直线划分平面的问题与凸多边形的边线及其对角线划分其内部区域问题的讨论.doc

讨论直线划分平面的问题与凸多边形的边线及其对角线划分平面问题：多边形（边数）对角线数划分内部区域数直线数划分平面数301124242455115166925946nn*(n-3)/2？x(x2+x+2)/271450141061、直线划分平面问题平面上有n条直线两两相交，但没有三条直线交于一点。问这n条直线把平面划分成多少个区域？分析：当我们遇到一个较为复杂的数学问题时，往往想起与它类似的问题，类似的形式，类似的解法等等，并联想起与它相应的定理，相应的公式，相应的法则等，从而把所遇到的问题与联想起的问题进行比较。通过类比推理的思考方法，将所遇到的问题进行等效“转化”，向想起的问题“靠拢”，又将联想起的类似的方法“移植”到所遇到的问题上。因此在解决直线分平面的问题时，我们可通过类比和联想，从点分直线的情况出发来探索直线分平面的问题。解：首先我们来考虑点分直线的问题。设一直线上的n个点能将直线分成an个部分，那么容易得到an=n+1。接着我们再来研究直线分平面问题。平面上有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设这n条直线将平面分成bn个部分，在观察的基础上进行归纳可知，第k1条直线与前k条直线均相交得k个交点，由前面点分直线的情形可知，该直线被k个交点分成k1段，而其中每一段都把平面上的每一个区域分成两个区域，所以平面部分应增加(k1)块。由此可得递推关系式为bk+1=bk(k1)，并且b1=2所以，当k=1时，b2-b1=2当k=2时，b3-b2=3当k=3时，b4-b3=4当k=n-1时，bn-bn-1=n把以上n-1个式子相加得：(b2-b1)(b3-b2)+(b4-b3)(bn-bn-1)234n则： bn-b1=234n即：bn=2234n因此n条两两相交，且没有三线交于一点的直线可把平面分成回顾：本题还可利用差分法来帮助发现规律，从而解决问题，首先我们考虑一条直线、两条直线、三条直线，将平面所分的区域数。计算数列2，4，7，11，的差分由于二阶差分数列是非零的常数列，所以猜测bn是n的2次多项式bn=an2bnc，利用待定系数法，进一步求出a、b、c的值。但我们运用差分法猜测得到的结论，还需通过数学归纳法加以论证。注：探索是人类思维中最活泼、最生动、最富有魅力的活动，探索过程是一个不断提出设想，验证设想，修正和发展设想的过程。本题采用的类比法也是探索问题的一种重要方法。尤其是联想与类比交织在一起的共同探索与发现，在解决问题时，如果我们能根据数学知识的特点，运用类比、联想的方法积极思考，从已有的知识来探索新的知识，既有利于认知结构的完善，又有利于探索能力的培养。在解决后面练习中平面划分空间的问题，我们也可类比到直线划分平面的问题。2、凸多边形的边线及其对角线划分平面区域问题多边形边数n=3、4、5的时候都比较简单，一目了然。当n=6时，首先间隔一个顶点的6条对角线相连结，将隔成产生一个小的6边形在中间（如图一），相对的顶点相连（间隔2个顶点的对角线共有3条）两两相交（如图二）把中心6边形分成7个区域，加上内外两个6边形之间的部分是4*6-6个区域，所以总共是7+4*6-6=25个内部区域。当n=7时，同理，首先间隔一个顶点的7条对角线相连结，将隔成产生一个小的7边形在中间（如图一），间隔大于等于2个顶点的对角线共有7条，但并非两两相交，同一个顶点对应的相邻的两条对角线是不相交的，相交一条线就多分割出一个区域，所以内部7边形被分成了（7*7+7+2）/2-7=22个区域，加上两个7边形之间的部分有5*7-7=28个，故总共是22+28=50个内部区域想到上边红色区域部分的阐述，我明白了。一个更简单的方法是这样的。假设我们把凸多边形无限放大（想象要多大有多大），则问题就变成了直线划分平面的问题了，只是这些直线（多边形的对角线）并非全部两两都相交和存在多（=2）条直线交于同一个顶点而已。那么怎样才能使划分出的区域最多呢？就是在凸多边形的内部，不存在=3条的对角线交于同一点的时候则划分出的内部区域数最多！此时，所划分出的区域数就相当于直线划分平面区域的最多数排除掉因了多条对角线交于同一个顶点而使划分出的区域减少的个数和因了存在对角线对在凸多边形的内部不相交而使得划分的区域减少的个数，即：划分凸多边形内部区域最多数=直线（对角线）划分平面最多数-因了多条对角线交于同一个顶点而使划分出的区域减少的个数-因了存在对角线对在凸多边形的内部不相交而使得划分的区域减少的个数。记上式为max=max1-s1-s2所以，我们首先必须明白的几个问题是：（1）凸n边形的对角线的条数k=n(n-3)/2;(可用两种方法证明，其中一种增边构造法)（2）直线（对角线）划分平面最多数即为上述第一个问题，结果由直线的条数（对角线的条数k）确定max1=(k2+k+2)/2;（3）因了多条对角线交于同一个顶点而使划分出的区域减少的个数(n=3)在凸多边形的内部（是一个非欧几何空间），由于（=2）多条直线（对角线）交于同一个顶点划分出的区域个数比由直线两两相交而没有任何大于等于3条的直线交于同一点所划分出的区域个数减少的个数为：s1=（n-3）2+(n-3)+2/2-(n-3+1)n(此n表示顶点个数)例如：n=4，5时，对角线交于顶点处划分凸多边形内部区域比直线划分平面区域数减少的个数情况如下图：（其中n表示多边形边数，k为 凸n边形对应的对角线条数）（4）因了存在对角线对在凸多边形的内部不相交而使得划分的区域减少的个数首先我们知道一组平行（永不相交）的直线划分平面区域是3个比一组相交直线划分平面的区域数4少1，结论用到凸多边形的内部（非欧空间）同样适用，只是这里的“平行”是非欧几何意义下的平行而已。于是问题的关键就在于求在凸多边形内部中“平行”（不相交）的对角线对的个数了。结论：当n=6时，在凸多边形内部中“平行”（不相交）的对角线对的个数为：s2=n/2（6-n）1+(i-3)(i-6)/2求S2的一种方法就是如增边构造法一般求凸多边形的对角线条数一样的，如下讨论n从357的情形已佐证之，具体证明方法可用数学归纳法证之，这里从略。第一图，n由3变到5，对角线条数分别增加了2条和3条（分别对应图一中的标记红色的线和标记蓝色的线），而此时内部并不存在“平行”不相交的对角线对；第二图，n从5变到6，对角线条数增加了n-2=6-2=4条，图中标记红色的线。而其中除了FC划分内部为两部分后，“两半球”分别剩余AB线段和DE线段，而不存在对角线与其不相交外，AE、FB、FD分别对应存在一条对角线与其不相交（“平行”），它们分别是AEBD，FBCE，FDAC，增加了3对“平行对角线对”即：3=1*6/2=1+（6-3）(6-3-3)/26/2第三图，n从6变到7，对角线条数增加了n-2=7-2=5条图中标记紫色的线，分别是AF、GB、GC、GD、GE。它们分别对应存在=1条对角线与其不相交（“平行”），分别是AFBD、BE、BF，GBCE、CF、DF，GCDF，GDAC，GEAD、AC、BD增加了11对“平行对角线对”即：11=3*(5-2)+1+1；总共有11+3=14组“平行”对角线对，即：14=1+（6-3）(6-3-3)/2 + 1+（7-3）(7-3-3)/27/2综上所述：max=max