数的两个数之和为0, 反过来, 和为0 的两个数互为相反数.知识点10 相反数的表示方法一般地，数a的相反数是a。这里a表示任意的一个数，可以是正数、负数、或者0。知识点11 多重符号的化简（1）在一个数的前面添上一个“”号，仍然与原数相同，如55，（5）5。（2）在一个数的前面添上一个“”号，就成为原数的相反数。如（3）就是3的相反数，因此，（3）3。知识点12 绝对值的概念（1）绝对值的几何定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，数a的绝对值记作“”（2）绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。即知识点13 两个负数大小的比较因为两个负数在数轴上的位置关系是：绝对值较大的负数一定在绝对值较小的负数的左边，所以，两个负数，绝对值大的反而小。比较两个负数大小的方法是：一、先分别求出这两个负数的绝对值；二、比较这两个绝对值的大小；三、根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断。知识点14 有理数大小的比较法则正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。知识点15 有理数的加法把两个有理数合成一个有理数的运算叫做有理数的加法。相加的两个有理数有以下几种情况：（1）两数都是正数；（2）两数都是负数；（3）两数异号，即一个是正数，一个是负数；（4）一个是正数，一个是0；（5）一个是负数，一个是0；（6）两个都是0。知识点16 有理数加法法则（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。（3）一个数同0相加，仍得这个数。知识点17 有理数加法的运算定律（1）加法交换律：。（2）加法结合律：。知识点18 有理数减法的意义有理数减法的意义与小学学过的减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。减法是加法的逆运算。知识点19 有理数减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数，即知识点20 有理数加减法统一成加法的意义对于有理数的加减混合运算中的减法，可以根据有理数减法法则将减法转化为加法。这样一来，就将原来的混合运算统一为加法运算。统一成加法以后的式子是几个正数或负数的和的形式，有时，我们把这样的式子叫做代数和。知识点21 有理数加减混合运算的方法一、运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法。二、运用加法法则、加法交换律、加法结合律简便运算。知识点22 有理数乘法法则两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。知识点23 有理数乘法法则的推广（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。（2）几个数相乘，只要有一个因数为0，积就为0。知识点24 有理数乘法的运算定律（1）乘法交换律：。（2）乘法结合律：。（3）分配律：。知识点25 倒数的概念乘积是1的两个数互为倒数。由于a ，所以当a是不为0的有理数时，a的倒数是。若a、b互为倒数，则ab1。知识点26 有理数除法法则一、除以一个数等于乘以这个数的倒数。即。二、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。知识点27 有理数乘方的意义求n个相同因数的积的运算，叫乘方。记作“”。乘方的结果叫做幂。在中，叫做底数，n叫做指数， 读作的n次方，。知识点28 乘方运算的符号法则正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。知识点29 科学计数法把一个大于10的数记成“”的形式，其中a是整数数位中只有一位的数，这种记数法叫做科学记数法。如42 000 0004.2。具体记数的方法为:a 是只有一位整数的数.当原数1 时, n是正整数, n 等于原数的整数位数减1, 如31400 =3. 14 10。b当原数”、“ ”、“ ”连接的式子都不是代数式知识点2 代数式的书写格式及注意事项 数字与数字相乘, 仍用“ ”号, 不宜用“ ”, 更不能省略乘号. 如: 6 9 不能写成6 9, 更不能写成69. 数字与字母相乘可以省略乘号,并把数字写在字母前面. 数字与括号相乘、字母与括号相乘、括号与括号相乘可以省略乘号, 并把数字写在括号前面. 带分数与字母相乘, 一般把带分数化成假分数再与字母相乘. 有除号“ ”的, 一般写成分数的形式. 如: st = 实际问题中需写单位的, 若代数式的结果是加减运算, 则要把整个式子用括号括起来, 再写单位. 如( x+y) 元, 不能写成x+y元. 相同字母的积写成幂的形式.知识点3、整式和分式统称为有理式。含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。 知识点4、整式和分式 1、没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。 2、有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。 知识点5、单项式与多项式 1、没有加减运算的整式叫做单项式。（数字与字母的积-包括单独的一个数或字母） 2、几个单项式的和，叫做多项式。其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。