第5章高斯-克吕格投影.ppt

第五章高斯 克吕格投影 Gauss Kr gerProjection 主讲人 高斯 克吕格投影的基本原理和公式通用横轴墨卡托 UTM 投影 5 1高斯 克吕格投影的基本原理和公式 名称由来 德国数学家 物理学家 天文学家高斯于19世纪20年代拟定 后经德国大地测量学家克吕格于1912年对投影公式加以补充 故称为高斯 克吕格投影 投影性质 等角横切椭圆柱投影 概念 假想用一个椭圆柱套在地球椭球体外面 并与某一子午线相切 椭圆柱的中心轴位于椭球的赤道面上 再按高斯 克吕格投影所规定的条件 将中央经线东 西各一定的经差范围内的经纬线交点投影到椭圆柱面上 并将此椭圆柱面展为平面 即得本投影 图5 1高斯 克吕格投影示意图 投影条件 1 中央经线和赤道投影后为互相垂直的直线 且为投影的对称轴 2 投影具有等角性质 3 中央经线投影后保持长度不变 高斯 克吕格投影的基本公式 5 1 根据第一个条件 投影函数具有对称性 即在数学上具有奇偶性 根据上述条件 将投影函数展开为 的幂级数 5 3 5 2 其中a0 a1 a2 a3 是待定系数 分别是纬度 的函数 根据第二个条件 必须满足下列等角条件 等角投影条件为 即 将E G的偏导数形式代入 得 由经纬线投影后仍保持正交得F 0 即 经变换后 可以得 代入前式 有 化简得 同理可得 考虑到H EG F2 x y y x 是一个面积元素 恒为正 在上面两式的开方中 只有当第一个式子取负号 第二个式子取正号时 才恒成立 所以等角条件还可以表示为 前面 5 3 式 5 4 中的偏导数分别为 将这些偏导数代入等角条件 则有 5 5 要使上式成立 须有 5 6 若概括为一般形式 则有 其中 k 0 1 2 因此 高斯 克吕格投影公式的最后确定 在于求出各系数ai i 0 1 2 n 的形式 根据第三个条件 中央经线保持长度不变 有 有了a0之后 其他系数可以逐个求出 分别如下 高斯 克吕格投影的直角坐标公式 将以上求得的各个系数ai i 0 1 2 n 代入前面的方程 加以整理 有 球面高斯 克吕格投影的直角坐标公式 将球体半径R代入前面的椭球面高斯 克吕格投影的直角坐标方程 有 经纬线形状 本投影通常是按一定的经差分带投影 每带的经差一般不大 6 或3 图5 2高斯 克吕格投影全球经纬格网 当 0时 x 0 y随 的变化而变化 即赤道投影为直线且为y轴 当 0时 y 0 即中央经线投影也是直线 且为x轴 由x s知 其长度与实地相等 两轴的交点即为坐标原点 当 为常数时 增加 x增大 y减小 经线是凹向中央经线的曲线 收敛于两极 当 为常数时 增加 x增大 y增大 纬线是凸向赤道的曲线 长度比公式 将 5 4 式求得的偏导数 代入长度比公式 并加以整理 有 将上式开方 并按以下公式展开 长度变形特征 当 0时 1 证明了本投影的第一个条件 即中央经线投影后无长度变形 在同一条纬线上 长度变形随经差 的增大而增大 在同一条经线上 长度变形随纬度的减小而增大 在赤道上长度变形为最大 在上式中 和cos 都是偶次方且各项均为正号 故长度变形恒为正 除中央经线外 其他任何线段都变大了 由于cos 为小于1的值 其2次方和4次方更小 所以长度变形的大小 主要取决于 子午线收敛角 x轴的正向与过已知点所引经线切线间的夹角 由于对 取导数比较复杂 参见公式5 4 以下利用等角条件加以变换 得 或利用下式 将x y对 的偏导数代入 仅限于三次项 则有 按1 1 x 展开 1 x x2 x3 x4 x5 将a1 a2 值代入上式 有 因为 角甚小 按反正切函数的级数展开 5 9 最后整理得 在同一条经线 中央经线除外 上 纬度愈高 角愈大 在赤道上 0 随经差和纬度的增加而增大 在同一条纬线上 愈大 角愈大 在中央经线上 0 上式为奇函数 所以 角有正有负 其符号与同带经差 的符号相一致 子午线收敛角 的变化规律 投影带的划分 1 2 5万 1 50万地形图采用经差6 分带 1 1万比例尺地形图采用经差3 分带 图5 4高斯 克吕格投影分带的两种划分方法 6 分带从0 子午线起 由西向东每6 为一带 将全球划分为60带 带号用1 2 3 60表示 凡是6 的整倍数的经线即为分界子午线 6 分带 3 东半球各投影带中央经线的位置 可用下式计算 式中n为投影带带号 L0 6n 3 西半球各投影带中央经线的位置 可用下式计算 式中n为投影带带号 L0 6n 3 360 它是在6 分带的基础上划分的 从1 30 开始 