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第十八章四边形 全章复习 直角梯形 四边形 平行四边形 矩形 菱形 正方形 梯形 等腰梯形 本章知识结构图 定理 四边形的内角和等于360 四边形的外角和等于360 定理 四边形的内角和等于360 四边形的外角和等于360 推广到n边形 n是大于等于3的整数 n边形的内角和等于 任意多边形的外角和等于360 练习 1 内角和等于外角和的多边形是 六边形 四边形 2 内角和是外角和的2倍的多边形是 3 每个内角都是150 的多边形的边数是 则每个外角都是30 4 多边形的内角中最多有个锐角 3 12 外角 钝角 平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等 2 平行四边形的对边相等 3 平行四边形的对角线互相平分 平行四边形 定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等 2 平行四边形的对边相等 3 平行四边形的对角线互相平分 平行四边形 定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等 2 平行四边形的对边相等 3 平行四边形的对角线互相平分 平行四边形 定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 DAB BCD ABC CDA 平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等 2 平行四边形的对边相等 3 平行四边形的对角线互相平分 平行四边形 定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 OA OC OB OD DAB BCD ABC CDA 平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等 2 平行四边形的对边相等 3 平行四边形的对角线互相平分 平行四边形 定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 3 对角线互相平分的四边形是平行四边形 4 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 3 对角线互相平分的四边形是平行四边形 4 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 判断 1 一组对边平行 一组对角相等的四边形是平行四边形 平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 3 对角线互相平分的四边形是平行四边形 4 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 2 一组对边平行 另一组对边相等的四边形是平行四边形 判断 1 一组对边平行一组对角相等的四边形是平行四边形 平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 3 对角线互相平分的四边形是平行四边形 4 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 2 一组对边平行 另一组对边相等的四边形是平行四边形 判断 1 一组对边平行一组对角相等的四边形是平行四边形 推论 夹在两条平行线间的平行线段相等 两条平行线中 一条直线上任意一点到另一条直线的距离 叫做这两条平行线的距离 推论 夹在两条平行线间的平行线段相等 两条平行线中 一条直线上任意一点到另一条直线的距离 叫做这两条平行线的距离 推论 夹在两条平行线间的平行线段相等 平行四边形的面积 底高 S AEBC S AFCD 两条平行线中 一条直线上任意一点到另一条直线的距离 叫做这两条平行线的距离 两条平行线间的距离处处相等 练习 1 在ABCD中 B 30 C D AB 4 BC 6 则BC边上的高为 面积为 练习 1 在ABCD中 B 30 C D AB 4 AD 6 则BC边上的高为 面积为 150 30 2 12 练习 2 如图 ABCD周长为20cm AOB与 BOC的周长差为4cm 则一组邻边的长分别为 A B C D O 练习 2 如图 ABCD周长为20cm AOB与 BOC的周长差为4cm 则一组邻边的长分别为 A B C D O 又 AB BC 10 3cm 7cm AO OC OB OB BC AB 4 AB 3 BC 7 练习 3 平行四边形两条对角线分别为8 10 其中一条边长为9 这样的平行四边形存在吗 A B C D O 9 练习 3 平行四边形两条对角线分别为8 10 其中一条边长为9 这样的平行四边形存在吗 不存在 在 AOD中应有 AO DO AD 定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 矩形 性质 矩形的四个角都是直角 O A B C D 8 1 2 3 4 5 6 7 矩形的对角线相等 互相平分 定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 矩形 性质 矩形的四个角都是直角 有三个角是直角的四边形是矩形 对角线相等的平行四边形是矩形 O A B C D 8 1 2 3 4 5 6 7 矩形的对角线相等 互相平分 判定 定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 矩形 性质 矩形的四个角都是直角 矩形的对角线相等 