函数与映射的概念

第二章函数 第1讲 函数与映射的概念 1 函数的概念 1 函数的定义设A B是两个非空的数集 如果按照某种确定的对应关系f 使对于集合A中的 在集合B中都有 的数和它对应 那么这样的对应叫做从A到B的一个函数 通常记为 每一个数x 唯一确定 y f x x A 2 函数的定义域 值域 的集合 f x x A 在函数y f x x A中 x叫做自变量 x的取值范围A叫做y f x 的 与x的值相对应的y值叫做函数值 称为函数y f x 的值域 3 函数的三个要素 即 和 2 映射的概念 定义域 值域 对应关系f 设A B是两个非空集合 如果按照某种对应关系f 对于集合A中的 元素 在集合B中都有 的元素与之对应 那么这样的对应叫做从A到B的映射 通常记为 任意 唯一确定 f A B 定义域 函数值 A A x x 3 C x x 3 B x x 3 D x x 3 2 下列函数中与函数y x相同的是 B 2 2 4 函数y lg 4 x x 3 的定义域是 5 设M x 0 x 2 N y 0 y 3 给出如图2 1 1所示四个图象 其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是 填序号 x x 4且x 3 图2 1 1 考点1有关映射与函数的概念 例1 若f y 3x 1是从集合A 1 2 3 k 到集合B 4 7 a4 a2 3a 的一个映射 则自然数a 自然数k 集合A B 解题思路 处理映射有关问题的关键是理解透概念 解析 f 1 3 1 1 4 f 2 3 2 1 7 f 3 3 3 1 10 f k 3k 1 由映射的定义知 a N 方程组 1 无解 解方程组 2 得a 2或a 5 舍 3k 1 16 3k 15 k 5 A 1 2 3 5 B 4 7 10 16 互动探究 1 已知映射 f A B 其中A B R 对应关系f x y x2 2x 对于实数k B 且在集合A中没有元素与之对应 则k的取值范围是 A k 1C k 1 B k 1D k 1 解析 y x 1 2 1 1 若k B 且在集合A中没有元素与之对应 则k 1 A 考点2 判断两函数是否为同一个函数 例2 试判断以下各组函数是否表示同一函数 解题思路 要判断两个函数是否为同个函数 只需判断其定义域和对应关系是否相同即可 互动探究 2 若一系列函数的解析式相同 值域相同 但定义域不同 则称这些函数为 孪生函数 例如解析式为y 2x2 1 值域为 9 的孪生函数有三个 y 2x2 1 x 2 y 2x2 1 x 2 y 2x2 1 x 2 2 那么函数的解析式为y 2x2 1 值域为 1 5 的孪生函数共有 C A 5个 B 4个 C 3个 D 2个 考点3 求函数的定义域 答案 A 求一些具体函数的定义域 有分母的保证分母不为零 有开偶次方根的要保证被开方数为非负数 有对数函数保证真数大于零 底数大于零且不等于1 在求定义域的过程中 往往需要解不等式 组 很多时候需要利用函数的单调性 A lg 1 x 的定义域是 11 x 4 2011年广东 函数f x A 1 B 1 C 1 1 1 D C 易错 易混 易漏 4 对复合函数的定义域理解不透彻 例题 1 若函数f x 的定义域为 2 3 则f x 1 的定义域为 2 若函数f x 1 的定义域为 2 3 则f x 的定义域为 3 若函数f x 1 的定义域为 2 3 则f x 的定义域为 f 2x 1 的定义域为 4 若函数f x 的值域为 2 3 则f x 1 的值域为 f x 1的值域为 4 f x 1 的图象就是将f x 的图象向右平移1个单位 不改变值域 f x 1的图象就是将f x 的图象向下平移1个单位 所以f x 1 的值域为 2 3 f x 1的值域为 1 2 失误与防范 本题是求关于抽象的复合函数的定义域和值域 加深对函数定义域的理解 弄明白f x 与f u x 定义域之间的区别与联系 其实在这里只要f x 中x取值的范围与f u x 中式子u x 的取值范围一致就行了 注意习题 3 就是习题 1 和习题 2 的综合 函数的概念含有三个要素 当函数的定义域及对应关系确定之后 函数的值域也就随之确定 因此 定义域和对应关系 为函数的两个基本条件 当且仅当两个函数的定义域和对应关系分别相同时 这两个函数才是同一个函数 对于求抽象的复合函数的定义域 主要理解三种情形 已知f x 的定义域为 a b 求f u x 的定义域 只需求不等式a u x b的解集即可 已知f u x 的定义域为 