2025高考数学专项复习：马尔科夫链（含答案）

2025高考数学专项复习马尔科夫链含答案

马尔科关链

1.（2024・高三・广东•开学考试）马尔科夫链因俄国数学家安德烈•马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的

性质，即第4+1次状态的概率分布只跟第八次的状态有关，与第n—1,4—2,八一3,…次状态无关.马尔

科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金

融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.现有46两个盒子，各装有2个黑球和1个红球，现从

两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行"dCN*）次这样的操作后，记入盒子中

红球的个数为X”恰有1个红球的概率为pn.

⑴求Pl,22的值；

⑵求取的值（用"表示）；

（3）求证：Xn的数学期望Eg为定值.

___________F

2.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处

理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为：假设我们的序列状态是……

x-2,Xi,x,Xt+i，…，那么乂+1时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态x”即p(xt+1\--,xt.2,xt.M

=P(Xt+]|Xj

现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型.

假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为50%,且每局赌赢可以赢得1元，每

一局赌徒赌输的概率为50%,且赌输就要输掉1元.赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结

束赌博游戏:记赌徒的本金为A(AGN*,A〈B)一种是赌金达到预期的B元,赌徒停止赌博；另一种是赌

徒输光本金后,赌徒可以向赌场借钱，最多借[元,再次输光后赌场不再借钱给赌徒.赌博过程如图的

数轴所示.

0.50.5

A-IAA+1

―I——LW-1——।——I—1L_I————I-------

0K7K/B

0.50.5

当赌徒手中有n元(—AWnWB,neZ)时，最终欠债A元(可以记为该赌徒手中有一人元)概率为P{n),

请回答下列问题：

(1)请直接写出P(—⑷与P⑻的数值.

(2)证明{9(n)}是一个等差数列，并写出公差d.

⑶当A=100时,分别计算B=300,3=1500时，P(A)的数值，论述当8持续增大时，P{A)的统计含

义.

3.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个

状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由

当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲、乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现

从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行"5eN*）次这样的操作，记口袋甲中黑球

的个数为X”,恰有1个黑球的概率为外.

（1）求加,22的值；

（2）求为的值（用n表示）；

（3）求证：X"的数学期望Eg为定值.

4.（2024•高三・江西•开学考试）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，其过程具备“无记忆”的性质：下

一状态的概率分布只能由当前状态决定，即第八+1次状态的概率分布只与第八次的状态有关，与第八

一1,九一2,，一3,…次的状态无关，即P（X—|Xi,X2,…,Xx,X”）=P（X"+i|X»）.已知甲盒中装有1个

白球和2个黑球，乙盒中装有2个白球，现从甲、乙两个盒中各任取1个球交换放入对方的盒中，重复打

次（nCN*）这样的操作,记此时甲盒中白球的个数为X〃，甲盒中恰有2个白球的概率为M，恰有1个白

球的概率为勾.

⑴求的,仇和&2也・

⑵证明：卜+2鼠一导为等比数列.

（3）求X”的数学期望（用"表示）.

5.在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界，它以俄国数学家安德

雷・马尔可夫命名，由马尔可夫不等式知，若£是只取非负值的随机变量，则对Va>0,都有P(£)a)W

四处.某市去年的人均年收入为10万元,记“从该市任意选取3名市民，则恰有1名市民去年的年收入

a

超过100万元”为事件人,其概率为F(A).则P(A)的最大值为()

A工R22rAnA

■1000,1000,27,9

6.(2024•广东肇庆•模拟预测)马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基

石,为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程，该过程要求具备“无记忆”的性质：

下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲口袋中各装有1

个黑球和2个白球，乙口袋中装有2个黑球和1个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一

口袋，重复进行n(nGN*)次这样的操作,记口袋甲中黑球的个数为X”,恰有1个黑球的概率为外,则P1

的值是;Xn的数学期望E(XJ是.

7.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石,为状态空间中经过从一个

状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当

前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从

甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋,重复进行n(nCN*)次这样的操作，记甲口袋中黑球个

数为X”,恰有1个黑球的概率为pn,则P1=；pn=.

