【高考风向标】2013年高考数学一轮复习 第五章 第4讲 简单的线性规划课件 文

第4讲 简单的线性规划 1 二元一次不等式表示的平面区域 1 一般地 在平面直角坐标系中 二元一次不等式Ax By C 0表示直线Ax By C 0某一侧所有点组成的平面区域 不含边界线 不等式Ax By C 0所表示的平面区域包括边界线 2 对于直线Ax By C 0同一侧的所有点 x y 使得Ax By C的值的符号相同 也就是说位于同一平面区域内的点 若其坐标适合Ax By C 0 则位于另一个平面区域内的点 其坐标适合Ax By C 0 3 可在直线Ax By C 0某一侧任取一点 一般取特殊点 x0 y0 如原点 0 0 用Ax0 By0 C的值的正负来判断Ax By C 0 或Ax By C 0 所表示的区域 2 线性规划 1 线性约束条件 不等式组是一组对变量x y的约束条件 由于这组约束条件都是关于x y的一次不等式 所以又可称其为线性约束条件 2 目标函数 z Ax By是欲达到最大值或最小值所涉及的 变量x y的解析式 我们把它称为目标函数 3 线性目标函数 由于z Ax By是关于x y的一次解析式 所以又可叫做线性目标函数 4 可行解 满足线性约束条件的解 x y 叫做可行解 5 可行域 由所有可行解组成的集合叫做可行域 6 最优解 若可行解 x1 y1 和 x2 y2 分别使目标函数取得最 大值和最小值 它们都叫做这个问题的最优解 7 一般地 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最 小值的问题 统称为线性规划问题 1 不等式组 x 3y 6 0 x y 2 0 表示的平面区域是 B x y 0 2 已知实数x y满足x y 4 0 x 1 则2x y的最小值是 B A 3 B 2 C 0 D 1 x y 1 0 3 若实数x y满足x y 0 x 0 则z 3x 2y的最小值是 B A 0 B 1 C D 9 2x y 6 0 4 不等式组x y 3 0 所表示的平面区域的面积为 y 25 若点 1 3 和点 4 2 在直线2x y m 0的两侧 则 m的取值范围是 5 m 10 1 考点1 二元一次不等式 组 与平面区域 例1 设集合A x y x y 1 x y是三角形的三边长 则A所表示的平面区域 不含边界的阴影部分 是 解题思路 由三角形的三边关系 两边之和大于第三边 来确定二元一次不等式组 然后求可行域 解析 由于x y 1 x y是三角形的三边长 答案 A 易知A正确 由三角形的三边关系 两边之和大于第三边 来确定二元一次不等式组 然后求可行域 本题以三角形 集合为载体来考查线性规划的问题 由于是选择题 只要找出正确的不等式组并作出相应的直线即可看出答案 互动探究 x y 5 0 1 若不等式组y a 0 x 2 表示的平面区域是一个三角 形 则a的取值范围是 C A a 5C 5 a 7 B a 7D a 5或a 7 x y 11 0 2 2010年北京 设不等式组3x y 3 0 表示的平面区 5x 3y 9 0域为D 若指数函数y ax的图象上存在区域D上的点 则a的取 A 值范围是 A 1 3 C 1 2 B 2 3 D 3 考点2线性规划中求目标函数的最值问题 则z 2x 3y的最小值为 A 17 B 14 C 5 D 3 解析 作出不等式组表示的可行域 从图中不难观察当直线z 2x 3y过直线x 1与x 3y 2的交点 1 1 时取得最小值 所以最小值为5 答案 C A 3 B 4 C 3 2 D 4 2 答案 B 线性规划问题首先作出可行域 若为封闭区域 即几条直线围成的区域 则区域端点的值使目标函数取得最大或最小值 求出直线交点坐标代入目标函数即可求出最值 图D8 互动探究 3 2011年陕西 如图5 4 1 点 x y 在四边形ABCD内部 和边界上运动 那么2x y的最小值为 1 图5 4 1解析 目标函数z 2x y 当x 0时 z y 所以当y取得最大值时 z的值最小 移动直线2x y 0 当直线移动到过点A时 y最大 即z的值最小 此时z 2 1 1 1 考点3 线性规划在实际问题中的应用 例3 某家具厂有方木料90m 五合板600m 准备加工成书桌和书橱出售 已知生产一张书桌需要方木料0 1m 五合板2m 生产一个书橱需要方木料0 2m 五合板1m 出售一张书桌可获利润80元 出售一个书橱可获利润120元 如果只安排生产书桌 可获利润多少 如果只安排生产书橱 可获利润多少 如何安排生产可使所得利润最大 解题思路 找出约束条件与目标函数 准确地描画可行域 再利用图形直观求得满足题设的最优解 解析 1 设只生产书桌x张 可获利润z元 所以当x 300时 zmax 80 300 24000 元 即如果只安排生产书桌 最多可生产300张书桌 可获利润24000元 2 设只生产书橱y张 可获利润z元 所以当y 450时 zmax 120 450 54000 元 即如果只安排生产书橱 最多可生产450张书橱 可获利润54000元 3 设生产书桌x张 生产书橱y张 可获总利润z元 z 80 x 120y 在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域 即可行域 如图5 4 2 作直线l 80 x 120y 0 即直线2x 3y 0 图5 4 2 根据已知条件写出不等式组是做题的第一步 第二步画出可行域 第三步找出最优解 互动探究 4 某企业生产甲 乙两种产品 已知生产每吨甲产品要用A原料3吨 B原料2吨 生产每吨乙产品要用A原料1吨 B原料3吨 销售每吨甲产品可获得利润5万元 每吨乙产品可获得利润3万元 该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨 B原 料不超过18吨 那么该企业可获得最大利润是 A 12万元C 25万元 B 20万元D 27万元 大 故本题即已知约束条件 解析 设甲 乙种两种产品各需生产x y吨 可使利润z最3x y 13 2x 3y 18 x 0 y 0 求目标函数z 5x 3y的最大值 如图D9 可求出最优解为 x 3 y 4 故zmax 15 12 27 图D9 则 的取 思想与方法10 用数形结合的思想求非线性目标函数的最值 yx x y 2 0 例题 已知变量x y满足约束条件x 1 x y 7 0 值范围是 图5 4 3 1 利用线性规划研究实际问题的基本步骤是 1 应准确建立数学模型 即根据题意找出约束条件 确定线 性目标函数 2 用图解法求得数学模型的解 即画出可行域 在可行域内 求得使目标函数取得最值的解 3 还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解 即结合实际情况求得最优解 2 求目标函数的最优整数解常有两种处理方法 1 通过打出网格求整点 关键是作图要准确 2 首先确定区域内点的横坐标范围 确定x的所有整数值 再代回原不等式组 得出y的一元一次不等式组 再确定y的所有相应整数值 即先固定x 再用x制约y 3 非线性规划问题 是指目标函数和约束函数中至少有一个是非线性函数 对于这类问题的考查往住以求非线性目标函数最值的方式出现 4 线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界上取得 1 在画不等式表示的平面区域时 一定要注意直线的虚实 当不等号是 或 则边界线要画成实线 当不等号是 或 则边界线要画成虚线 2 求线性目标函数z ax by的最值时 一定不要把z的最值与直线在