等差数列知识点总结和题型分析.doc

1 等差数列 一 等差数列知识点 一 等差数列知识点 知识点知识点 1 1 等差数列的定义 等差数列的定义 如果一个数列从第 2 项起 每一项与它的前一项的差等于同一个常数 那 么这个数列就叫做等差数列 这个常数叫做等差数列的公差 公差通常用字母 d 表示 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 知识点知识点 2 2 等差数列的判定方法 等差数列的判定方法 定义法 对于数列 若 常数 则数列是等差数列 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 n adaa nn 1 n a 等差中项 对于数列 若 则数列是等差数列 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 n a 21 2 nnn aaa n a 知识点知识点 3 3 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头等差数列的通项公式 等差数列的通项公式 如果等差数列的首项是 公差是 则等差数列的通项为 n a 1 ad 该公式整理后是关于 n 的一次函数 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 dnaan 1 1 知识点知识点 4 4 等差数列的前 等差数列的前 n n 项和项和 2 1n n aan S d nn naSn 2 1 1 对于公式 2 整理后是关于 n 的没有常数项的二次函数 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 知识点知识点 5 5 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头等差中项 等差中项 如果 成等差数列 那么叫做与的等差中项 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头即 或aAbAab 2 ba A baA 2 在一个等差数列中 从第 2 项起 每一项 有穷等差数列的末项除外 都是 它的前一项与后一项的等差中项 事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两 项的等差中项 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 知识点知识点 6 6 等差数列的性质 等差数列的性质 等差数列任意两项间的关系 如果是等差数列的第项 是等差数列 n an m a 的第项 且 公差为 则有mnm ddmnaa mn 对于等差数列 若 则 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 n aqpmn qpmn aaaa 也就是 23121nnn aaaaaa 若数列是等差数列 是其前 n 项的和 那么 n a n S Nk k S 成等差数列 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头如下图所示 kk SS 2kk SS 23 2 k kkkk S SS kk SS kkk aaaaaaaa 3 232k 31221 S 321 10 等差数列的前项和的性质 若项数为 则 n 2n n 21nnn Sn aa 且 若项数为 则 且 SSnd 偶奇 1 n n Sa Sa 奇 偶 21nn 21 21 nn Sna 其中 n SSa 奇偶 1 Sn Sn 奇 偶 n Sna 奇 1 n Sna 偶 二 题型选析 二 题型选析 题型一 计算求值 等差数列基本概念的应用 题型一 计算求值 等差数列基本概念的应用 1 等差数列 an 的前三项依次为 a 6 2a 5 3a 2 则 a 等于 A 1 B 1 C 2 D 2 2 在数列 an 中 a1 2 2an 1 2an 1 则 a101的值为 A 49 B 50 C 51 D 52 3 等差数列 1 1 3 89 的项数是 A 92 B 47 C 46 D 45 4 已知等差数列中 的值是 n a 12497 1 16aaaa则 A 15 B 30 C 31 D 64 5 首项为 24 的等差数列 从第 10 项起开始为正数 则公差的取值范围是 A d B d 3 C d 3 D d 3 3 8 3 8 3 8 6 在数列中 且对任意大于 1 的正整数 点在直 n a3 1 an 1 nn aa 上 则 03 yx n a 7 在等差数列 an 中 a5 3 a6 2 则 a4 a5 a10 8 等差数列的前项和为 若 n an n S 则 432 3 1Saa A 12 B 10 C C 8 D 6 9 设数列的首项 则 n a Nn 2aa 7 a n1n1 且满足 1721 aaa 3 10 已知 an 为等差数列 a3 a8 22 a6 7 则 a5 11 已知数列的通项 an 5n 2 则其前 n 项和为 Sn 12 设为等差数列的前 n 项和 14 则 n S