人教B版必修三 2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征 课件（31张）.pptVIP

2 2 2用样本的数字特征估计总体的数字特征 二 知识回顾 1 如何根据样本频率分布直方图 分别估计总体的众数 中位数和平均数 1 众数 最高矩形下端中点的横坐标 2 中位数 直方图面积平分线与横轴交点的横坐标 3 平均数 每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标的乘积之和 知识探究 标准差 样本的众数 中位数和平均数常用来表示样本数据的 中心值 其中众数和中位数容易计算 不受少数几个极端值的影响 但只能表达样本数据中的少量信息 平均数代表了数据更多的信息 但受样本中每个数据的影响 越极端的数据对平均数的影响也越大 当样本数据质量比较差时 使用众数 中位数或平均数描述数据的中心位置 可能与实际情况产生较大的误差 难以反映样本数据的实际状况 因此 我们需要一个统计数字刻画样本数据的离散程度 数据的离散程度可以用极差 方差或标准差来描述 为了表示样本数据的单位表示的波动幅度 通常要求出样本方差或者它的算术平方根 来衡量这组数据的波动大小 并把它叫做这组数据的方差 一组数据方差越大 则这组数据波动越大 那么我们用它们的平均数 即 2 标准差 我们把数据的方差的算术平方根叫做这组数据的标准差 它也是一个用来衡量一组数据的波动大小的重要的量 计算标准差的算法 s2算出每个样本数据与样本平均数的差 i 1 2 n s3算出 i 1 2 n s4算出 i 1 2 n 这n个数的平均数 即为样本方差s2 s5算出方差的算术平方根 即为样本标准差s 3 方差的运算性质 例1 计算数据5 7 7 8 10 11的标准差 s5 所以这组数据的标准差是2 例2 计算数据89 93 88 91 94 90 88 87的方差和标准差 标准差结果精确到0 1 解 所以这组数据的方差为5 5 标准差为2 3 例3 从甲 乙两名学生中选拔一人乘积射击比赛 对他们的射击水平进行测试 两人在相同的条件下各射击10次 命中环数如下 甲 7 8 6 8 6 5 8 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 1 计算甲 乙两人射击命中环数的平均数和标准差 2 比较两人的成绩 然后决定选择哪一人参赛 2 由 1 知 甲 乙两人平均成绩相等 但s乙 s甲 这表明乙的成绩比甲的成绩稳定一些 从成绩的稳定性考虑 可以选乙参赛 3 标准差和频率直方图的关系 从标准差的定义可知 如果样本各数据都相等 则标准差得0 这表明数据没有波动幅度 数据没有离散性 若个体的值与平均数的差的绝对值较大 则标准差也较大 表明数据的波动幅度也很大 数据的离散程度很高 因此标准差描述了数据对平均数的离散程度 练习1 甲 乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下 单位 t hm2 试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定 解 甲品种的样本平均数为10 样本方差为 9 8 10 2 9 9 10 2 10 1 10 2 10 10 2 10 2 10 2 5 0 02 乙品种的样本平均数也为10 样本方差为 9 4 10 2 10 3 10 2 10 8 10 2 9 7 10 2 9 8 10 2 5 0 24 因为0 24 0 02 所以 由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定 练习2 为了保护学生的视力 教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换 已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下 试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准差 解 各组中值分别为165 195 225 285 315 345 375 由此算得平均数约为 165 1 195 11 225 18 255 20 285 25 315 16 345 7 375 2 267 9 268 天 这些组中值的方差为 1 165 268 2 11 195 268 2 18 225 268 2 20 255 268 2 25 285 268 2 16 315 268 2 7 345 268 2 2 375 268 2 100 2128 60 天2 故所求的标准差约 天 答 估计这种日光灯的平均使用寿命约为268天 标准差约为46天 3 2011年高考江苏卷6 某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10 6 8 5 6 则该组数据的方差 3 2 4 2011年高考辽宁卷文科19 本小题满分12分 某农场计划种植某种新作物 为此对这种作物的两个品种 分别称为品种甲和品种乙 进行田间试验 选取两大块地 每大块地分成n小块地 在总共2n小块地中 随机选n小块地种植品种甲 另外n小块地种植品种乙 假设n 2 求第一大块地都种植品种甲的概率 试验时每大块地分成8小块 即n 8 试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量 单位kg hm2 如下 分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差 根据试验结果 你认为应该种植哪一品种 附 样本数据x1 x2 xa的样本方差 其中为样本平均数 由以上结果可以看出 品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数 且两品种的样本方差差异不大 故应该选择种植品种乙 5 2011年高考北京卷理科17 本小题共13分以下茎叶图记录了甲 乙两组个四名同学的植树棵树 乙组记录中有一个数据模糊 无法确认 在图中以x表示 如果x 8 求乙组同学植树棵树的平均数和方差 如果x 9 分别从甲 乙两组中随机选取一名同学 求这两名同学的植树总棵数为19的概率 解 1 当x 8时 由茎叶图可知 乙组同学的植树棵数是 8 8 9 10 所以平均数为方差为 6 2011年高考广东卷文科17 本小题满分13分 在某次测验中 有6位同学的平均成绩为75分 用表示编号为的同学所得成绩 且前5位同学的成绩如下 1 求第6位同学成绩 及这6位同学成绩的标准差 2 从前5位同学中 随机地选2位同学 求恰有1位同学成绩在区间中的概率 6 练习 3 若k1 k2 k8的方差为3 则2 k1 3 2 k2 3 2 k8 3 的方差为 4 32 12 a b 7 在一次歌手大奖赛上 七位评委为歌手打出的分数如下 9 4 8 4 9 4 9 9 9 6 9 4 9 7 去掉一个最高分和一个最低分后 所剩数据