8.马尔科夫链是机器学习和人工智能的基石,其数学定义为:假设序列状态是…，X—2,Xi,Xt,Xt+i,…，那

么在+1时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态X”即P(X+"…=P(X'+iI.著名的赌

徒模型就应用了马尔科夫链：假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率都为

50%，每局赌赢可以赢得1金币，赌输就要输掉1金币.赌徒自以为理智地决定,遇到如下两种情况就会

结束赌博游戏:一是输光了手中金币；二是手中金币达到预期的1000金币，出现这两种情况赌徒都会停

止赌博.记赌徒的本金为70金币，求赌徒输光所有金币的概率

9.（2024•广东茂名•二模）马尔可夫链是因俄国数学家安德烈・马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，

即第n+1次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，与第n—l,n—2,n—3,•••次状态是“没有任何关

系的”.现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒子中各

任取一个球交换，重复进行"（nCN*）次操作后，记甲盒子中黑球个数为X”，甲盒中恰有1个黑球的概率

为时,恰有2个黑球的概率为bn.

⑴求Xi的分布列；

（2）求数列｛册｝的通项公式；

（3）求X”的期望.

_______________5'

10.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个

状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当

前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲、乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从

甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋,重复进行n(nGN*)次这样的操作，记口袋甲中黑球的

个数为X。,恰有1个黑球的概率为外，恰有2个黑球的概率为q”,恰有0个黑球的概率为％.

(1)求召1,。2的值；

(2)根据马尔科夫链的知识知道+b-q“_i+c其中a,b,c6[0,1]为常数，同时p„+qn+

1,请求出p”；

(3)求证：Xn的数学期望E(Xn)为定值.

___________昼

11.(2024.云南.模拟预测)材料一:英国数学家贝叶斯(1701〜1763)在概率论研究方面成就显著，创立了贝

叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献.贝叶斯公式就是他的重大发现,它用来

描述两个条件概率之间的关系.该公式为:设4,4,…，是一组两两互斥的事件，4uau…u=

Q,且P(A)>0,i=l,2,…则对任意的事件〉o,有P(A13)==

P⑷P(3I4).1c

二-------------------------------------,i—L2,■■■,n.

EF(A)P(BIA)

k=l

材料二:马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然

语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为:假设我们的序列状态是

…，X-2,Xi,X,X+i,…，那么X+1时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态Xt，即

尸(X3…，X1,Xi,X)=P(XM\Xt).

请根据以上材料，回答下列问题.

(1)已知德国电车市场中，有10%的车电池性能很好.W公司出口的电动汽车，在德国汽车市场中占比

3%,其中有25%的汽车电池性能很好.现有一名顾客在德国购买一辆电动汽车，已知他购买的汽车不是

W公司的,求该汽车电池性能很好的概率；(结果精确到0.001)

(2)为迅速抢占市场，W公司计划进行电动汽车推广活动.活动规则如下:有11个排成一行的格子，编号

从左至右为0,1,…，10,有一个小球在格子中运动，每次小球有的概率向左移动一格;有j的概率向

右移动一格，规定小球移动到编号为0或者10的格子时，小球不再移动，一轮游戏结束.若小球最终停在

10号格子，则赢得6百欧元的购车代金券;若小球最终停留在0号格子,则客户获得一个纪念品.记舄为

以下事件发生的概率：小球开始位于第i个格子,且最终停留在第10个格子.一名顾客在一次游戏中，小

球开始位于第5个格子，求他获得代金券的概率.

r

马尔科关链

1.（2024•高三•广东•开学考试）马尔科夫链因俄国数学家安德烈•马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的

性质，即第4+1次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，与第n—1,n—2,n—3,…次状态无关.马尔

科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金

融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.现有48两个盒子，各装有2个黑球和1个红球，现从

两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行"dCN*）次这样的操作后，记A盒子中

红球的个数为X”,恰有1个红球的概率为pn.

(1)求Pl,22的值;

⑵求。的值（用勇表示）;

（3）求证：X。的数学期望为定值.

【解析】⑴设第n⑺6N*）次操作后A盒子中恰有2个红球的概率为电,贝可没有红球的概率为1—P”一q的

1；—2

由题意知Pi=

9'曳_或或9

P2=P\------—+Qi--―^+(1-Pi-Qi)-二玩・

(2)因为％=Pn-l-------------------Hqn_i•+(1-Pn-1-Qn-l)*x}=一万。九T+

所以"一1■=一4（―，）•

又因为a—§=—所以（打一是以一旦为首项，一《为公比的等比数列.

545I5J459

所以"一年=_基X（

55.55__z_.

