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为证明定理本身,我先证明几个引理。引理1(Bessel不等式):若函数在上可积,则有证明:设显然: (*)其中,由傅立叶级数系数公式可以知道:以上各式代入(*)式,可以得到:另这个结果对于均成立,而右端是一定积分可以理解为有限常数,据此可知“”这个级数的部分和有界,则引理1成立。引理2:若函数是的周期函数,且在上可积,则它的傅立叶级数部分和可改写为:证明:设 我在下边给出一个比楼主强的结论!收敛定理:设是的按段光滑函数,如果它满足:(1) 在只有有限个第一类间断点, 在补充定义后它可积(应当指出:补充定义后,它已不是原来的函数)。(2) 在每一点都有,且定义补充定义后的函数为有:,则的傅立叶级数在点x收敛于这一点的算术平均值,若在x连续,则收敛于。为方便,我仅证明是的在上的按段光滑函数(上述命题在此基础上稍加变换即可),则当时有(其中是傅立叶级数系数) 证明:由引理1容易可知: (*)若成立,则命题得证,而另外,注意这个式子是偶函数,则若=0,则命题得证。记有微积分知识,若则它在连续,由于第一类间断点只有有限个,则它在上可积。结合(*)式可知同理可以证明因此,命题得证。 B.Q.这个证法是我念书时找一个懂日文的同学给翻译的,由于他不太喜欢数学,我又不懂日文,所以我的理解可能也非原文的理解
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