a b 求f x 的定义域 只需求u x 的值域 已知f u x 的定义域为 a b 求f g x 的定义域 必须先利用 的方法求f x 的定义域然后利用 的方法求解 第2讲 函数的表示法 1 函数的三种表示法 图象法 列表法 解析法 1 图象法 就是 表示两个变量之间的关系 2 列表法 就是 来表示两个变量的函数关系 3 解析法 就是把两个变量的函数关系 用 来表示 2 分段函数 列出表格 等式 在自变量的不同变化范围中 对应关系用不同式子来表示的函数称为分段函数 分段函数的对应关系为一整体 用函数图象 A B 5 已知函数f x x2 x 2 则f 1 A 2 2或 2 若f a 2 则实数 考点1求函数值 例1 2011年浙江 设函数f x 41 x a 答案 1 2011年广东 设函数f x x3cosx 1 若f a 11 则f a 解析 f a a3cosa 1 11 即f a a3cosa 10 则f a a 3cos a 1 a3cosa 1 10 1 9 答案 9 互动探究 1 已知a b为常数 若f x x2 4x 3 f ax b x2 10 x 24 则5a b 2 考点2分段函数例2 2011年北京 根据统计 一名工人组装第x件某产品 已知工人组装第4件产品用时30分钟 组装第A件产品用时15 分钟 那么C和A的值分别是 A 75 25 B 75 16 C 60 25 D 60 16 答案 D 若f 1 a f 1 a 则a的值为 答案 D 分段函数的对应关系是借助几个不同的表达式来表示的 处理相关问题时 首先要确定自变量的值属于哪一个区间 从而选定相应关系式代入计算 特别地要注意分段区间端点的取舍 互动探究 2 考点3 求函数的解析式 例3 1 已知f x 1 x2 1 求f x 的表达式 2 已知f x 是一次函数 且满足3f x 1 2f x 1 2x 17 求f x 解题思路 本题侧重于从映射的角度理解函数 求函数解析式f x 即是求 对应关系f是如何对x实施运算的 解析 1 方法一 f x 1 x2 1 x 1 2 2x 2 x 1 2 2 x 1 可令t x 1 则有f t t2 2t 故f x x2 2x f对x实施的运算和对t实施的运算是完全一样的 方法二 令x 1 t 则x t 1 代入原式 有f t t 1 2 1 t2 2t f x x2 2x 2 设f x ax b a 0 则3f x 1 2f x 1 3ax 3a 3b 2ax 2a 2b ax b 5a 2x 17 a 2 b 7 故f x 2x 7 互动探究 3 已知f 3x 4xlog23 233 则f 2 f 4 f 8 f 28 的 值等于 2008 解析 f 3x 4xlog23 233 4log23x 233 f x 4log2x 233 f 2 f 4 f 8 f 28 8 233 4 log22 2log22 3log22 8log22 1864 144 2008 考点4函数中的信息给予题例4 符号 x 表示不超过x的最大整数 如 3 1 08 2 定义函数 x x x 给出下列四个命题 函数 x 的定义域是R 值域为 0 1 函数 x 是周期函数 函数 x 是增函数 其中正确命题的序号有 A B C D 答案 C 互动探究 4 2011年广东珠海模拟 对于任意实数x 符号 x 表示x的整数部分 即 x 是不超过x的最大整数 例如 2 2 2 1 2 2 2 3 这个函数 x 叫做 取整函数 它在数学本身和生产实践中有广泛的应用 那么 log21 log22 log23 log24 log264 的值为 C A 21 B 76 C 264 D 642 1 求抽象函数解析式的几种常用方法 1 换元法 已知f g x 的表达式 欲求f x 我们常设t g x 反解求得x g 1 t 然后代入f g x 的表达式 从而得到f t 的表达式 即为f x 的表达式 2 凑配法 若已知f g x 的表达式 欲求f x 的表达式 用换元法有困难时 如g x 不存在反函数 可把g x 看成一个整体 把右边变为由g x 组成的式子 再换元求出f x 的式子 3 消元法 已知以函数为元的方程形式 若能设法构造另一个方程 组成方程组 再解这个方程组 求出函数元 称这个方法为消元法 4 赋值法 在求某些函数的表达式或求某些函数值时 有时把已知条件中的某些变量赋值 使问题简单明了 从而易于求出函数的表达式 2 分段函数不论是研究性质 还是作图 求值 都是按自变 量的取值范围和对应关系分段处理 1 在函数f x 