n a 4 S30SS 710 9 S 题型二 等差数列性质题型二 等差数列性质 1 已知 an 为等差数列 a2 a8 12 则 a5等于 A 4 B 5 C 6 D 7 2 设是等差数列的前项和 若 则 n S n an 7 35S 4 a A B C D 8765 3 若等差数列中 则 n a 3710114 8 4 aaaaa 7 a 4 记等差数列的前 n 项和为 若 则该数列的公差 d n a n S4 2 S20 4 S A 7 B 6 C 3 D 2 5 等差数列中 已知 则 n 为 n a 3 1 a1 4aa 52 33an A 48 B 49 C 50 D 51 6 等差数列 an 中 a1 1 a3 a5 14 其前 n 项和 Sn 100 则 n A 9 B 10 C 11 D 12 7 设 Sn是等差数列的前 n 项和 若 n a 5 9 3 5 9 5 S S a a 则 A 1 B 1 C 2 D 2 1 8 已知等差数列 an 满足 1 2 3 101 0 则有 A 1 101 0 B 2 100 0 C 3 99 0 D 51 51 9 如果 为各项都大于零的等差数列 公差 则 1 a 2 a 8 a0d A B C D 1 a 8 a 45 a a 8 a 1 a 45 a a 1 a 8 a 4 a 5 a 1 a 8 a 45 a a 10 若一个等差数列前 3 项的和为 34 最后 3 项的和为 146 且所有项的和 为 390 则这个数列有 A 13 项 B 12 项 C 11 项 D 10 项 题型三 等差数列前题型三 等差数列前 n n 项和项和 1 等差数列中 已知 则其 n a 12310 aaaap 98nnn aaaq 前项和 n n S 2 等差数列的前 n 项和为 4 1 2 A B C D 43 2 1 nn 73 2 1 nn 43 2 1 nn 73 2 1 nn 3 已知等差数列满足 则 n a0 99321 aaaa A B C D 来源 学科0 991 aa0 991 aa0 991 aa50 50 a 网 ZXXK 4 4 在等差数列中 n a78 15 21321 nnn aaaaaa155 n S 则 n 5 等差数列的前n项和为 若 n a n S 246 2 10 SSS 则等于 A 12 B 18 C 24 D 42 6 若等差数列共有项 且奇数项的和为 44 偶数项的和为 33 12 n Nn 则项数为 A 5 B 7 C 9 D 11 7 设等差数列的前项和为 若 则 n an n S 3 9S 6 36S 789 aaa 8 若两个等差数列和的前项和分别是 已知 则 n a n bn nn ST 7 3 n n Sn Tn 等于 5 5 a b 7 2 3 27 8 21 4 题型四 等差数列综合题精选题型四 等差数列综合题精选 1 等差数列 的前 n 项和记为 Sn 已知 n a 50 30 2010 aa 求通项 若 Sn 242 求 n n a 2 已知数列是一个等差数列 且 n a 2 1a 5 5a 1 求的通项 2 求前 n 项和的最大值 n a n a n a n S 3 设为等差数列 为数列的前项和 已知 n a n S n an7 7 S 为数列的前项和 求 75 15 S n T n Sn n n T 5 4 已知是等差数列 也是等差数列 n a2 1 a18 3 a n b4a 22 b 3214321 aaabbbb 1 求数列的通项公式及前项和的公式 n bn n S 2 数列与是否有相同的项 若有 在 100 以内有几个相同项 若没有 请说明 n a n b 理由 5 5 设等差数列 an 的首项 a1及公差 d 都为整数 前 n 项和为 Sn 若 a11 0 S14 98 求数列 an 的通项公式 若 a1 6 a11 0 S14 77 求所有可能的数列 an 的通项公式 6 已知二次函数的图像经过坐标原点 其导函数为 数列的前 yf x 62fxx n a n 项和为 点均在函数的图像上 求数列的通项公式 n S n n SnN yf x n a 设 是数列的前 n 项和 求使得对所有都成立的最小 1nn n aa 3 b n T n b 20 n m T nN 正整数 m 五 等差数列习题精选 1 等差数列的前三项依次为 则它的第 5 项为 n ax12 x24 x A B C 5 D 4 55 x12 x 2 设等差数列中 则的值等于 n a17 5 94 aa 14 a A 11 B 22 C 29 D 12 3 设是公差为正数的等差数列 若 n a 123 15aaa 123 80a a a 6 则 111213 aaa A B C D 1201059075 4 若等差数列的公差 则 n a0 d A B 5362 aaaa 5362 aaaa C D 与的大小不确定 5362 aaaa 62a a 53a a 5 已知满足 对一切自然数均有 且恒成立 则实数 n an 1nn aa 2 n ann 的取值范围是 0 0 0 3 6 等差数列为 daaadaan成等比数列 则若公差中 5211 0 1 A 3 B 2 C D 2 或2 2 7 在等差数列中 