用三重积分推导抽水做功的计算公式

6 3定积分的物理应用1 抽水作功问题 6 3定积分的物理应用2 作为定积分的物理应用 抽水所做的功一般是用定积分来计算 本课件用三重积分的元素法来推导抽水做功的三重积分计算公式 用三重积分来计算抽水所做的功 有时更方便 最后 举例加以说明 6 3定积分的物理应用3 水面 问题 欲将瓶中的水从瓶口抽出 求抽水所做的功W 6 3定积分的物理应用4 先用定积分来计算功 6 3定积分的物理应用5 如图建立x轴 设瓶高为H 水面高为h 在x 0 x h 的高度取厚度为dx的很薄的一层水 假设已知这层水的横截面面积为A x 0 x h A x 一般根据题意得知 则这层水的体积约为 dv A x dx 体积元素 水面 6 3定积分的物理应用6 这一层水受到的力 重力 抽出这一层水的路程 抽出这一层水功的近似值 功的元素 为水的密度 g为重力加速度 6 3定积分的物理应用7 点评 求解这种问题的关键是分析出瓶高x处的截面面积A x 其余的量都是固定的 抽出全部水的功 1 6 3定积分的物理应用8 下面用三重积分来计算抽水的功 6 3定积分的物理应用9 如图建立坐标系 使瓶底在xOy坐标面上 设瓶中水所占据的空间区域为 在水中 x y z 处取一小块水 体积为dv 体积元素 6 3定积分的物理应用10 这一小块水受到的力 重力 抽出这一小块层水的路程 体积元素到瓶口的距离 抽出这一小块水的功的近似值 功的元素 为水的密度 g为重力加速度 6 3定积分的物理应用11 抽出全部水的功 2 下面来说明公式 2 与公式 1 相等 从以上推导看出 用三重积分建立抽水做功的公式是比较简单的 6 3定积分的物理应用12 假设 如图 则用 先二后一 积分法 其中A z 是D z 的面积 结果同公式 1 6 3定积分的物理应用13 下面来看一个例子 6 3定积分的物理应用14 例 设一锥形贮水池 深15m 口径20m 盛满水 今以唧筒将水吸尽 问要作多少功 同济六版292页 习题6 6 3定积分的物理应用15 作为比较 我们用两种方法来计算抽水所做的功 先用定积分计算 6 3定积分的物理应用16 设一锥形贮水池 深15m 口径20m 盛满水 今以唧筒将水吸尽 问要作多少功 6 3定积分的物理应用17 功的元素 6 3定积分的物理应用18 mu 1000 g 9 8 PI 3 14 A x PI 2 x 3 2 dw x 15 x mu g A x Integrate dw x x 0 15 integrate dw x x 0 15 Maplecheck 6 3定积分的物理应用19 再用三重积分计算 6 3定积分的物理应用20 如图建立坐标系 圆锥面是直线z 3y 2绕z轴旋转而成的 其方程为 在水中 x y z 处取体积元素dv 则功的元素 6 3定积分的物理应用21 抽水的功 转化为柱面坐标计算 注 如果用 先二后一 积分法计算以上三重积分 则相当于前面的定积分计算过程 6 3定积分的物理应用22 Maplecheck mu 1000 g 9 8 PI 3 14 f x y z mu g 15 z Int Int Int f r cos theta r sin theta z r z 3 r 2 15 r 0 10 theta 0 2 PI int int int f r cos theta r sin theta z r z 3 r 2 15 r 0 10 theta 0 2 PI 6 3定积分的物理应用23