中 符号f表示一种对应关系 可以是解析式 可以是图象 也可以是图表 2 分段函数是同一个函数 由于在不同区间上的解析关系式不同 所以容易忽视自变量的取值范围 从而造成错误 第3讲 函数的奇偶性与周期性 1 函数的奇偶性的定义 1 对于函数f x 的定义域内任意一个x 都有 或 则称f x 为奇函数 奇函数的图象关于 对称 2 对于函数f x 的定义域内任意一个x 都有 或 则称f x 为偶函数 偶函数的图象关于 轴对称 3 通常采用图象或定义判断函数的奇偶性 具有奇偶性的函数 其定义域关于原点对称 也就是说 函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称 原点 f x f x f x f x 0 f x f x 0 y f x f x 2 函数的周期性的定义对于函数f x 如果存在一个 T 使得定义域内的每一个x值 都满足 那么函数f x 就叫做周期函数 非零常数T叫做这个函数的 非零常数 f x T f x 周期 D A 奇函数B 偶函数C 既是奇函数又是偶函数D 非奇非偶函数 C 2 下列函数中 在其定义域内是奇函数的是 C A y轴对称C 坐标原点对称 B 直线y x对称D 直线y x对称 4 设函数f x x2 1 x a 为奇函数 则a 0 5 设f x 是 上的奇函数 f x 2 f x 当 0 x 1时 f x x 则f 7 5 0 5 解析 由f x 2 f x 得f x 4 f x 故f x 是以4为周期的函数 故f 7 5 f 0 5 8 f 0 5 又f x 是 上的奇函数 且当0 x 1时 f x x 所以f 7 5 f 0 5 f 0 5 0 5 考点1判断函数的奇偶性例1 判断下列函数的奇偶性 解 1 函数的定义域为x 关于原点对称 f x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 f x f x x 1 x 1 是奇函数 2 此函数的定义域为 x x 0 由于定义域关于原点不对称 故f x 既不是奇函数也不是偶函数 3 去掉绝对值符号 根据定义判断 故f x 的定义域为 1 0 0 1 关于原点对称 且有x 2 0 故f x 为奇函数 4 函数f x 的定义域是 0 0 当x 0时 x 0 f x x 1 x x 1 x f x x 0 当x 0时 x 0 f x x 1 x f x x 0 故函数f x 为奇函数 5 此函数的定义域为 1 1 且f x 0 可知图象既关于原点对称 又关于y轴对称 故此函数既是奇函数又是偶函数 f x 是奇函数 1 函数的奇偶性是函数的一个整体性质 定义域具有对称性 即若奇函数或偶函数的定义域为D 则x D时都有 x D 是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件 因此判断函数的奇偶性应首先考虑函数的定义域 2 分段函数的奇偶性一般要分段证明 3 用定义判断函数的奇偶性的步骤是 定义域 关于原点对称 验证f x f x 下结论 还可以利用图象法或定义的等 互动探究 域均为R 则 B A f x 与g x 均为偶函数C f x 与g x 均为奇函数 B f x 为偶函数 g x 为奇函数D f x 为奇函数 g x 为偶函数 0 1 2010年广东 若函数f x 3x 3 x与g x 3x 3 x的定义 解析 f x 为偶函数 f x f x 即x2 x a x 2 x a a 0 考点2 利用函数的奇偶性求函数解析式 互动探究 3 2011年广东广州综合测试 已知函数f x 是定义在R上的偶函数 当x 0时 f x x3 x2 则当x 0时 f x 的解析式为 f x x3 x2 4 2011年安徽 设f x 是定义在R上的奇函数 当x 0时 f x 2x2 x 则f 1 A A 3 B 1 C 1 D 3 解析 f 1 f 1 2 1 2 1 3 故选A 考点3 函数奇偶性与周期性的综合应用 答案 A 值的方法 关键是通过周期性和奇偶性 把自变量 转化到区间 本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数 52 0 1 上进行求值 互动探究 5 2011年山东 已知f x 是R上最小正周期为2的周期函数 且当0 x 2时 f x x3 x 则函数y f x 的图象在区间 0 6 上 与x轴的交点的个数为 B A 6 B 7 C 8 D 9 解析 因为当0 x 2时 f x x3 x 