（3）因为q0二cSPnT十小〃P九t-5P九一1十

55^3^37O

C©'Pn-l+if；(1—Qn-1~Pn-l)—^Pn-1+£(1—Qn-1-Pn-1)，②•

Qn-Pn

55

所以①一②，得2qn+pn—l=1"(29九_1+。1-111).

o

又因为23+a-1=0,所以2电+-1=0,所以q“=1Pn.

X”的可能取值是0,1,2,

P{Xn=Q)=1-pn-qn=

P(X„=1)=pn,

P(Xn=2)—qn-x~^~-

所以X”的概率分布列为

X”012

「Pn「Pn

PPn

22

所以E（X“）=0x^^+lXp0+2x^^M.

所以X”的数学期望E（X”）为定值1.___________口

2.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处

理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为：假设我们的序列状态是……

X-2,Xi,Xt,Xt+i，…，那么Xt+i时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态X”即P(Xt+J…,

=P(Xt+]|Xj

现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型.

假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为50%,且每局赌赢可以赢得1元，每

一局赌徒赌输的概率为50%,且赌输就要输掉1元.赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结

束赌博游戏:记赌徒的本金为A(A6N*,A<B)一种是赌金达到预期的B元,赌徒停止赌博；另一种是赌

徒输光本金后,赌徒可以向赌场借钱，最多借[元,再次输光后赌场不再借钱给赌徒.赌博过程如图的

数轴所示.

0.50.5

A-1AA+1

I1।।।।

022B

0.50.5

当赌徒手中有n元(—A《nWB,neZ)时，最终欠债A元(可以记为该赌徒手中有一人元)概率为F(n),

请回答下列问题：

(1)请直接写出P(—⑷与P(8)的数值.

(2)证明｛P(n))是一个等差数列，并写出公差d.

(3)当A=100时，分别计算B=300,B=1500时，P(A)的数值，论述当8持续增大时，P(A)的统计含

义.

【解析】(1)当n=—A时，赌徒已经欠债一A元，因此F(-A)=1.

当n=B时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率P(B)=0;

(2)记”:赌徒有几元最后输光的事件，N：赌徒有九元上一场赢的事件，

P(M)=P(N)P(M\N)+P网P(M网,即P(n)=/P(n-1)+-1-F(n+1),

所以F(n)—P(n—1)=P(n+1)—F(n),

所以｛F(n)｝是一个等差数列,

设F(n)—P(n—1)=d,则F(n—1)—P(n—2)=d,­••,P(—A+1)—P(—A)=d,

累加得F(n)一P(—⑷=(n+A)d,故P(B)-P(-A)=(A+B)d,得d;

⑶A=100,由⑵P(n)-P(-A)=(九+A)d=-^44,

A.-TJD

代入九=A可得F(A)-P(-A)=一抵,即P(A)=1-,

A十万/±~rJD

当8=300时，F(A)=］，当B=1500时，P(A)=工,

2o

当B增大时，P(A)也会增大，即输光欠债的可能性越大，因此可知久赌无赢家,

即便是一个这样看似公平的游戏，只要赌徒一直玩下去就会100%的概率输光并负债.

3.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个：

状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由：

当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲、乙_两口_袋中_各装有_1个黑_球和_2个_白球F巫

从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋,重复进行n(nGN*)次这样的操作，记口袋甲中黑球

的个数为不”恰有1个黑球的概率为外.

⑴求科,02的值;

⑵求取的值(用"表示);

(3)求证：Xn的数学期望EQQ为定值.

【解析】(1)设恰有2个黑球的概率为外,则恰有。个黑球的概率为1—坊一嬴.

由越思知。=-—=了，曳=/为=百，

所以上=——1—PI++方^a—0—3)=玩•

(2)因为Pn=----------Pn-1+9qn-l+ii(1-Pn-1-Qn-1)=~—Pn-l+石,

C/3O3O3C/3C/3O3"°

所以为一仔=-y(Pn-i-y).

又因为a一卷一靠"。，所以3l年)是以一专为首项，得为公比的等比数列.

所以«n③-2/.-2(1尸3

川-人Pn45'I91)产,Pvn45V9'+5,

r5

最C；上2]

(3)因为电=方+qn-i—石外t+①，

口3口355y0

cia

q~Pn—忘了*+(1-Qn-1-Pn-l)—'TTPn-l+~Qn-1~Pn-1)②

n55y0

所以①一②，得2qn-\-pn—l=：(2dl.1+0rl.1一1).

o

又因为23+0一1=0,所以2q0+p”-1=0.所以*=1产.

