高考数学大一轮复习第七章不等式7.2一元二次不等式及其解法课件.ppt

7 2一元二次不等式及其解法 第七章不等式 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 三个二次 的关系 知识梳理 x xx2 x x R x x1 x x2 2 常用结论 x a x b 0或 x a x b 0型不等式的解法 x xb x x a x a x b x b x a x xa 口诀 大于取两边 小于取中间 以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式 知识拓展 1 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 若不等式ax2 bx c0 2 若不等式ax2 bx c 0的解集是 x1 x2 则方程ax2 bx c 0的两个根是x1和x2 3 若方程ax2 bx c 0 a 0 没有实数根 则不等式ax2 bx c 0的解集为R 4 不等式ax2 bx c 0在R上恒成立的条件是a 0且 b2 4ac 0 5 若二次函数y ax2 bx c的图象开口向下 则不等式ax2 bx c 0的解集一定不是空集 题组一思考辨析 基础自测 1 2 4 5 6 3 A 2 4 B 1 3 C 2 1 D 1 3 题组二教材改编 1 2 4 5 6 解析 3 解析因为A x 2 x 3 B x x 1或x 4 故 UB x 1 x 4 所以A UB x 1 x 3 故选D 答案 1 2 4 5 6 答案 3 P80A组T2 y log2 3x2 2x 2 的定义域是 3 解析 解析由题意 得3x2 2x 2 0 题组三易错自纠4 不等式 x2 3x 4 0的解集为 用区间表示 解析 1 2 4 5 6 3 解析由 x2 3x 4 0可知 x 4 x 1 0 得 4 x 1 答案 4 1 1 2 4 5 6 3 a b 14 解析 答案 14 6 已知关于x的不等式 a2 4 x2 a 2 x 1 0的解集为空集 则实数a的取值范围为 解析 1 2 4 5 6 答案 3 解析当a2 4 0时 a 2 若a 2 不等式可化为 1 0 显然无解 满足题意 若a 2 不等式的解集不是空集 所以不满足题意 题型分类深度剖析 命题点1不含参的不等式典例求不等式 2x2 x 3 0的解集 题型一一元二次不等式的求解 多维探究 解答 解化 2x2 x 30 命题点2含参不等式典例解关于x的不等式ax2 2 2x ax a R 解答 解原不等式可化为ax2 a 2 x 2 0 当a 0时 原不等式化为x 1 0 解得x 1 当a 2时 不等式的解集为 1 综上所述 当a 0时 不等式的解集为 x x 1 含有参数的不等式的求解 往往需要对参数进行分类讨论 1 若二次项系数为常数 首先确定二次项系数是否为正数 再考虑分解因式 对参数进行分类讨论 若不易分解因式 则可依据判别式符号进行分类讨论 2 若二次项系数为参数 则应先考虑二次项系数是否为零 确定不等式是不是二次不等式 然后再讨论二次项系数不为零的情形 以便确定解集的形式 3 对方程的根进行讨论 比较大小 以便写出解集 跟踪训练解下列不等式 1 0 x2 x 2 4 解答 借助于数轴 如图所示 原不等式的解集为 x 2 x 1或2 x 3 2 12x2 ax a2 a R 解答 解 12x2 ax a2 12x2 ax a2 0 即 4x a 3x a 0 令 4x a 3x a 0 当a 0时 x2 0 解集为 x x R且x 0 当a 0时 不等式的解集为 x x R且x 0 命题点1在R上的恒成立问题典例 1 若一元二次不等式2kx2 kx 0对一切实数x都成立 则k的取值范围为A 3 0 B 3 0 C 3 0 D 3 0 解析 题型二一元二次不等式恒成立问题 多维探究 答案 2 设a为常数 对于 x R ax2 ax 1 0 则a的取值范围是A 0 4 B 0 4 C 0 D 4 解析 解析对于 x R ax2 ax 1 0 答案 命题点2在给定区间上的恒成立问题典例设函数f x mx2 mx 1 若对于x 1 3 f x m 5恒成立 求m的取值范围 解答 解要使f x m 5在x 1 3 上恒成立 当m 0时 g x 在 1 3 上是增函数 所以g x max g 3 即7m 6 0 有以下两种方法 当m 0时 6 0恒成立 当m 0时 g x 在 1 3 上是减函数 所以g x max g 1 即m 6 0 所以m 6 所以m 0 解得x3 故当x的取值范围为 1 3 时 对任意的m 1 1 函数f x 的值恒大于零 命题点3给定参数范围的恒成立问题典例对任意m 1 1 函数f x x2 m 4 x 4 2m的值恒大于零 求x的取值范围 解答 解由f x x2 m 4 x 4 2m x 2 m x2 4x 4 令g m x 2 m x2 4x 4 由题意 知在 1 1 上 g m 的值恒大于零 1 对于一元二次不等式恒成立问题 恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方 恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方 另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值 2 解决恒成立问题一定要搞清谁是主元 谁是参数 一般地 知道谁的范围 谁就是主元 求谁的范围 谁就是参数 跟踪训练函数f x x2 ax 3 1 当x R时 f x a恒成立 求实数a的取值范围 解答 解 当x R时 x2 ax 3 a 0恒成立 需 a2 4 3 a 0 即a2 4a 12 0 实数a的取值范围是 6 2 2 当x 2 2 时 f x a恒成立 求实数a的取值范围 解答 解当x 2 2 时 设g x x2 ax 3 a 0 分如下三种情况讨论 如图所示 如图 当g x 的图象恒在x轴上方且满足条件时 有 a2 4 3 a 0 即 6 a 2 如图 g x 的图象与x轴有交点 解得a 如图 g x 的图象与x轴有交点 但当x 2 时 g x 0 7 a 6 综上 实数a的取值范围是 7 2 3 当a 4 6 时 f x 0恒成立 求实数x的取值范围 解答 解令h a xa x2 3 当a 4 6 时 h a 0恒成立 题型三一元二次不等式的应用 师生共研 典例甲厂以x千克 小时的速度匀速生产某种产品 生产条件要求1 x 10 每小时可获得的利润是100 元 1 要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元 求x的取值范围 解答 又1 x 10 可解得3 x 10 即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元 x的取值范围是 3 10 2 要使生产900千克该产品获得的利润最大 问 甲厂应该选取何种生产速度 并求最大利润 解答 解设利润为y元 则 故当x 6时 ymax 457500元 即甲厂以6千克 