八年级数学全等三角形练习题.doc

全等三角形的证明技巧练习题复习证明三角形全等的方法：1. 探索三角形全等的条件：一般题目中总有几个可以利用的条件，如果条件不够，则应先看看是否有隐含条件可用，如对顶角、公共边、公共角等；如果条件还不够，则应确定还要找那些条件.2.构造全等三角形的规律：（1）在角的两边截等长的线段，构造全等三角形；（2）过角平分线上一点向角两边作垂线，构造全等三角形；（3）若有中线时，常加倍中线，构造全等三角形.探究类型之一 探索三角形全等的条件例1（1）如图4-2所示，已知AC=AD，请你添加一个条件 ，使得ABCABD.（2）如图4-2，已知C=D，请你添加一个条件 ，使得ABCABD.（3）如图4-2，已知CAB=DAB，请你添加一个条件 ，使得ABCABD.（4）如图4-3所示，已知B=C，请你添加一个条件 ，使得ABCABD.解析：（1）已知两边（AB=AB，AC=AD），只需再找一边（BC=BD）或两条边的夹角（BAC=BAD）即可.（2）已知一角和其对边（C=D和AB=AB），只需再找一角（ABC=ABD或BAC=BAD）即可.（3）已知一角和一边（CAB=DAB，AB=AB），只需再找一边（AC=AD）或再找一角（ABC=ABD或C=D）即可.（4）已知两角（B=C，A=A），只需再找一边即可.小贴士：探究类型之二 运用全等三角形证明线段相等或直线垂直、平行例2 如图4-4，已知RtABCRtADE,ABC=ADE=90,BC与DE相交于点F，连接CD,EB.（1）图中还有几对全等三角形？请你一一列举；（2）求证：CF=EF解：(1)ADCABE,CDFEBF.(2)证明：RtABCRtADE,AC=AE,AB=AD,CAB=EAD,CAB-DAB=EAD-DAB,即CAD=EAB,ACDAEB(SAS),CD=EB,ADC=ABE.又ADE=ABC,CDF=EBF.又DFC=BFE,CDFEBF(AAS),CF=EF.小结：因为全等三角形的对应边相等、对应角相等，所以在平面几何中，证明两线段相等、两直线垂直或平行等问题时，常常可以通过证明三角形全等来实现.探究类型之三 加倍折半法证明倍分关系例3 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图4-5，ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，连接BE，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到ADCEDB的理由是（ ）A.SSS B.SAS C.AAS D.HL（2）求得AD的取值范围是（ ）A.6AD8 B.6AD8C.1AD7 D.1AD7答案：(1)动画延长AD到E，使DE=AD，然后连接BE。 (2)要求AD的取值范围，可以利用三角形的三边关系定理。由（1）知ADCEDB，BE=AC=6，AE=2AD.在ABE中，AB=8，由三角形三边关系定理得8-62AD8+6，1AD7，小结：三角形加倍折半法:加倍折半法的关键是如何“加倍”、“折半”.传统的“加倍”的方法是将线段延长一倍；传统的“折半”的方法是取线段的中点.解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中探究类型四 利用截长补短法解决有关两条线段的和或差的问题例4 如图4-6，在ABC中，ABC=60,AD，CE分别平分BAC，ACB，且相交于点O.求证：AC=AE+CD.解析：在AC上截取AF=AE，连接OF。证明：ABC=60,BAC+ACB=120.又1=1/2BAC, 2=1/2ACB,1+2=60,AOC=120,4=6=60,即5+7120.在FAO和EAO中，AF=AE, 1=EAO,AO=AO,FAOEAO,5=4,即560,则7=120-5=60,7=6.又23，OC=OC,OCDOCF,CF=CD,AF+CF=AE+CD, 即AC=AE+CD.小结：证明两线段的和等于第三条线段时，一般方法是“截长、补短”，即在第三条线段上截下一段使其等于两条短线段中的一条，再证明剩余部分与另一条线段相等，此为“截长”；“补短”即把两条线段中的一条补到另一条线段上去，证明所得新线段与第三条线段相等.探究类型之五 有关全等三角形的探究题例5 如图4-7所示，在RtABC中，BAC=90，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A，D重合，连接BE，EC.试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想.解析：解：BE=EC，BEEC .理由:AC=2AB，点D是AC的中点,AB=AD=CD.EAD=EDA=45,EAB=EDC=135.EA=ED,EABEDC,AEB=DEC，EB=EC,BEC=AED=90,BE=EC，BEEC.小结：探究型问题主要有三种形式：（1）条件开放型问题；（2）结论开放型问题；（3）解题方法开放型问题.举一反三：1.如图4-8所示，AB=AC，要说明ADCAEB，需添加的条件不能是（ ）A. B=C B. AD=AEC. ADC=AEB D. DC=BE1. D 解析：若添加B=C,则可由“ASA”证明ADCAEB;若添加AD=AE，则可由“SAS”证明ADCAEB;若添加ADC=AEB,则可由“AAS”证明ADCAEB.2.在数学课上，林老师在黑板上画出如图4-9所示的图形（其中点B，F，C，E在同一直线上），并写出四个条件：AB=DE，BF=EC，B=E，1=2请你从这四个条件中选出三个作为已知条件，另一个作为结论，组成一个正确命题，并给予证明已知条件： ；结论： （均填写序号）.3.如图4-10，在ABC中,AB=CB,ABC=90,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.(1)求证:RtABERtCBF;(2)若CAE=30,求ACF的度数.解：（1）证明：ABC=90,CBF=ABE=90.在RtABE和RtCBF