2018_19学年高中数学第2章圆锥曲线与方程-抛物线的标准方程学案苏教版.docx

2.4.1抛物线的标准方程学习目标：1.掌握抛物线的标准方程，能根据已知条件求抛物线的标准方程(重点)2.能根据抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程(重点)3.能利用抛物线的定义和标准方程求最值(难点)自 主 预 习探 新 知教材整理抛物线的标准方程阅读教材P51例1以上的部分，完成下列问题图形标准方程焦点坐标准线方程y22px(p0)Fxy22px(p0)Fxx22py(p0)Fyx22py(p0)Fy1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)标准方程y22px(p0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离()(2)抛物线的焦点位置由一次项及一次项系数的正负决定()(3)抛物线的方程都是二次函数()(4)抛物线的开口方向由一次项及一次项系数的正负决定()答案(1)(2)(3)(4)2若抛物线的方程为x2ay2(a0)，则焦点到准线的距离p_. 【导学号：71392089】解析把抛物线方程化为标准形式：y2x，故p.答案3已知抛物线的焦点坐标是(0，3)，则抛物线的标准方程是_解析3，p6，x212y.答案x212y合 作 探 究攻 重 难求抛物线的焦点及准线(1)抛物线2y23x0的焦点坐标是_，准线方程是_(2)若抛物线的方程为yax2(a0)，则抛物线的焦点坐标为_，准线方程为_自主解答(1)抛物线2y23x0的标准方程是y2x，2p，p，焦点坐标是，准线方程是x.(2)抛物线方程yax2(a0)化为标准形式：x2y，当a0时，则2p，解得p，焦点坐标是，准线方程是y.当a0)的焦点坐标和准线方程解抛物线ymx2(m0)的标准方程是x2y.m0，2p，焦点坐标是，准线方程是y.求抛物线的标准方程根据下列条件确定抛物线的标准方程(1)关于y轴对称且过点(1，3)；(2)过点(4，8)；(3)焦点在x2y40上. 【导学号：71392090】精彩点拨(1)用待定系数法求解；(2)因焦点位置不确定，需分类讨论求解；(3)焦点是直线x2y40与坐标轴的交点，应先求交点再写方程自主解答(1)法一：设所求抛物线方程为x22py(p0)，将点(1，3)的坐标代入方程，得(1)22p(3)，解得p，所以所求抛物线方程为x2y.法二：由已知，抛物线的焦点在y轴上，因此设抛物线的方程为x2my(m0)又抛物线过点，所以1m(3)，即m，所以所求抛物线方程为x2y.(2)法一：设所求抛物线方程为y22px(p0)或x22py(p0)，将点(4，8) 的坐标代入y22px，得p8；将点(4，8)的坐标代入x22py，得p1.所以所求抛物线方程为y216x或x22y.法二：当焦点在x轴上时，设抛物线的方程为y2nx(n0)，又抛物线过点(4，8)，所以644n，即n16，抛物线的方程为y216x；当焦点在y轴上时，设抛物线的方程为x2my(m0)，又抛物线过点(4，8)，所以168m，即m2，抛物线的方程为x22y.综上，抛物线的标准方程为y216x或x22y.(3)由得由得所以所求抛物线的焦点坐标为(0，2)或(4,0)当焦点为(0，2)时，由2，得p4，所以所求抛物线方程为x28y；当焦点为(4,0)时，由4，得p8，所以所求抛物线方程为y216x.综上所述，所求抛物线方程为x28y或y216x.名师指津求抛物线的标准方程求抛物线方程都是先定位，即根据题中条件确定抛物线的焦点位置；后定量，即求出方程中的p值，从而求出方程.(1)定义法：先判定所求点的轨迹是否符合抛物线的定义，进而求出方程.(2)待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定参数值.对于对称轴确定，开口方向也确定的抛物线，根据题设中的条件设出其标准方程：y22px(p0)，或y22px(p0)，或x22py(p0)，或x22py(p0)，进行求解，关键是能够依据抛物线的几何性质首先确定出抛物线方程的形式，然后采用待定系数法求出其标准方程.对于对称轴确定，而开口方向不确定的抛物线：当焦点在x轴上时，可将抛物线方程设为y2ax(a0)；当焦点在y轴上时，可将抛物线方程设为x2ay(a0)，再根据条件求a.再练一题2以双曲线16x29y2144的左顶点为焦点的抛物线方程是_解析双曲线16x29y2144的标准方程是1，左顶点是(3,0)，由题意设抛物线的方程为y22px(p0)，3，p6，抛物线的标准方程是y212x.答案y212x抛物线的标准方程及定义的应用(1)设P是曲线y24x上的一个动点，求点P到点B(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值；(2)已知抛物线y22x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求PAPF的最小值，并求出取得最小值时点P的坐标. 