所以X”的概率分布列为:

Xn012

1l-Pn1-Pn

p1PnPn

94

所以E(X“)=0x(l—外—^^)+lXp“+2x^^=l.

所以Xn的数学期望Eg为定值1.

4.(2024•高三・江西・开学考试)马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，其过程具备“无记忆”的性质：下

一状态的概率分布只能由当前状态决定，即第九+1次状态的概率分布只与第4次的状态有关,与第八

—1,八一2,八一3,…次的状态无关，即P(Xn+」Xi,X2,■■■,Xn^1,Xn)=P(Xn+1\Xn).已知甲盒中装有1个

白球和2个黑球，乙盒中装有2个白球，现从甲、乙两个盒中各任取1个球交换放入对方的盒中，重复n

次(nCN*)这样的操作,记此时甲盒中白球的个数为X”，甲盒中恰有2个白球的概率为M，恰有1个白

球的概率为跖：

⑴求而仇和a2,b2.

(2)证明：｛册+2鼠一£｝为等比数列.：

d

（3）求X”的数学期望（用n表示）.

【解析】⑴若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑，乙盒中的球变为1白1黑，概率的

__2_,

一

若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为1白2黑，乙盒中的球仍为2白，概率济=!，

研究第2次交换球时的概率，根据第1次交换球的结果讨论如下：

①当甲盒中的球为2白1黑，乙盒中的球为1白1黑时，对应概率为的=日，

此时，若甲盒取黑球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑，

乙盒中的球仍为1白1黑，概率为Q[XX；

若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为3白，乙盒中的球变为2黑，概率为aiXqx《=《ai；

326

若甲盒取白球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球变为1白2黑，乙盒中的球变为2白，概率为得x[=

1

行的；

若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑，乙盒中的球仍为1白1黑，概率为aixx

1

=可。1,

②当甲盒中的球为1白2黑，乙盒中的球为2白时,对应概率为瓦=[■,

此时，若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑，

乙盒中的球变为1白1黑，概率为乩*弓=?瓦

若甲盒取白球，乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为1白2黑，乙盒中的球仍为2白，概率为瓦=1■瓦，

OO

综上，。2=飞"。1++可仇=下~82=+—61=—.

（2）依题意，经过几次这样的操作，甲盒中恰有2个白球的概率为anf

恰有1个白球的概率为0,则甲盒中恰有3个白球的概率为1—Q九一⑥，

研究第n+1次交换球时的概率，根据第n次交换球的结果讨论如下：

①当甲盒中的球为2白1黑，乙盒中的球为1白1黑时，对应概率为an,

此时，若甲盒取黑球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑，

乙盒中的球仍为1白1黑，概率为xX=4-册；

326

若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为3白，乙盒中的球变为2黑，概率为册*5*4=5厮；

32b

若甲盒取白球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球变为1白2黑，乙盒中的球变为2白，概率为厮x?x[=

O/

1

O

若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑，乙盒中的球仍为1白1黑，概率为a“x磊xJ

O/

_1

②当甲盒中的球为1白2黑，乙盒中的球为2白时，对应概率为bn,

此时，若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑，乙盒中的球变为1白1黑，概率为

若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为1白2黑，乙盒中的球仍为2白，概率为

OO

③当甲盒中的球为3白，乙盒中的球为2黑时，对应概率为1—Q八一队，

此时，甲盒只能取白球、乙盒只能取黑球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑，

乙盒中的球变为1白1黑，概率为1一斯一队，

综上,=("Q九++'氏+1-an—bn=l—~^-an--|-bn,&n+1=-^-an+-^-bn

JH.I611,,2,2,6_1,1,1

贝U册+i+2bHi—~T=1—不a---b+~—a+~~b——=-a+~—b——,

52n3n3n3n56n3n5

整理得an+i+2bn+1—■=1(。九+2bn—口)，又的+2仇一］■=白>0,

56、57515

所以数列｛册+2队一导是公比为看的等比数列.

⑶由⑵知册+2也一］■=磊义(,丫，则册+2第=，+2x(得y1,

515vo7515vo7

随机变量X九的分布列为

X”123

pbna九1—an—bn

~、/Q?/I\n-l

所以Eg=b“+2册+3-3-3飙=3-(a“+2Gx=3—记x(不).