说明：根据除式中有否字母，将整式和分式区别开;根据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。进行代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。划分代数式类别时，是从外形来看。单项式1、都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。2、单项式的数字因数叫做单项式的系数。如：3、单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。 如：。4、单独一个数或一个字母也是单项式。5、只含有字母因式的单项式的系数是1或1。6、单独的一个数字是单项式，它的系数是它本身。7、单独的一个非零常数的次数是0。8、单项式中只能含有乘法或乘方运算，而不能含有加、减等其他运算。9、单项式的系数包括它前面的符号。10、单项式的系数是带分数时，应化成假分数。11、单项式的系数是1或1时，通常省略数字“1”。12、单项式的次数仅与字母有关，与单项式的系数无关。多项式1、几个单项式的和叫做多项式。2、多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。3、多项式中不含字母的项叫做常数项。4、一个多项式有几项，就叫做几项式。5、多项式的每一项都包括项前面的符号。6、多项式没有系数的概念，但有次数的概念。7、多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。整式1、单项式和多项式统称为整式。2、单项式或多项式都是整式。3、整式不一定是单项式。4、整式不一定是多项式。5、分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。知识点6、整式的加减1、整式加减的理论根据是：去括号法则，合并同类项法则，以及乘法分配率。去括号法则：如果括号前是“十”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变符号；如果括号前是“一”号，把括号和它前面的“一”号去掉，括号里各项都改变符号。知识点7同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。合并同类项：1）.合并同类项的概念：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。2）.合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。3）.合并同类项步骤： a准确的找出同类项。b逆用分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不变。c写出合并后的结果。4）.在掌握合并同类项时注意：a.如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0.b.不要漏掉不能合并的项。 c.只要不再有同类项，就是结果（可能是单项式，也可能是多项式）。说明：合并同类项的关键是正确判断同类项。知识点8、几个整式相加减的一般步骤：1）列出代数式：用括号把每个整式括起来，再用加减号连接。2）按去括号法则去括号。3）合并同类项。知识点9、代数式求值的一般步骤：（1）代数式化简（2）代入计算（3）对于某些特殊的代数式，可采用“整体代入”进行计算。知识点10 去( 添) 括号法则去括号法则 括号前面是“ +”号, 把括号和它前面的“ +”号去掉, 括号里面的各项都不变号; 括号前是“ - ”号, 把括号和它前面的“ - ”号去掉, 括号里面的各项都变号.如: +( x- y+z) =x- y+z, - ( x- y+z) = - x+y- z. 去括号法则的依据是乘法分配律.m( x+y) =mx+my(2) 添括号法则 与上面的去括号法则正好相反,添括号后, 括号前面是“ +”号, 括到括号里的各项都不变号; 添括号后, 括号前面是“ - ”号, 括到括号里面各项都变号.如: x- y+z= +( x- y+z) ,x- y+z= - ( - x+y- z) . 添括号与去括号是互逆变形, 添加得是否正确可以用去括号检验.知识点11、同底数幂的乘法1、n个相同因式（或因数）a相乘，记作an，读作a的n次方（幂），其中a为底数，n为指数，an的结果叫做幂。2、底数相同的幂叫做同底数幂。3、同底数幂乘法的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即：4、此法则也可以逆用，即：am+n =aman .5、开始底数不相同的幂的乘法，如果可以化成底数相同的幂的乘法，先化成同底数幂再运用法则。知识点12 幂的乘方1、幂的乘方是指几个相同的幂相乘。（am）n表示n个am相乘。2、幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。（am）n =amn。3、此法则也可以逆用，即：amn =（am）n=（an）m。知识点13 积的乘方1、积的乘方是指底数是乘积形式的乘方。2、积的乘方运算法则：积的乘方，等于把积中的每个因式分别乘方，然后把所得的幂相乘。即（ab）n=anbn .3、此法则也可以逆用知识点14 同底数幂的除法1、同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即：2、此法则也可以逆用.