【导学号：71392091】精彩点拨(1)把点P到准线的距离转化为点P到焦点F的距离，利用PBPFBF求解(2)把点P到焦点F的距离转化为点P到准线的距离，利用垂线段时最短求解自主解答(1)抛物线的顶点为O(0,0)，p2，准线方程为x1，焦点F坐标为(1,0)，点P到点B(1,1)的距离与点P到准线x1的距离之和等于PBPF.如图，PBPFBF，当B，P，F三点共线时取得最小值，此时BF.(2)将x3代入抛物线方程y22x，得y.2，A在抛物线内部设抛物线上点P到准线l：x的距离为d，由定义知PAPFPAd.由图可知，当APl时，PAd最小，最小值为，即PAPF的最小值为，此时点P的纵坐标为2，代入y22x，得x2，点P的坐标为(2,2)名师指津抛物线定义在求最值中的应用(1)解此类最值、定值问题时，首先要注意抛物线定义的转化应用，其次是注意平面几何知识的应用，例如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等.(2)数形结合思想是求解几何最值的常用方法之一.再练一题3已知定长为3的线段AB的端点A，B在抛物线y2x上移动，求AB的中点M到y轴距离的最小值解如图，设点F是抛物线y2x的焦点，过A，B两点分别作其准线的垂线AC，BD，过AB的中点M作准线的垂线MN，C，D，N为垂足，则MN(ACBD)由抛物线的定义，知ACAF，BDBF，MN(AFBF)AB.设点M的横坐标为x，MNx，则x.当线段AB过焦点F时，等号成立，此时点M到y轴的最短距离为.抛物线的标准方程探究问题1四种形式的标准方程的异同点是什么？提示对四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比、分析，其共同点有：(1)过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于顶点对称，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的，即(p0)；(4)焦点到准线的距离均为p.不同点：(1)对称轴为x轴时，方程的右端为2px，左端为y2；对称轴为y轴时，方程的右端为2py，左端为x2；(2)开口方向与x轴(或y轴)的正方向相同时，焦点在x轴(或y轴)的正半轴上，方程的右端取正号；开口方向与x轴(或y轴)的正方向相反时，焦点在x轴(或y轴)的负半轴上，方程的右端取负号2通过抛物线的标准方程，如何判断焦点位置及开口方向？ 【导学号：71392092】提示在抛物线的标准方程中，一次项起了关键作用(1)如果一次项含有x，则说明抛物线的焦点在x轴上，系数为正，则焦点在正半轴上，开口向右；系数为负，则焦点在负半轴上，开口向左；(2)如果一次项含有y，则说明抛物线的焦点在y轴上，系数为正，则焦点在正半轴上，开口向上；系数为负，则焦点在负半轴上，开口向下3我们知道，二次函数yax2的图象是抛物线，如何确定它的焦点和准线？提示焦点在y轴上的抛物线的标准方程为x22py，通常又可以写成yax2，这与以前所学习的二次函数的解析式是完全一致的，但需要注意的是，由方程yax2来求其焦点和准线时，必须先化成标准形式动点M(x，y)到y轴的距离比它到定点(2,0)的距离小2，求动点M(x，y)的轨迹方程精彩点拨设F(2,0)，由题意MF|x|2，或根据点M，F在y轴的同侧或异侧分类讨论自主解答法一：设F(2,0)，由题意MF|x|2，|x|2，化简得y24x4|x|动点M的轨迹方程是y0(x0)或y28x(x0)法二：当x0时，动点M(x，y)到y轴的距离比它到定点(2,0)的距离小2，动点M到定点(2,0)的距离与到定直线x2的距离相等，动点M的轨迹是以(2,0)为焦点，x2为准线的抛物线，且p4，抛物线的方程为y28x(x0)当x0时，由于x轴上原点左侧的点到y轴距离比它到(2,0)的距离小于2，动点M的轨迹方程为y0(x0)综上，动点M的轨迹方程为y0(x0)或y28x(x0)当 堂 达 标固 双 基1设抛物线的顶点在原点，准线方程为x2，则抛物线的方程是_解析由准线方程为x2，顶点在原点，可得抛物线焦点为F(2,0)，p4.故所求抛物线方程为y28x.答案y28x2抛物线yax2的准线方程是y2，则a的值是_解析抛物线的标准方程为x2y.则a0且2，得a.答案3若抛物线y2x的焦点与椭圆1的右焦点重合，则p的值为_解析椭圆的右焦点为(2,0)，故p.答案4已知点P(2，y)在抛物线y24x上，则P点到抛物线焦点F的距离为_. 【导学号：71392093】解析点P(2，y)在抛物线y24x上，点P到焦点F的距离等于点P到准线x1的距离点P到准线x1的距离为3，点P到焦点F的距离为3.答案35已知抛物线的方程为y28x.(1)求它的焦点坐