由西向东每3 为一带 全球划分120带 这样 凡是6 带的分界子午线和中央经线都是3 带的中央经线 3 分带 1 5 确定了投影带后 便可以任一带的中央经线的投影为x轴 赤道的投影为y轴 两轴的交点为坐标原点 这样 x坐标在赤道以北为正 以南为负 y坐标在中央经线以东为正 以西为负 高斯 克吕格投影坐标规定 我国位于北半球 x坐标都是正的 而y坐标有正有负 为避免使用上的不便 规定将每带的坐标纵轴向西平移500公里 各带投影完全相同 因此一带内的某一点 在60 或120 个带中都有对应点 为加以区别 在y值加上500公里的基础上 在百公里位数之前加上带号 假设在同一带内 在同一条纬线上有经差绝对值相等的两点A B 则xA xB 而y值的数字相等 符号相反 设yA 245863 7m 则yB 245863 7m 按照移轴规定 加上500km后 则 yA 245863 7m 500000m 745863 7myB 245863 7m 500000m 254136 3m 由于这种分带法 各带投影完全相同 坐标成果各带可以通用 因此一带内的某一点 在60带中都有对应点 为了加以区别 规定在y值上加500公里 在百公里位数之前加上带号 假设上述A B两点是在18带 那么其通用坐标为 yA通 18745863 7myB通 18254136 3m 高斯 克吕格投影的优点 等角性质 许多国家用以测制地形图 适用于多种比例尺 便于编制成套比例尺的地形图 我国1 50万及其以上更大比例尺的地形图 都采用这一投影 由于投影带经差不大 经纬网同直角坐标网的偏差较小 阅读和使用较方便 坐标和子午线收敛角数值 只要计算一带 其他带都可以通用 可以大大减少计算工作量 5 2通用横轴墨卡托 UTM 投影 高斯 克吕格投影又称为横墨卡托投影 TransverseMercatorProjection 简称TM投影 是等角横切椭圆柱投影 通用横轴墨卡托投影 UniversalTransverseMercatorProjection 简称UTM投影 是横轴等角割椭圆柱投影 UTM投影和高斯 克吕格投影之间没有实质性的差别 UTM投影条件 投影具有等角性质 中央经线投影为直线 且中央经线上长度比为0 9996 UTM的应用 美国编制世界各地军用地图和地球资源卫星象片 如果将高斯 克吕格投影的坐标公式 5 7 乘以0 9996 则变成UTM投影的坐标x y 通用横墨卡托投影 UTM 的坐标 UTM与高斯 克吕格投影的不同点 带的划分相同 而带号的起算不同 高斯 克吕格投影的分带从0 起向东每6 为一带 UTM投影的分带从180 起向东每6 为一带 高斯 克吕格投影的第一带 0 6 E 是UTM投影的第31带 UTM的第一带 180 174 W 是高斯 克吕格投影的第31带 UTM投影每带的南北极投影范围限制在北纬84 至南纬80 之间 这样在UTM投影中可以使6 带的中央经线与带的边缘经线的长度变形的绝对值大致相等 因此 在中央经线与边缘经线之间 可以求得两条无长度变形线 其位置距中央经线东西各180公里 相当于经差1 40 根本的差别是中央经线长度比的不同 高斯 克吕格投影每带中央经线的投影长度比等于1 UTM投影每带中央经线的投影长度比为0 9996 m 高斯 克吕格投影 左 与UTM投影 右 长度比的比较 TransverseMercatorprojectionforeachof60differentzones each6degreesoflongitudewideessentially60differentprojectionsEachzoneisaMercatorprojection cylindrical withthelineofcontact calledthecentralmeridian alignedalongalineoflongitudeTwooriginsareestablishedforeachzoneBothare500kmwestofthecentralmeridianOneforthenorthern equator andsouthern 10millionmsouthofequator hemispheresDistanceunitsaremeters 上机实习作业 3 绘制高斯 克吕格投影全球6 分带示意图 0 1 计算 30 N 114 30 E点的高斯 克吕格投影通用坐标 x 3322805 2m y 20258741 7m 2 计算 2 N 2