知识点15 零指数幂1、零指数幂的意义：任何不等于0的数的0次幂都等于1，即：知识点16 负指数幂1、任何不等于零的数的p次幂，等于这个数的p次幂的倒数。 注：在同底数幂的除法、零指数幂、负指数幂中底数不为0。知识点17、单项式与单项式相乘1、单项式乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。2、系数相乘时，注意符号。3、相同字母的幂相乘时，底数不变，指数相加。4、对于只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数一起写在积里，作为积的因式。5、单项式乘以单项式的结果仍是单项式。6、单项式的乘法法则对于三个或三个以上的单项式相乘同样适用。知识点18单项式与多项式相乘1、单项式与多项式乘法法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加。即：m(a+b+c)=ma+mb+mc。2、运算时注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。3、积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。4、混合运算中，注意运算顺序，结果有同类项时要合并同类项，从而得到最简结果。知识点19多项式与多项式相乘1、多项式与多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。即：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb。2、多项式与多项式相乘，必须做到不重不漏。相乘时，要按一定的顺序进行，即一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项。在未合并同类项之前，积的项数等于两个多项式项数的积。3、多项式的每一项都包含它前面的符号，确定积中每一项的符号时应用“同号得正，异号得负”。4、运算结果中有同类项的要合并同类项。5、对于含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘时，可以运用下面的公式简化运算：(x+a)(x+b)=x 2+(a+b)x+ab。知识点20 平方差公式1、( a +b) ( a - b) =a2 - b2，即：两数和与这两数差的积，等于它们的平方之差。2、平方差公式中的a、b可以是单项式，也可以是多项式。3、平方差公式可以逆用，即：a2 - b2=（a+b）(a-b)。4、平方差公式还能简化两数之积的运算，解这类题，首先看两个数能否转化成（a+b）(a-b)的形式。知识点21 完全平方公式1、(ab)=a2ab+b即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。2、公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式。注意：根据等式的基本性质可有以下8种变形:a2 +b2 =( a +b) 2 - 2ab a2 +b2 =( a - b) 2 +2ab 2ab=( a +b) 2 - ( a2 +b2)2ab=( a2+b2) - ( a - b) 2 ( a +b) 2 =( a - b) 2 +4ab ( a - b) 2=( a +b) 2 - 4ab( a +b) 2 - ( a - b) 2 =4ab ( a +b) 2 +( a - b) 2 =2( a2 +b2)立方和公式：；立方差公式：；知识点22 整式的除法（一）单项式除以单项式的法则1、单项式除以单项式的法则：一般地，单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。2、根据法则可知，单项式相除与单项式相乘计算方法类似，也是分成系数、相同字母与不相同字母三部分分别进行考虑。（二）多项式除以单项式的法则1、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。2、多项式除以单项式，注意多项式各项都包括前面的符号。图形的初步认识知识点1、生活中的立体图形1. 生活中的常见立体图形有：球体、柱体、锥体，它们之间的关系如下所示2. 多面体：由平面围成的立体图形叫做多面体知识点2、由立体图形到视图1. 视图：（1）直棱柱、圆柱、圆锥、球的三视图（主视图、左视图、俯视图）（2）简单的几何体与其三视图、展开图（3）由三视图猜想物体的形状2. 通过典型实例，知道这种关系在现实生活中的应用（如物体的包装） 俯视图反映物体的长和宽，主视图反映了它的长和高，左视图反映了宽和高所以主视图和俯视图的长度相等，且互相对正，即“长对正”主视图与左视图的高度相等，且互相平齐，即“高平齐”俯视图与左视图的宽度相等，即“宽相等”知识点3、立体图形的展开图圆柱的侧面展开图是一个矩形，一边长为母线的长，另一边是底面的周长圆锥的侧面展开图是一个扇形，其中扇形的半径是圆锥的母线长，弧长是底面圆的周长 正方形的展开图的形状比较多知识点4、平行投影和中心投影平行投影：在平行光线的照射下，物体所产生的影称为平行投影1. 在平行光线的照射下，不同物体的物高与影长成比例2. 物体在阳光下的影长与方向随时间的变化而变化3. 太阳光可以看作是一束平行光线中心投影：在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影1. 在点光源的照射下，不同物体的物高与影长不成比例2. 