小时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大 最大利润为457500元 求解不等式应用题的四个步骤 1 阅读理解 认真审题 把握问题中的关键量 找准不等关系 2 引进数学符号 将文字信息转化为符号语言 用不等式表示不等关系 建立相应的数学模型 3 解不等式 得出数学结论 要注意数学模型中自变量的实际意义 4 回归实际问题 将数学结论还原为实际问题的结果 跟踪训练某商品每件成本价为80元 售价为100元 每天售出100件 若售价降低x成 1成 10 售出商品数量就增加x成 要求售价不能低于成本价 1 设该商店一天的营业额为y 试求y与x之间的函数关系式y f x 并写出定义域 解答 所以y f x 40 10 x 25 4x 定义域为x 0 2 2 若再要求该商品一天营业额至少为10260元 求x的取值范围 解答 解由题意得40 10 x 25 4x 10260 典例 1 已知函数f x x2 ax b a b R 的值域为 0 若关于x的不等式f x c的解集为 m m 6 则实数c的值为 转化与化归思想在不等式中的应用 思想方法 思想方法指导函数的值域和不等式的解集转化为a b满足的条件 不等式恒成立可以分离常数 转化为函数值域问题 9 答案 思想方法指导 解析 a a 3 即x2 2x a 0恒成立 即当x 1时 a x2 2x 恒成立 令g x x2 2x 则g x x2 2x x 1 2 1在 1 上单调递减 g x max g 1 3 故a 3 实数a的取值范围是 a a 3 课时作业 1 不等式 x 1 2 x 0的解集为A x 1 x 2 B x x 1或x 2 C x 12 基础保分练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析由 x 1 2 x 0可知 x 2 x 1 0 所以不等式的解集为 x 1 x 2 解析 答案 2 2018 河北省三市联考 若集合A x 3 2x x2 0 集合B x 2x 2 则A B等于A 1 3 B 1 C 1 1 D 3 1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析依题意 可求得A 1 3 B 1 A B 1 1 解析 A 1 1 B 2 2 C 2 1 D 1 2 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析方法一当x 0时 x 2 x2 1 x 0 当x 0时 x 2 x2 0 x 1 由 得原不等式的解集为 x 1 x 1 方法二作出函数y f x 和函数y x2的图象 如图所示 由图知f x x2的解集为 1 1 解析 4 若集合A x ax2 ax 1 0 则实数a的取值范围是A a 0 a 4 B a 0 a 4 C a 0 a 4 D a 0 a 4 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析由题意知 当a 0时 满足条件 得0 a 4 所以0 a 4 5 某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售 每天可销售100件 现准备采用提高售价来增加利润 已知这种商品每件售价提高1元 销售量就会减少10件 那么要保证每天所赚的利润在320元以上 售价每件应定为A 12元B 16元C 12元到16元之间D 10元到14元之间 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析设售价定为每件x元 利润为y 则y x 8 100 10 x 10 依题意有 x 8 100 10 x 10 320 即x2 28x 192 0 解得12 x 16 所以每件售价应定为12元到16元之间 6 若不等式x2 a 1 x a 0的解集是 4 3 的子集 则a的取值范围是A 4 1 B 4 3 C 1 3 D 1 3 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析原不等式为 x a x 1 0 当a1时 不等式的解集为 1 a 此时只要a 3即可 即1 a 3 综上可得 4 a 3 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 若不等式 2 x2 2ax a 1有唯一解 则a的值为 解析若不等式 2 x2 2ax a 1有唯一解 则x2 2ax a 1有两个相等的实根 所以 4a2 4 a 1 0 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 答案 9 2018 济南模拟 若不等式mx2 2mx 4 2x2 4x对任意x都成立 则实数m的取值范围是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 2 2 解析 解析原不等式等价于 m 2 x2 2 m 2 x 4 0 当m 2 0 即m 2时 对任意x 不等式都成立 当m 2 0 即m 2时 4 m 2 2 16 m 2 0 解得 2 m 2 综合 得m 2 2 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 x ln2 x ln3 解得 ln2 x ln3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解答 解由题意知 F x f x x a x m x n 当m 1 n 2时 不等式F x 0 即a x 1 x 2 0 当a 0时 不等式F x 0的解集为 x x2 当a0的解集为 x 1 x 2 11 设二次函数f x ax2 bx c 函数F x f x x的两个零点为m n m0的解集 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解答 解f x m F x x m a x m x n x m x m ax an 1 2 若a 0 且0 x m n 比较f x 与m的大小 x m0 f x m 0 即f x m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解因为 a b x 2a 3b 0 所以 a b x 3b 2a 解得a 3b0 等价于bx2 4b 2 x 3b 2 0 13 若关于x的不等式x2 ax 2 0在区间 1 5 上有解 则实数a的取值范围是 技能提升练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析方法一 x2 ax 2 0在x 1 5 上有解 令f x x2 ax 2 f 0 2 0 f x 的图象开口向上 方法二由x2 ax 2 0在x 1 5 上有解 14 不等式a2 8b2 b a b 对于任意的a b R恒成立 则实数 的取值范围为 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9