二次函数复习

二次函数复习课 东厦中学赖俊佳 知识梳理 1 二次函数的概念 函数y a b c为常数 叫做二次函数 ax2 bx c a 2 二次函数的图象是一条 抛物线 函数的图象及性质 a 0向上 a 0向下 a 0向上 a 0向上 a 0向上 a 0向下 a 0向下 a 0向下 y轴 直线x h 直线x h y轴 0 0 0 k h 0 h k y ax2 y ax2 k y a x h 2 y a x h 2 k 上下平移 左右平移 上下平移 左右平移 结论 一般地 抛物线y a x h 2 k与y ax2形状相同 位置不同 各种形式的二次函数的关系 二次函数的y ax2 bx c的性质 a 0开口向上 a 0开口向下 x h h k y最小 k y最大 k y最小 y最大 在对称轴左边 x y 在对称轴右边 x y 在对称轴左边 x y 在对称轴右边 x y 二次函数y x2 x 6的图象顶点坐标是 对称轴是 例1 画二次函数的大致图象 画对称轴 确定顶点 确定与y轴的交点 确定与x轴的交点 确定与y轴交点关于对称轴对称的点 连线 0 6 2 0 3 0 1 6 二次函数y x2 x 6的图象顶点坐标是 对称轴是 例1 0 6 2 0 3 0 1 6 增减性 当时 y随x的增大而减小当时 y随x的增大而增大 最值 当时 y有最值 是 小 函数值y的正负性 当时 y 0当时 y 0当时 y 0 x3 x 2或x 3 2 x 3 例4 抛物线关于x轴对称的抛物线解析式是 解题思路 将原抛物线写成顶点式y a x h 2 k 写出顶点 h k 写出顶点 h k 关于x轴的点的坐标 h k 则关于x轴对称的抛物线解析式是y a x h 2 k 关于x轴对称 关于y轴对称 将原抛物线写成顶点式y a x h 2 k 写出顶点 h k 写出顶点 h k 关于y轴的点的坐标 h k 则关于x轴对称的抛物线解析式是y a x h 2 k 练习 1 抛物线y x2向上平移2个单位 再向右平移3个单位可得到抛物线 已知抛物线y x2 2x m 2 若抛物线与y轴交于正半轴 则m 0 填 或 1 若抛物线经过坐标系原点 则m 0 填 或 4 若抛物线与x轴有两个交点 则m 3 若抛物线与x轴有一个交点 则m 1 1 练习 3 抛物线的图像如下 则满足条件a 0 b 0 c 0的是 A D C B D 4 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象如图所示 给出以下结论 abc 0 b2 4ac0 其中所有正确结论的序号是 A B C D a0 c 0 练习 A 练习 5 二次函数y ax2 bx c的图象如图所示 求此函数解析式 6 3 2 2 1 方法一 一般式 方法二 顶点式 方法三 交点式 2 知识拓展 一般式 解 依题意把点 2 0 6 0 0 3 可得 4a 2b c 0c 336a 6b c 0解得 a b 1c 3所以二次函数的解析式为 顶点式 解 因为二次函数的对称轴为x 2 所以可设函数的解析式为 y a x 2 2 k 把点 2 0 0 3 代入可得 16a k 04a k 3解得a k 4所以二次函数的解析式为 交点式 解 因为抛物线与x轴相交的两个点的坐标为 2 0 6 0 可设该函数的解析式为 y a x 6 x 2 把点 0 3 代入得 3 12a解得 a 所以二次函数的解析式为 拓展 若抛物线y1 a1x2 b1x c1与以上抛物线关于x轴对称 试求y1 a1x2 b1x c1的解析式 6 二次函数y ax2 bx c的图象如图所示 求此函数解析式 练习 中考链接 1 北京 如果b 0 c 0 那么二次函数 的图象大致是 A B C D D 中考链接 2 如图 抛物线的顶点P的坐标是 1 3 则此抛物线对应的二次函数有 A 最大值1 B 最小值 3 C 最大值 3 D 最小值1 B 中考链接 3 已知抛物线的部分图象如图 则抛物线的对称轴为直线x 满足y 0的x的取值范围是 将抛物线向平移个单位 则得到抛物线 3 1 X 5 下 1 中考链接 4 根据图1中的抛物线 当x时 y随x的增大而增大 当x时 y随x的增大而减小 当x时 y有最大值 2 2 2 5 如图 半圆A和半圆B均与y轴相切于点O 其直径CD EF均和x轴垂直 以O为顶点的两条抛物线分别经过点C E和点D F 则图中阴影部分的面积是 中考链接 中考链接 6 张大伯准备用40m长的木栏围一个矩形的羊圈 为了节约材料同时要使矩形的面积最大 他利用了自家房屋一面长25m的墙 设计了如图一个矩形的羊圈 请你求出张大伯矩形羊圈的面积 请你判断他的设计方案是否合理 如果合理 直接答合理 如果不合理又该如何设计 并说明理由 练习 7 如图 隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD组成 矩形的长BC为8米 宽AB为2米 以BC所在的直线为x轴 以BC的中垂线为y轴 建立直角坐标系 y轴是抛物线的对称轴 顶点E到坐标原点的距离为6米 1 求抛物线的解析式 2 现有一货车卡高4 2米 宽2 4米 这辆车能否通过该隧道 请说明理由 3 若该隧道内设双行道 该辆车还能通过隧道吗 请说明理由 GO GO 2 现有一货车卡高4 2米 宽2 4米 这辆车能否通过该隧道 请说明理由 解 把x 1 2代入中 解得y 5 64 4 2 5 64 这辆车能通过该隧道 3 若该隧道内设双行道 现有一货车卡高4 2米 宽2 4米 这辆车能否通过该隧道 请说明理由 解 把x 2 4代入中 解得y 4 56 4 2 4 56 这辆车能通过该隧道 15 如图 已知抛物线y ax bx 3 a 0 与x轴交于点A 1 0 和点B 3 0 与y轴交于点C 1 求抛物线的解析式 2 在 1 中抛物线的对称轴上是否存在点Q 使得 QAC的周长最小 若存在 求出Q点的坐标 若不存在 请说明理由 3 设抛物线的对称轴与x轴交于点M 问在对称轴上是否存在点P 使 CMP为等腰三角形 若存在 请直接写出所有符合条件的点P的坐标 若不存在 请说明理由 4 如图 若点E为第二象限抛物线上一动点 连接BE CE 求四边形BOCE面积的最大值 并求此时E点的坐标 15 如图 已知抛物线y ax bx 3 a 0 与x轴交于点A 1 0 和点B 3 0 与y轴交于点C 1 求抛物线的解析式 2 在 1 中抛物线的对称轴上是否存在点Q 使得 QAC的周长最小 若存在 求出Q点的坐标 若不存在 请说明理由 Q 1 0 3 0 0 3 y x 2x 3 Q 1 2 3 设抛物线的对称轴与x轴交于点M 问在对称轴上是否存在点P 使 CMP为等腰三角形 若存在 请直接写出所有符合条件的点P的坐标 若不存在 请说明理由 以M为圆心 MC为半径画弧 与对称轴有两交点 以C为圆心 MC为半径画弧 与对称轴有一个交点 MC为腰 作MC的垂直平分线与对称轴有一个交点 MC为底边 1 0 3 0 0 3 1 0 4 如图 若点E为第二象限抛物线上一动点 连接BE CE 求四边形BOCE面积的最大值 并求此时E点的坐标 E F 1 0 0