在灯光下，不同位置的物体，影子的长短和方向都是不同的，但是任何物体上的一点与其影子的对应点的连线一定经过光源所在的点线段、角知识点1 直线的概念一根拉得很紧的线，这就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的注意：直线是一个没有定义的原始概念，这里是结合实物描述了直线的意义，在几何里研究直线时，要想象它是向两边无限延伸的知识点2 射线的概念直线上一点和它一旁的部分叫做射线这点叫射线的端点注意：射线是直线的一部分，它只有一个端点，向一方无限延伸知识点3 线段的概念 直线上两个点和它们之间的部分叫线段这两个点叫线段的端点。知识点4 点、直线、射线和线段的表示在几何里，我们常用字母表示图形一个点可以用一个大写字母表示例如图1中的两点分别用字母和表示，这两点分别记作点和点一条直线可以用一个小写字母表示，如图1中的直线可以记作直线；一条直线也可以用在这条直线上的两个点来表示，如图1中的直线也可以记作直线一条射线可以用端点和射线上另一点来表示如图2中的射线可以记作射线，注意，表示端点的字母要写在前面；一条射线也可以用一个小写字母来表示，如图2中射线也可以记作射线一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示，如图3，以、为端点的线段可记作线段或线段；一条线段也可以用一个小写字母来表示，如图3中的线段可记作线段 图1 图2 图3 图4注意：表示点、直线、射线、线段时，都要在字母前面注明点、直线、射线、线段直线和射线无长度，线段有长度直线无端点，射线有一个端点，线段有两个端点点和直线的位置关系有下面两种：点在直线上，或者说直线经过这个点如图4，点在直线上，也可以说直线经过点点在直线外，或者说直线不经过这个点如图4，点在直线外，也可以说直线不经过点知识点5 直线的性质(1)直线公理：经过两点有一条直线，并且只有一条直线它可以简单的说成：过两点有且只有一条直线(2)过一点的直线有无数条(3)直线是向两方无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小(4)直线上有无穷多个点(5)两条不同的直线至多有一个公共点知识点6 线段的性质线段公理：所有联接两点的线中，线段最短也可以简单说成：两点之间线段最短连结两点的线段的长度，叫做这两点的距离线段的中点到两端点的距离相等线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的知识点7 线段垂直平分线的性质定理及逆定理垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上知识点8 角的相关概念有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边如图1，角的顶点是点，边是射线、也可以把角看作是一条射线绕着端点从起始位置旋转到终止位置所组成的图形如图2，射线起始位置称为角的始边，终止位置称为角的终边我们把射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面其余部分称为角的外部如图3，射线绕点旋转，当终边位置和起始位置成一条直线时，所成的角叫平角；继续旋转，回到起始位置时所成的角叫做周角平角的一半叫直角；小于直角的角叫锐角；大于直角且小于平角的角叫钝角如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角，其中一个角是另一个角的余角如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角1周角2平角4直角360度 图1 图2 图3知识点9 角的表示角可以用大写英文字母、阿拉伯数字或小写的希腊字母表示，具体的有以下四种表示方法：用数字表示单独的角，如图中的1，2，3等用小写的希腊字母表示单独的一个角，如图中的等用一个大写英文字母表示一个独立(在一个顶点处只有一个角)的角，如图中的等用三个大写英文字母表示任一个角，如图中的等注意：用数字或小写的希腊字母或一个大写英文字母不能表示超过一个以上的角，如图中的等都不能用一个数字或一个小写的希腊字母或一个大写英文字母表示用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧知识点10 角的度量角的度量有如下规定：把一个平角180等分，每一份就是1度的角，单位是度，用“”表示，1度记作“” ，度记作“” 把的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作“” 把的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作“” =,=知识点11 角的性质(1)角的大小与边的长短无关，只与构成角的边的两条射线的幅度大小有关(2)角的大小可以度量，可以比较大小(3)角可以参与运算知识点12 角的平分线及其性质 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线角的平分线有下面的性质定理：1、在角平分线上的点到这个角两边距离相等2、到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上知识点13 相交线（三线八角）两条直线相交，可以得到四个角，我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点但没有公共边的两个角叫做对顶角如图1中的与就是对顶角我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做邻补角如图1中的与就是邻补角这样可以得到邻补角和对顶角的重要性质：邻补角互补，对顶角相等 