则 n a qppaqa qp qp a A B C 0 D qp qp pq 8 设数列是单调递增的等差数列 前三项和为 12 前三项的积为 48 则它 n a 的首项是 A 1 B 2 C 4 D 8 9 已知为等差数列 135246 105 99aaaaaa 则 20 a 等于 A 1 B 1 C 3 D 7 10 已知 n a为等差数列 且 7 a 2 4 a 1 3 a 0 则公差 d A 2 B 1 2 C 1 2 D 2 11 在等差数列 n a中 28 4aa 则 其前 9 项的和 S9等于 A 18 B 27 C 36 D 9 12 设等差数列 n a的前n项和为 n S 若 3 9S 6 36S 则 789 aaa A 63 B 45 C 36 D 27 13 在等差数列中 n a78 15 21321 nnn aaaaaa155 n S 则 n 14 数列是等差数列 它的前项和可以表示为 n an A B CBnAnSn 2 BnAnSn 2 C D CBnAnSn 2 0 aBnAnSn 2 0 a 7 小结小结 1 等差中项 若成等差数列 则 A 叫做与的等差中项 且 a A bab 2 ab A 2 为减少运算量 要注意设元的技巧 如奇数个数成等差 可设为 公差为 偶数个数成等差 可设为 2 2ad ad a ad ad d 公差为 2 3 3ad ad ad ad d 3 当公差时 等差数列的通项公式是关于的0d 11 1 n aanddnad n 一次函数 且斜率为公差 若公差 则为递增等差数列 若公差 则d0d 0d 为递减等差数列 若公差 则为常数列 0d 4 当时 则有 特别地 当时 则有mnpq qpnm aaaa 2mnp 2 mnp aaa 5 若 是等差数列 则 是非零常数 n a n b n ka nn kapb kp 也成等差数列 而成等比数列 p nq ap qN 232 nnnnn SSSSS n a a 等差数列参考答案等差数列参考答案 题型一 计算求值题型一 计算求值 题号题号 1234567 8 答案答案 B BD DC CA AD D3n3n2 2 49 49 题号题号 891011121314 答案答案 C C1531531515 5n 5n2 2 n 2 n 25454 题型二 等差数列的性质题型二 等差数列的性质 1 1 C C 2 2 D D 3 3 1212 a a3 3 a a7 7 a a10 10 a a11 11 a a4 4 8 4 a 8 4 a7 7 12 12 4 4 C C 5 5 C C 6 6 B B 7 7 A A 8 8 C C 9 9 B B 1010 A A 题型三 等差数列前题型三 等差数列前 n n 项和项和 1 1 5n p q 5n p q 2 2 B B 3 3 C C 4 4 n 10n 10 5 5 2424 6 6 S S 奇奇 S S 偶偶 n n 1 4 3 n n 1 4 3 n 4n 4 7 7 4545 8 8 D D a a5 5 b b5 5 S S9 9 T T9 9 题型四 等差数列综合题精选题型四 等差数列综合题精选 1 1 解 由得方程组 50 30 1 20101 aadnaan 4 分 解得 所以 5019 309 1 1 da da 2 12 1 da 102 nan 9 由得方程242 2 1 1 nn Sd nn naS 10 分 解得 2422 2 1 12 nn n 2211舍去或 nn 2 解 设的公差为 由已知条件 得 n ad 1 1 1 45 ad ad 解出 所以 1 3a 2d 1 1 25 n aandn 2 1 1 4 2 n n n Snadnn 2 4 2 n 所以时 取到最大值 2n n S4 3 解 设等差数列的公差为 则 n ad dnnnaSn1 2 1 1 7 7 S75 15 S 即 7510515 7217 1 1 da da 57 13 1 1 da da 解得 2 1 a1 d 1 2 1 21 2 1 1 ndna n Sn 数列是等差数列 其首项为 公差为 2 1 1 1 n S n S nn n Sn 2 2 1 nnTn 4 9 4 1 2 4 4 解 1 设 an 的公差为 d1 bn 的公差为 d2 由 a3 a1 2d1得 8 2 a d 13 1 a 所以 所以 a2 10 a1 a2 a3 3068n 1n 82an 依题意 得解得 所以 bn 3 3 n 1 3n 30d 2 34 4b 6db 21 21 3d 3b 2 1 2 3 2 3 2 2 1 nn bbn S n n 2 设 an bm 则 8n 6 3m 既 要是 式对非零自然数 m n 成立 只需 8 2m 3 n m 2 8k 所以 m 8k 2 Nk Nk 代入 得 n 3k 所以 a3k b8k 2 24k 6 对一切都成立 Nk Nk 所以 数列与有无数个相同的项 n a n b 令 24k 6 100 得又 所以 k 1 2 3 4 即 100 以内有 4 个相同项 12 53 k Nk 5 解 由 S14 98 得 2a1 13d 14 又 a11 a1 10d 0 故解得 d 2 a1 20 因此 a