互相平分 判定 有三个角是直角的四边形是矩形 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 O A B C D 8 1 2 3 4 5 6 7 定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 矩形 性质 矩形的四个角都是直角 矩形的对角线相等 互相平分 判定 有三个角是直角的四边形是矩形 对角线相等的平行四边形是矩形 O A B C D 8 1 2 3 4 5 6 7 O A B C D 1 E P 练习 已知 如图 DE平分矩形ABCD的一个角 且 1 15 求证 OE PE O A B C D 1 E P 3 2 4 DCE 90 3 45 DCE是等腰直角三角形 4 30 BAD 90 ABD是含有30 角的直角三角形 CBD ADC ABC也是含有30 角的直角三角形 2 45 ODC 60 又OD OC DOC是等边三角形 AOB也是等边三角形 在 OPE中 OPE 75 由 DOC是等边三角形可得OC DC 由 DCE是等腰直角三角形可得EC DC OC EC 又 5 30 在等腰 EOC中 EOC OEC 75 OED 30 OE PE EOC OPE 菱形 O A B C D 定义 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 性质 菱形的四条边都相等 菱形的对角线互相垂直 平分 并且平分每一组对角 判定 四条边都相等的四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 8 1 2 3 4 5 6 7 菱形 O A B C D 定义 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 性质 菱形的四条边都相等 菱形的对角线互相垂直 平分 并且平分每一组对角 判定 四条边都相等的四边形是菱形 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 8 1 2 3 4 5 6 7 菱形 O A B C D 定义 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 性质 菱形的四条边都相等 菱形的对角线互相垂直 平分 并且平分每一组对角 判定 四条边都相等的四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 8 1 2 3 4 5 6 7 面积公式 a b为对角线 Q A B C D M N P Q A B C D M N P Q A B C D M N P Q A B C D M N P Q A B C D M N P Q A B C D M N P 4 1 2 3 Q A B C D M N P 4 1 2 3 Q A B C D M N P Q A B C D M N P Q A B C D M N P Q A B C D M N P Q A B C D M N P Q A B C D M N P Q A B C D M N P Q A B C D M N P 定义 有一个角是直角并且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形 性质 正方形的四个角都是直角 正方形的四条边都相等 正方形的对角线互相垂直 平分 相等 并且平分一组对角 面积公式 a为边长 判定 矩形 菱形 练习 1 对角线的菱形是正方形 相等 2 正方形的对角线长为2 则边长为 面积为 练习 1 对角线的菱形是正方形 相等 2 正方形的对角线长为2 则边长为 面积为 练习 1 对角线的菱形是正方形 相等 2 正方形的对角线长为2 则边长为 面积为 2 练习 3 如图 正方形ABCD 菱形AEFC 则 FAB F A B C D E 练习 3 如图 正方形ABCD 菱形AEFC 则 FAB F A B C D E 练习 3 如图 正方形ABCD 菱形AEFC 则 FAB F A B C D E 22 5 4 已知 如图 正方形ABCD中 E F分别是CD AD的中点 BE CF交于P 求证 AP AD A B C D E F P 2 A B C D E F P 1 3 2 A B C D E F P 1 3 4 2 A B C D E F P 1 3 4 2 A B C D E F P 1 3 4 G 延长CF交BA的延长线与G 易证 BCE CDF GAF 由 直角三角形斜边中线等于斜边一半 得PA AB 即PA AD 2 A B C D E F P 1 G 3 4 再证A是GB的中点 且 BPG 90 矩形 菱形 正方形是轴对称图形 一般平行四边形不是轴对称图形 特殊的平行四边形 矩形 菱形 正方形也是中心对称图形 O A B C D 平行四边形是中心对称图形 对角线的交点是它的对称中心 F A B C D O E F A B C D O E F A B C D O E F A B C D O E F A B C D O E F A B C D O E F A B C D O E F A B C D O E O A B C D E F 练习 若矩形的对称中心到两边的距离差为4cm 面积为180cm2 则矩形的两边分别为和 O A B C D E F E 练习 若矩形的对称中心到两边的距离差为4cm 面积为180cm2 则矩形的两边分别为和 练习 若矩形的对称中心到两边的距离差为4cm 面积为180cm2 则矩形的两边分别为和 O A B C D E F EE FF 8 18cm 10cm F E 即BC AB 8 又BCAB