2019—2020学年度河北名优校联考-理科数学（附答案）

1 2019 20202019 2020 学年度河北名优校联考学年度河北名优校联考 数学 理科 参考答案及评分标准 一 选择题一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 1 C解析 由 x2 2x 3 变形 得 x 1 x 3 0 解得 x 3 或 x 1 A x x 3 或 x 1 又 B x 0 x 4 A B 3 4 2 A解析 由题意可得 03 01 m m 解得 1 m 3 又 m Z m 2 z 1 i 5 5 5 1 1 1 1 1 zz 3 D解析 设扇形的圆心角为 大扇形的半径长为 R 小扇形的半径长为 r 则 S大扇形 2 2 R S小扇形 2 2 r R 2r 所以根据几何概型 可得此点取自扇面 扇环 部分的概率为 4 3 4 3 2 22 2 2 2 22 2 22 r r R rR R rR P 4 A解析 22211 3 1 3 1 001log3log 1 3 102 0 2 1 2 1 cba a b c 5 D 解析 设向量 a b 的夹角为 a b a b 0 a2 b2 0 a b a b 3 a b a2 2 a b cos b2 9a2 18 a b cos 9b2 解得 cos 5 4 6 D解析 sin cos ln xf xx xx xf f x 为奇函数 排除 A 又 f 1 f 1 0 0 22 ff 排除 B 又 0 3 f 0 f 排除 C 故只有 D 选项符合 7 C解析 二项式 2 x 5展开式的通项公式是 rrr r xT 5 51 2C 令3 r 33353 513 402xxT C x3的系数的 3 倍为 120 即程序运行的结果 S 为 120 模拟程序的运行 可得 k 6 S 1 不满足条件 执行循环体 S 6 k 5 不满足条件 执行循环体 S 30 k 4 不满足条 件 执行循环体 S 120 k 3 满足条件 退出循环 此时 S 的值为 120 则判断框中应填 入的关于 k 的判断条件是 k 4 8 C 解析 这 50名学生中 恰有 3名女生的课余使用手机总时间在 10 12 课余使用手机总时 间在 10 12 的学生共有 50 0 08 2 8 名 从课余使用手机总时间在 10 12 的学生中随机抽 取 3人 基本事件总数 n 3 8 C 56 至少抽到 2名女生包含的基本事件个数 m 3 3 C 2 3 C 1 5 C 16 则至少抽到 1 名女生的概率为 p n m 56 16 7 2 9 D 解析 an 是等差数列 Sn为其前n项和 设公差为d 则 2 1 1 d na n Sn 易知数列 n Sn 是以 a1为首项 2 d 为公差的等差数列 则 202020 202020 SS a1 2020 1 2 d 2 120 1 d a 1000d 2000 解得d 2 又 S2020 2020 1 2020 2020 2020 2020 S 2 2 12020 1 a a1 2018 10 D解析 如图 设 OE 的中点为 G FM m 2 PF x 轴 MF OE OA AF OE FM 即 a ca OE m ca ma OE 2 2 1 ca ma OEOG 又 OG FM BF OB FM OG 即 ca a m ca ma 2 a 3c 则 3 1 a c e 11 D解析 过点 S 作 SE 平面 ABC 于点 E 记球心为 O 在正三棱锥 S ABC 中 底面边长为 6 侧棱长为34 326 2 3 3 2 BE 6 22 BESBSE 球心 O到四个顶点的距离相等 均等于该正三棱锥外接球的半径 长 R OB R OE 6 R 在 Rt BOE 中 OB2 BE2 OE2 即 R2 12 6 R 2 解得 R 4 该正三棱锥外接球的体积 V 3 4 R3 3 256 12 B解析 对任意的 x R 有 f x 2 f x 0 对任意的 x R f x 2 f x f x 是周期 为 2 的函数 f 1 f 1 2 f 1 又 当 x 1 1 时 f x x f 1 f 1 1 函数 f x 不是奇函数 故 错误 正确 当 x 1 1 时 f x x f 0 0 又 f x 是周期为 2 的函数 函数 f x 的全部零点为 x 2k k Z 故 正确 当 x 1 1 时 f x x 令 x xgxf 1 解得 x 1 舍 或 x 1 当 x 1 3 时 2 xfxf x 2 令 xgxf 则 x x 1 2 解得 x 1 2或 x 