5.在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界，它以俄国数学家安德

雷・马尔可夫命名，由马尔可夫不等式知，若§是只取非负值的随机变量，则对Va>0,都有Pga)W

图2.某市去年的人均年收入为10万元,记“从该市任意选取3名市民，则恰有1名市民去年的年收入

a

超过100万元”为事件4其概率为「⑷.则P(Z)的最大值为()

A工R-243Q

■1000■1000.27

【答案】B

【解析】记该市去年人均收入为x万元，从该市任意选取3名市民，年收入超过loo万元的人数为y.

设从该市任选1名市民，年收入超过100万元的概率为p,

则根据马尔可夫不等式可得p=P(X>100)w/^=/^=击，

•••0W”击，

因为y~B(3,p),

所以P(Z)=F(y=l)=C3P(1—p)2=3p(l—p)2=3p3—6p2+3p,

令于(p)=3P3—6P2+3p,则尸(0)=9P2-12P+3=3(3p—1)(p—1),

，3p-1VO，P-l<0,即r(p)>0,

.•"(p)在［o,卡］上单调递增.

1\2243243

"(P)max=/(=3XX(1—，即P⑷max

1011000loop,

故选：B

6.(2024•广东肇庆•模拟预测)马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基：

石,为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程，该过程要求具备“无记忆”的性&

下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲口袋中各装有1

个黑球和2个白球，乙口袋中装有2个黑球和1个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一

口袋，重复进行n[n€N*)次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为X”，恰有1个黑球的概率为pn，则0

的值是;Xn的数学期望E(Xn)是.

92213，

【解析】考虑到乙袋中拿出的球可能是黑的也可能是白的，由全概率公式可得Pi=^x弓+^x^=/；

OO0Obz

Po,Pl,03,

记X*L取o,1,2,3的概率分别为p2,

推导X。的分布列：

/、44/、44/、1

P(X“=1)^Po+—pi+—p,P(x“=2)=石21+3.+23,P(X“=3)=石a,

yy2yyy

则E(XJ=0-P(X0=0)+1-P(X”=1)+2-P(X“=2)+3-P(X“=3)=加++^-p2+2p3

oo

—1+_^~(仙+2死+303)=1+4--^(^n-l)，

oo

y],

则E(X»)——=y[U(Xn-1)—

故E(X“)—：=[E(XJ—xgy1

给合E(X1)=弓,可知E(X”)=；—|(1)n.

故答案为:

7.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个

状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当

前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从

甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行"(九eN*)次这样的操作，记甲口袋中黑球个

数为X”,恰有1个黑球的概率为坊,则g=；Pn=

【答案】I

_5

【解析】由题意，a=

559

当n>2(nCM)时,p"=叫+祭2居-=。)+铝X(X==2)

—"^Pn-1+-|-[F(Xn_i=0)+F(Xn-i=2)]=-1-Pn-1+春(1—P九—1)——5TPn-l+"1"，

yoyoyo

敕招行3_1(3\3_53_2

1理付p「T=—gw——了),a—了=§一3="45,

故可知鼠一即是以一名为首项，以一[为公比的等比数列，所以为=言•(一+4-

I5J4595v975

故答案为:W(gy+春

8.马尔科夫链是机器学习和人工智能的基石,其数学定义为:假设序列状态是…，X-2,Xi,X*,X*+i,…，那：

么x+i时亥U的状态的条件概率仅依赖前一状态Xt,即尸(为+"…,XT,XI,XJ=p(x+"不).著名的赌:

徒模型就应用了马尔科夫链：假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏,每一局赌徒赌赢的概率都为：

_________B

50%,每局赌赢可以赢得1金币，赌输就要输掉1金币.赌徒自以为理智地决定，遇到如下两种情况就会

结束赌博游戏:一是输光了手中金币；二是手中金币达到预期的1000金币，出现这两种情况赌徒都会停

止赌博.记赌徒的本金为70金币,求赌徒输光所有金币的概率.