又因为f x 是R上最小正周期为2的周期函数 且f 0 0 所以f 6 f 4 f 2 f 0 0 又因为f 1 0 所以f 3 0 f 5 0 故函数y f x 的图象在区间 0 6 上与x轴的交点的个数为7个 故选B D A a b cC c b a B b a cD c a b 2 x 易错 易混 易漏5 判断函数奇偶性时没有考虑定义域例题 给出四个函数 y lg 2 x y lg 2 x lg 2 x y lg x 2 x 2 y lg x 2 lg x 2 其中奇函数是 偶函数是 正解 的定义域相同 均为 2 2 且均有f x f x 所以都是奇函数 的定义域为 2 2 且有f x f x 所以为偶函数 而 的定义域为 2 不对称 因此为非奇非偶函数 答案 失误与防范 对函数奇偶性定义的实质理解不全面 对定义域内任意一个x 都有f x f x f x f x 的实质是 函数的定义域关于原点对称 这是函数具备奇偶性的必要条件 对于函数f x 定义域中的任意x 总存在一个常数T T 0 使得f x T f x 恒成立 则T是函数y f x 的一个周期 1 若函数y f x 满足f x a f x a a 0 则T 2a是它 的一个周期 2 若函数y f x 满足f x a f x a 0 则T 2a是它的 一个周期 3 若函数y f x 满足f x a 1f x a 0 则T 2a是它的 一个周期 4 若函数y f x 满足f x a 1f x a 0 则T 2a是它的一 个周期 1 f x 1 f x a 0 则T 2a是它 5 若函数y f x 满足f x a 的一个周期 6 若函数y f x x R 的图象关于直线x a与x b对称 则T 2 b a 是它的一个周期 7 若函数y f x x R 的图象关于点 a 0 与x b对称 则T 4 b a 是它的一个周期 对于函数f x 的定义域内任意一个x 都有f x f x 或f x f x 则称f x 为奇 偶 函数 因此在讨论函数的奇偶性时 应首先求函数的定义域 观察其定义域是否关于原点对称 若不对称 则函数不具备奇偶性 为非奇非偶函数 只有定义域关于原点对称 才有必要利用定义进一步研究其奇偶性 第4讲 函数的单调性与最值 1 函数的单调性的定义 设函数y f x 的定义域为A 区间I A 如果对于区间I内的任意两个值x1 x2 当x1 x2时 都有 那么就说y f x 在区间I上是单调增函数 I称为y f x 的 如果对于区间I内的任意两个值x1 x2 当x1 x2时 都有 那么就说y f x 在区间I上是单调减函数 I称为y f x 的 单调增区间 f x1 f x2 单调减区间 f x1 f x2 2 用导数的语言来描述函数的单调性设函数y f x 如果在某区间I上 那么f x 为区间I上的增函数 如果在某区间I上 那么f x 为 区间I上的减函数 f x 0 f x 0 3 函数的最大 小 值设函数y f x 的定义域为A 如果存在定值x0 A 使得对于任意x A 有 恒成立 那么称f x0 为y f x 的最大值 如果存在定值x0 A 使得对于任意x A 有 恒成立 那么称f x0 为y f x 的最小值 f x f x0 f x f x0 A k 1 函数y x2 6x的减区间是 D A 2 C 3 B 2 D 3 2 函数y 2k 1 x b在实数集上是增函数 则 A 12 B k 12 C b 0 D b 0 3 已知函数f x 的值域是 2 3 则函数f x 2 的值域为 D A 4 1 C 4 1 0 5 B 0 5 D 2 3 解析 f x 2 的图象是把f x 的图象向右平移2个单位 因此f x 2 的值域不变 单调减区间是 0 5 指数函数y a 1 x在 上为减函数 则实数a 的取值范围为 1 a 2 4 若函数f x m 1 x2 mx 3 x R 是偶函数 则f x 的 例1 已知函数f x x2 x 0 a R 考点1利用定义判断函数的单调性 ax 1 判断函数f x 的奇偶性 2 若f x 在区间 2 是增函数 求实数a的取值范围 当a 0时 f x 既不是奇函数也不是偶函数 解 1 当a 0时 f x x2为偶函数 互动探究 2xx 1 在区间 0 1 上 1 试用函数单调性的定义判断函数f x 的单调性 考点2利用导数判断函数的单调性 函数 在区间 6 上为增函数 试求实数a的取值范围 解题思路 本题可用分离参数的方法结合不等式恒成立问题求解 也可求出整个函数的递增 减 区间 再用所给区间是所求区间的子区间的关