1 2 舍 当 x 3 1 时 2 2 xxfxf 令 xgxf 则 x x 1 2 解得 x 1 2或 x 1 2 舍 共有 3个公共点 故 错误 因此真命题的个数为 2个 二 填空题二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 10解析 根据题意画出可行域 如图所示 由图可知目标函数经过点 A 4 1 时 z 取得最大值 10 14 27 40 解析 由 a1 3a2 1 3 n an n 得当 n 1 时 a1 1 当 n 2 时 a1 3a2 2 3 n an 1 n 1 又 a1 3a2 1 3 n an n 两式相减 得 1 3 1 n n a 当 n 1 时也成立 数 3 列 an 是首项为 1 公比为 3 1 的等比数列 27 40 3 1 1 3 1 1 4 4 S 15 y 13x 16解析 函数f x x3 a 1 x2 ax为奇函数 f 1 f 1 0 1 a 1 a 1 a 1 a 0 解得a 1 f x x3 x 13 2 xxf 设切点为 0 x 0 y 则 0 xf 13 2 0 x 设切线方程为 y 0 y 00 xxxf 0 3 00 xxy 0 3 0 xxy 13 0 2 0 xxx 该直线过点 0 16 0 13 16 0 2 00 3 0 xxxx 解得 2 0 x 10 0 y13 0 xf 所求直线方程为 2 1310 xy 即y 13x 16 16 1 5 2 2 y x 解析 由双曲线的方程 C 1 5 2 22 b yx b 0 知 a 5 不妨设圆 A与双曲线 的一条渐近线 x b y 5 交于 M N 两点 过点 A 作 AB 垂直于该渐进线于点 B 连 接 AN 如图 点A 5 0 到渐近线bx 5y 0的距离 c b ab ab AB 5 22 AN r b BN c b c ba bABAN 2 2 22 222 NBONONOM2 2 3 NBON4 NBOB5 OB 5BN c b25 在 Rt ABO 中 OA 5 AB c b5 OB c b25 OB2 AB2 OA2 即5 525 2 2 2 4 c b c b 25b4 5b2 5c2 25b4 5c2 5b2 5 c2 b2 5a2 25 b2 1 双曲线 C的标准方程为1 5 2 2 y x 三 解答题三 解答题 共 70 分 17 解 1 在 ABC 中 3 cos sin Ab Ba 由正弦定理 得 sin Asin B 3sin Bcos A 0 B sin B 0 sin A 3cos A tan A A A cos sin 3 2 分 又 0 A A 3 3 分 在 ABC 中 由余弦定理 得 a2 b2 c2 2bccos A 即 20 4 c2 4c 2 1 4 分 解得 c 171 舍去 c 171 c 171 6 分 2 由 1 知 A 3 S ABC Abcsin 2 1 c 2 3 7 分 4 由正弦定理 得 B b C c sinsin 1 tan 3 sin 3 2 sin2 sin sin BB B B Cb c 8 分 A 3 C为钝角 0 B 6 3 3 tan0 B c 4 10 分 S ABC 32 即 ABC 面积的大小范围是 32 12 分 18 1 证明 如图 1 分别取 AC BC 的中点 P Q 连接 DP EQ PQ PH 1 分 ACD EBC 均是等边三角形 P 是 AC 的中点 Q 是 BC 的中点 DP AC EQ BC 2 分 平面 ACD 平面 ABC 且交于 AC DP 平面 ACD DP 平面 ABC 平面 EBC 平面 ABC 且交于 BC EQ 平面 EBC EQ 平面 ABC DP EQ 3 分 又 EQ 平面 EBC DP 平面 EBC DP 平面 EBC PH 是 ABC 的中位线 PH BC 4 分 又 BC 平面 EBC PH 平面 EBC PH 平面 EBC 5 分 DP 平面 EBC PH 平面 EBC DP PH P 平面 EBC 平面 DPH DH 平面 EBC 6 分 图 1 图 2 2 解 以点 P 为原点 射线 PA为 x 轴正方向 射线 PB 为 y 轴正方向 射线 PD 为 z 轴正方 向 建立如图 2 所示的空间直角坐标系 则 P 0 0 0 A 1 0 0 C 1 0 0 3 2 3 2 1 E 7 分 002 AC 3 2 3 2 3 AE 8 分 EQ 平面 ABC 平面 ABC 的法向量可取 n 0 0 1 9 分 设平面 EAC 的法向量 m x