如图2，直线、与相交(或者说两条直线、被第三条直线所截)，构成八个角其中像与，这两个角分别在、的上方，并且在的右侧，像这样位置相同的一对角叫做同位角如与，与，与都是同位角；与，这两个角都在、之间，并且在的左侧，在的右侧，像这样的角叫做内错角如与是内错角；与在直线、之间，并且在的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角如与是同旁内角知识点14 垂线两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足如图，直线、互相垂直，记作“”(或)，读作“垂直于” 如果垂足是，记作“垂直于，垂足为” 知识点15 垂线的性质性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直性质2：直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短简称：垂线段最短空间里也有垂直的情况空间中垂直的判定方法有下面两种：1、 直线与平面垂直的判定方法：若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则这条直线与这个平面垂直2、平面与平面垂直的判定方法：若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两平面互相垂直知识点16 平行线的概念在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线平行用符号“/”表示，如图，直线与是平行线，记作“/” ，读作“平行于” 在同一个平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行注意：平行线是无限延伸的，无论怎样延伸也不相交今后遇到线段、射线平行时，特指线段、射线所在的直线平行知识点17 平行公理及其推论平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行即：如果，那么知识点18 平行线的判定平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行，简单的说成：同位角相等，两直线平行平行线的两个判定定理：1、两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行简称：内错角相等，两直线平行2、两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行简称：同旁内角互补，两直线平行注意：上面的判定是由角的等量关系得到两直线的位置关系，判定直线平行还有下面三种判定方法：(1)平行于同一直线的两直线平行；(2)垂直于同一直线的两直线平行； (3)平行线的定义知识点19 平行线的性质(1)两条平行线被第三条直线所截，同位角相等(2)两条平行线被第三条直线所截，内错角相等(3)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补知识点20 空间中的平行关系 在空间里，既不相交也不平行的直线是异面直线在空间里，如果一条直线与一个平面没有公共点，就说这条直线与这个平面互相平行在空间里，如果两个平面没有公共点，就说这两个平面互相平行直线与平面、平面与平面平行的判定：不在平面内的一条直线，只要与平面内的某一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行如果一个平面内两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个平面互相平行知识点21 命题、定理、证明 命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题注意：命题的定义包括两层涵义：命题必须是一个完整的句子；这个句子必须对某件事情做出判断例如：“直角都相等” ，“相等的角是对顶角”等都是命题“连结P、Q两点” 、“过点p作直线l”等都不是命题命题的一般形态：任一个命题都可以写成形式：“如果，那么”有时也写成：“若，则”“倘若，那么”命题的题设(条件)部分，有时也可用“已知”或者“若”等形式表述；命题的结论部分，有时也可用“求证”或“则”等形式表述命题的分类(按正确、错误与否分)：所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能保证结论总是成立的命题注意：对于假命题并不要求：在题设成立时，结论一定错误，事实上，只要你不能保证结论一定成立，这个命题就是假命题了，因此，要说明一个命题是假命题，只要举出一个“反例”就可以了公理：人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理，如“同位角相等，两直线平行” 、“两直线平行，同位角相等”等注意：公理是通过长期实践反复验证过的，不需要再进行推理而都承认的真命题公理可以作为判定其它命题真假的根据定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理，如“内错角相等，两直线平行” 、“两直线平行，内错角相等”等等注意：定理都是真命题，但真命题不一定都是定理，一般选择一些最基本最常用的真命题作为定理，可以用它们为根据推证其它命题，这些被选作定理的真命题，在教科书中是用黑体字排印的证明：判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明注意：在几何问题的研究上，必须经过证明，才能作