【答案】需70.93

【解析】设当赌徒手中有几元(04九41000,nCN)时，最终输光的概率为P(n),

当n=0时，赌徒已经输光了，所以P(O)=l,

当n=1000时,赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率为P(1000)=0,

记M■:赌徒有几元最后输光的事件，N:赌徒有九元下一次赢的事件，

所以P(M)=P(N)P(M\N)+P®P(M\N),

即P(n)=3P(n—1)+3P(n+1),所以P(n+1)—P(n)=P(n)—P(n—1),

所以｛P(n)｝为等差数列，设P(n)-P(n-l)=d,

由于F(1000)=F(0)+lOOOd=1+1000d=0,所以d=一得行，

所以F(n)=F(0)+nd=l-湍行,

故P(7。)，湍=需

故答案为：黑

9.(2024•广东茂名•二模)马尔可夫链是因俄国数学家安德烈・马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质,

即第九+1次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，与第八—1,"—2,八—3,…次状态是“没有任何关

系的”.现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒子中各

任取一个球交换,重复进行n(n€N*)次操作后,记甲盒子中黑球个数为Xn，甲盒中恰有1个黑球的概率

为时,恰有2个黑球的概率为bn.

⑴求Xi的分布列；

(2)求数列｛册｝的通项公式;

⑶求X”的期望.

【解析】(1)(1)由题可知，区的可能取值为0,1,2.由相互独立事件概率乘法公式可知:

=0)=—X—=—；p(Xl)=l-x—+—x—=—；p(Xi=2)=2义工=2

kl7339V1=1733339kl7339

故区的分布列如下表:

X012

252

p

~9~9~9

(2)由全概率公式可知：

P(X“+i=l)

=P(X.=1)•P(X.+i=l|X“=l)+P(X.=2)•P(X.+]=1|X0=2)+P(X.=0))因+1=1区=0)■

=(yxf+txj)p(x"=1)+信X1)P(X.=2)+(Ix-|-)P(X„=O)：

=-1P(X„=1)+-|P(X„=2)+-1F(X^0),

________&

即：Qn+l­+得b+-^-(1—a—b),

b/OnOnn

、12

所以Qn+i——~,

yo

所以“九+i—=一~""(a九一(")，

又Ql=P(Xi=l)=

y

所以，数列［a.一为以为一色=—当为首项，以一《为公比的等比数列,

I5J5459

所弟》以册一3百_=_2否・/(_1§_)=_可2

9

即:册=(+*(_1)”•

(3)由全概率公式可得：

P(X.+i=2)

=F(X„=1)•P(Xn+i=2|Xn=l)+P(X0=2)•P(X0+i=2X=2)+P(X“=0)•P(X“+i=2|X"=0)

=(fXj)-W=l)+|xl)-P(X„=2)+0-F(X„=0),

91

即：b=--a+—5,

n+1ynon

、-3.2(1

所以b=三廉+

n+1oy

所以-—卷+

9

又bi=p(Xi=2)=磊

y

所以仇——+—x(———=—------------—=0,

155V9^9545'

0,

1_1

559

所以E(X”)=a„+26„+0(l-a„-b„)=an+2bn=l.

10.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个

状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当

前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲、乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从

甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行n(nGN*)次这样的操作，记口袋甲中黑球的

个数为X”恰有1个黑球的概率为外，恰有2个黑球的概率为电，恰有0个黑球的概率为

(1)求初,死的值;

(2)根据马尔科夫链的知识知道p”=a•"-：［+b-qn-i+c其中a,b,cG［0,1］为常数，同时pn+qn+

r”=1,请求出外；

(3)求证：Xn的数学期望Eg为定值.

【解析】(1)由题意恰有。个黑球的概率为1-%一q”.

由越思知初=———=qi==

55J

所以m=———x—Pi+7^rqi+7^r(i—a—qi)=寂・

5555550

21

(2)因为pn=L/Pn-1+11Qn-1+-1-1(1-Pn-1-Qn-1)=~—pn-l+京,

O3C3O3C3»。

所以0一,=—［（*，）•

又因为a-工=一三#o,所以，取一是以一名为首项，一《为公比的等比数列.

545I5J459

21

白命V）小32乂（1尸Sy(尸+3

历以二9）'”一45义（9）5-

Pn545k

比/_2J公

（3）因为嬴=外T+―九一1十丁…山，

(1-Qn-l-Pn-1)=^-(l-Qn-1—Pn-l)②

1一*一P”=[-1Pn-1+

55

e

所以①一②，得2qn+pn—l=白（2藐_1+g_1-1）.

o

又因为2生+。-1=0,所以2q九+p九-1=0.所以戢=

所以Xn的概率分布列为:

X“012

1—Pn

1Pn1-Pn

p2Pn2

所以E(X“)=0x(1_p“—+1xm+2x=1.

所以X”的数学期望E(X”)为定值L

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