y z 则 03 2 3 2 3 02 zyx x zy x 2 0 可取 m 0 2 1 10 分 设二面角 E AC B 的平面角为 据判断其为锐角 cos nm nm 51 1 5 5 11 分 sin 5 52 即二面角 E AC B 的正弦值为 5 52 12 分 19 解 1 设每个人的血呈阴性反应的概率为 q 则 q 1 p 1 分 所以 k 个人的血混合后呈阴性反应的概率为 qk 呈阳性反应的概率为 1 qk 5 依题意可知 k X 1 1 k 1 所以 X 的分布列为 X k 1 1 k 1 Pqk1 qk 5 分 2 方案二中 结合 1 知每个人的平均化验次数为 E X kk q k q k 1 1 1 1 1 1 k q k 6 分 所以当 k 2 时 E X 19 0 2 1 2 0 69 此时 669人需要化验的总次数为 462次 7 分 当 k 3 时 E X 19 0 3 1 3 0 6043 此时 669人需要化验的总次数为 404次 8 分 当 k 4 时 E X 19 0 4 1 4 0 5939 此时 669人需要化验的总次数为 397次 9 分 即 k 2 时化验次数最多 k 3 时次数居中 k 4 时化验次数最少 10 分 而采用方案一则需化验 669次 11分 故在这三种分组情况下 相比方案一 当k 4时化验次数最多可以平均减少669 397 272 次 12分 20 解 1 由抛物线的定义 得 2 5 2 2 p MF p 1 该抛物线的方程为 y2 2x 3 分 2 由 1 可知 点 M 的坐标为 2 2 4 分 当直线 l 斜率不存在时 设 A a y1 B a y2 且 y1 y2 0 则2 2 4 2 4 2 2 2 2 2121 21 aa yy a y a y kk a 0 y1 y2 0 此时 A B两点重合 舍去 5 分 当直线 l 斜率存在时 设直线 l 的方程为 y kx b 设 A x1 y1 B x2 y2 联立直线 l 与抛物线的方程 得 xy bkxy 2 2 整理 得 k2x2 2kb 2 x b2 0 6 分 2 21 22 k kb xx 2 2 21 k b xx 7 分 又 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 21 x bkx x bkx x y x y kk 8 分 整理 得 2k 2 x1x2 2k b 2 x1 x2 4b 0 2k 2 2 2 k b 2k b 2 2 22 k kb 4b 0 b2 b 2 2k b 1 0 即 b 1 b 2 2k 0 解得 b 1 或 b 2 2k 10 分 当 b 1 时 直线 l 为 y kx 1 此时直线 l 恒过定点 0 1 当b 2 2k时 直线l为y kx 2k 2 k x 2 2 此时直线l恒过定点 2 2 与点M重合 舍去 直线 l 恒过定点 0 1 12 分 21 解 1 由 f x ln x aex 1 知 0 x 1 分 当 a 1 时 f x ln x ex 1 xf x 1 ex 显然 xf 在 0 上单调递减 2 分 6 又e 2 2 1 f 0 e 11 f 0 xf 在 1 2 1 上存在零点x0 且是唯一零点 当 0 0 xx 时 xf 0 当 0 xx时 xf 0 3分 x0是 f x ln x ex 1 的极大值点 且是唯一极值点 4 分 2 令 f x ln x aex 1 0 则 x x a e 1ln 5 分 令 y a x x xg e 1ln 则 y a 和 x x xg e 1ln 的图象在 0 上有 2 个交点 0 1ln 1 x x x xg x e 6 分 令1ln 1 x x xh 则 xx x h 11 2 0 7 分 所以 h x 在 0 上单调递减 而 h 1 0 8 分 故当 10 x时 h x 0 即 xg 0 g x 单调递增 当 1x时 h x 0 即 xg 0 g x 单调递减 9 分 故 e 1 1 max gxg 10 分 又0 1 e g 当 x 1 时 g x 0 结合图象 可知若 y a和 x x xg e 1ln 的图象在 0 上有 2个交点 只需 e 1 0 a 所以 a 的取值范围为 e 1 0 12 分 22 解 1 将参数方程 sin3 cos2 y x 为参数 消去参数 得1 34 22 yx 椭圆的标准方程为1 34 22 yx 1 分 椭圆的右焦点为 F 1 0 2 分 由 22 4 cos 得 4sincos 3 分 直线 l 的直角坐标方程为 x y