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文档简介

第三节唯一决定分式线性映射的条件 一 分式线性映射的确定 二 分式线性映射对圆域的映射 三 典型例题 四 小结与思考 2 一 分式线性映射的确定 含有三个独立的常数 定理 只需给定三个条件就能决定一个分式线性映射 3 证 4 所以三对对应点可唯一确定一个分式线性映射 唯一性 重复上述步骤 仍得到相同形式的结果 证毕 5 二 分式线性映射对圆域的映射 1 问题 圆域内部被映射成什么区域 与一一对应性相矛盾 6 结论 在分式线性映射下 C的内部不是映射成 判别方法 方法1 在分式线性映射下 如果在圆周C内任取 7 方法2 8 若绕向相反 则C 方法2 9 若绕向相反 则C 方法2 10 2 分式线性映射对圆弧边界区域的映射 这二圆周的弧所围成的区域映射成一圆弧与一直线所围成的区域 2 当二圆周上有一点映射成无穷远点时 3 当二圆交点中的一个映射成无穷远点时 这二圆周的弧所围成的区域映成角形区域 1 当二圆周上没有点映射成无穷远点时 这二圆周的弧所围成的区域映射成二圆弧所围成的区域 11 三 典型例题 解 例1 12 所求分式线性映射为 化简得 注意 本题中如果选取其他三对不同点 也能得 出满足要求但不同于本题结果的分式线性映射 可见 把上半平面映射成单位圆的分式线性映射 不唯一 有无穷多个 13 另解 设实轴映射成单位圆周 则所求映射具有下列形式 14 由于z为实数时 上半平面映为单位圆的分式线性映射的一般形式 说明 15 解 依上题结论得 例2 16 从而所求映射为 17 解 例3 18 因此可设所求分式线性映射为 19 故所求分式线性映射为 20 例4 解 依上题结论得 21 所以所求映射为 22 分析 上半平面 单位圆域 单位圆域 例5 23 解如图示 24 于是所求的映射为 25 四 小结与思考 分式线性映射是共形映射的一个重要内容 应熟练掌握并会应用分式线性映射的各种性质寻找一些简单而典型的区域之间的共形映射 掌握上半平面到上半平面 上半平面到单位
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