人教B版选修22 2.3.1 数学归纳法 课件（26张）2.ppt

2 3数学归纳法 思考 对于数列 已知 求通项公式 猜想 学习目标 1 了解数学归纳的原理 2 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 多米诺骨牌游戏 思考 此游戏中 能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件 1 第一块骨牌倒下 2 任意相邻的两块骨牌 前一块倒下一定导致后一块倒下 递推关系 第k块倒下 相邻的第k 1块也倒下 情境引入 1 第一块骨牌倒下 2 任意相邻的两块骨牌 前一块倒下一定导致后一块倒下 第k块倒下 相邻的第k 1块也倒下 数列 已知猜想 1 时 成立 2 假设时成立 那么时猜想也成立 即 多米诺骨牌 一般地证明一个与正整数 1 归纳奠基 证明当 2 归纳递推 假设当 有关的命题 可按下列步骤进行 取第一个值 时命题成立 时命题成立 时命题也成立 证明当 数学归纳法 证明 1 当 左边 所以等式成立 2 假设当 那么 当 即当 根据 1 和 2 可知等式对任何 时 时等式成立 即 时 等式也成立 都成立 数学归纳法 变式练习1用数学归纳法证明 证明 1 当n 1时 左边 1 右边 1 等式成立 这就是说 当n k 1时 等式也成立 由 1 和 2 可知等式对任何正整数n都成立 2 假设当n k时 等式成立 即 递推基础 递推依据 那么当n k 1时 分析下列各题用数学归纳法证明过程中的错误 变式训练2 纠错 1 2 4 6 8 2n n2 n 1 n n 证明 假设当n k时等式成立 即2 4 6 8 2k k2 k 1 k n 那么 当n k 1时 有2 4 6 8 2k 2 k 1 k2 k 1 2 k 1 k 1 2 k 1 1 因此 对于任何n n 等式都成立 缺乏 递推基础 事实上 我们可以用等差数列求和公式验证原等式是不成立的 这就是说 当n k 1时 命题也成立 没有用上 假设 故此法不是数学归纳法 请修改为数学归纳法 证明 当n 1时 左边 假设n k k n 时原等式成立 即 此时 原等式成立 那么n k 1时 由 知 对一切正整数n 原等式均正确 证明 当n 1时 左边 这才是数学归纳法 假设n k k n 时原等式成立 即 右边 此时 原等式成立 那么n k 1时 这就是说 当n k 1时 命题也成立 由 知 对一切正整数n 原等式均正确 1 试问等式 解 假设当 则当 所以等式对任何 事实上 当 四 深化理解 归纳法给出了如下的证明 请问该同学得到的结论正确吗 成立吗 某同学用数学 时等式成立 即 时 即当 时等式也成立 都成立 时 左边 2 右边 3 左边 右边 等式不 成立 缺少归纳奠基 不属于数学归纳法 是不正确的 四 深化理解 2 判断证明下面等式是否使用了数学归纳法 证明 当 右边 等式成立 假设当 那么当 即当 根据 和 可知等式对一切正整数 左边 右边 没有用上 假设 缺少归纳递推 故此法不是数学归纳法 如何修改 由 时 左边 时等式成立 即 时 时 等式也成立 都成立 到 递推 请学生们自主完成 五 灵活应用 1 已知数列 项和 计算s1 s2 s3 s4 根据计算结果 可以看到 上面表示四个结果的分数中 分子与项数一致 分母可用项数 下面用数学归纳法证明猜想 解析 时 显然成立 2 假设 则 也成立 由 1 和 2 可知 设 为数列前 猜想 表示为 可以猜想 1 当 时 对任何的 都成立 的表达式 并用数学归纳法进行证明 五 灵活应用 2 比较 分析 当 时 时 时 时 时 时 下面用数学归纳法证明猜想 时 显然成立 2 假设 则当 因为 即证 又 所以 故当 由 1 和 2 可知 和 的大小 时 当 当 当 当 当 猜想当 1 当 时 有 时 只需证 成立 时 猜想成立 对任何的 都成立 六 巩固训练 4 设 d 非以上答案 成立时 起始值至少应取为 答案 c 答案 8 答案 1 若 则 为 a b c 2 用数学归纳法证明不等式 3 用数学归纳法证明 时 由 不等式成立 推理 求证 时 左边应增加的 项数是 命题成立 其本质是证明一个递推关系 有了这种向后传递的关系 就能从一个起点不断发展 以至无穷 如果没有它 即使前面验证了命题对许多正整数都成立 也不能保证命题对后面的所有正整数都成立 证明中要注意用假设与凑结论 增强目标意识 七 善思多想 1 数学归纳法的第一步 提示 不一定 要看题目中对 2 为什么可以先假设 的初始值是否一定为1 第一个值 边形的内角和为 大 不一定是从1开始取值 如证明 值也比较 有时 或 整数中的最小值 有时是 是适合命题的正 的要求 时命题也成立就可说明命题成立 当 时命题成立 再证 提示 假设 时命题成立 证明当 时 1 数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法 1 证明当 2 假设 3 由 1 和 2 得出结论 缺一不可 注意完整性 2 数学归纳法的证明过程主要有两个步骤一个结论 取第一个值 即命题允许的最小正整数如 1或2等 时结论正确 时 结论成立 当 时 利用假设证明结论也成立 课堂小结 解析 当n 1时 左边 1 a a1 1 1 a a2 故c正确 答案 c 3 用数学归纳法证明 2n 1 n2 n 2 n n 时 第一步验证为 解析 由n n 可知初始值为1 答案 当n 1时 左边 4 右边 4 不等式成立 解析 由n k到n k 1时 左边增加 k 1 2 k2 答案 k 1 2 k2 九