人教A版选修23 习题课 离散型随机变量的均值与方差 课件（23张）.pptx

习题课 离散型随机变量的均值与方差的综合应用 1 常用分布的均值与方差 1 二点分布的均值与方差若随机变量x服从参数为p的二点分布 则e x 1 p 0 1 p p d x p 1 p 2 二项分布的均值与方差在n次独立重复试验中 若x b n p 则e x np d x np 1 p 2 离散型随机变量方差的性质当a b为常数时 随机变量y ax b 则d y d ax b a2d x 1 当a 0时 d y d b 0 2 当a 1时 d y d x b d x 3 当b 0时 d y d ax a2d x 做一做1 若随机变量x的方差d x 1 则d 2x 1 的值为 a 2b 3c 4d 5解析 d 2x 1 4d x 4 1 4 答案 c 做一做2 已知离散型随机变量x的可能取值为x1 1 x2 0 x3 1 且e x 0 1 d x 0 89 则对应x1 x2 x3的概率p1 p2 p3分别为 解析 由题意知 p1 p3 0 1 1 21p1 0 01p2 0 81p3 0 89 又p1 p2 p3 1 解得p1 0 4 p2 0 1 p3 0 5 答案 0 40 10 5 探究一 探究二 规范解答 均值与方差的综合 例1 在某地举办的射击比赛中 规定每位射手射击10次 每次一发 记分的规则为 击中目标一次得3分 未击中目标得0分 并且凡参赛者一律另加2分 已知射手小李击中目标的概率为0 9 求小李在比赛中得分的数学期望与方差 思路分析 首先理解题意 将实际问题正确地转化为数学模型 直接代入随机变量的方差计算公式 探究一 探究二 规范解答 解 设击中次数为x 比赛得分为y 则y 3x 2 由题意知x b 10 0 9 所以e x 10 0 9 9 d x 10 0 9 1 0 9 0 9 e y e 3x 2 3e x 2 29 d y d 3x 2 9d x 8 1 所以小李在比赛中得分的数学期望为29 方差为8 1 反思感悟通过审题 明确判断出随机变量x 击中次数 服从二项分布是解决这个题的关键 然后利用二项分布的均值和方差的计算公式即可求出e x d x 探究一 探究二 规范解答 变式训练1某运动员投篮命中率p 0 6 1 求1次投篮命中次数 的期望与方差 2 求重复5次投篮时 命中次数 的期望与方差 思路分析 1 投篮1次可能投中 也可能不中 投中次数 若用0和1作为可能取值 则服从两点分布 2 重复5次投篮的投中次数 服从二项分布 解 1 投篮1次只有两种结果 投篮命中 1 不中 0 服从两点分布列 则e 1 0 6 0 6 d 1 0 6 0 6 0 24 2 由题意 重复5次投篮 命中的次数 服从二项分布 即 b 5 0 6 由二项分布期望与方差的计算公式知 e 5 0 6 3 d 5 0 6 0 4 1 2 探究一 探究二 规范解答 均值与方差在实际问题中的应用 例2 某保险公司新开设了一项保险业务 若在一年内事件e发生 该公司要赔偿a元 设在一年内e发生的概率为p 为使公司收益的期望值等于a的10 公司应要求顾客交多少保险金 解 设保险公司要求顾客交x元的保险金 若以x表示公司每年的收益额 则x是一个随机变量 其分布列为 因此 公司每年收益的期望值为e x x 1 p x a p x ap 为使公司收益的期望值等于a的10 只需e x 0 1a 即x ap 0 1a 故可得x a p 0 1 即当顾客交的保险金为a p 0 1 元时 可使公司期望获益0 1a元 探究一 探究二 规范解答 反思感悟本题主要考查数学期望的概念和运算以及运用数学知识解决实际问题的能力 探究一 探究二 规范解答 变式训练2某商家进行促销活动 促销方案是顾客每消费1000元 便可以获得奖券1张 每张奖券中奖的概率为 若中奖 则商家返还中奖的顾客现金1000元 小王购买一套价格为2400元的西服 只得到2张奖券 于是小王补偿50元给购买一件价格为600元的便服的同事 这样小王就得到了3张奖券 设小王这次消费的实际支出为 元 则e a 1850b 1720c 1560d 1480 探究一 探究二 规范解答 解析 根据题意知 的可能取值为2450 1450 450 550 答案 a 探究一 探究二 规范解答 列表法求离散型随机变量的分布列与期望 典例 如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图 空气质量指数小于100表示空气质量优良 空气质量指数大于200表示空气重度污染 某人随机在3月1日至3月13日中的某一天到达该市 并停留2天 探究一 探究二 规范解答 1 求此人到达当日空气重度污染的概率 2 设x是此人停留期间空气质量优良的天数 求x的分布列与均值 3 由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大 结论不要求证明 审题策略 第一步 审条件 给出了3月1日至14日的空气质量指数趋势图 空气质量优良与重度污染的数据 第二步 审结论 第 1 问求此人到达当日空气重度污染的概率 第 2 问求分布列与均值 第 3 问求从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大 第三步 建联系 1 重度污染只有2天 由于到达是随机的 根据古典概型求得 2 随机变量x 0 1 2 求出分布列与期望 3 根据方差表示数据偏离均值的程度 结合图中数据可得 探究一 探究二 规范解答 规范展示 解 设ai表示事件 此人于3月i日到达该市 i 1 2 13 根据题意 p ai 且ai aj i j 1 设b为事件 此人到达当日空气重度污染 则b a5 a8 2 由题意可知 x的所有可能取值为0 1 2 探究一 探究二 规范解答 所以x的分布列为 3 从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大 答题模板 求随机变量的取值 明确随机变量的所有可能取值以及每个值所表示的意义 求概率 利用概率有关知识求出随机变量每个取值的概率 求分布列 均值 规范写出分布列 并用分布列的性质验证 求均值 探究一 探究二 规范解答 跟踪训练一次考试共有12道选择题 每道选择题都有4个选项 其中有且只有一个是正确的 评分标准规定 每题只选一个选项 答对得5分 不答或答错得零分 某考生已确定有8道题的答案是正确的 其余题中 有两道题可以判断两个选项是错误的 有一道题可以判断一个选项是错误的 还有一道题因不理解题意只好乱猜 请求出该考生 1 得60分的概率 2 所得分数x的分布列和均值 解 1 设 可判断两个选项是错误的题选对 为事件a 可判断一个选项是错误的题选对 为事件b 不理解题意的题选对 为事件c 探究一 探究二 规范解答 2 x可能的取值为40 45 50 55 60 12345 1 下列说法正确的是 a 离散型随机变量 的数学期望e 反映了 取值的概率的平均值b 离散型随机变量 的方差d 反映了 取值的平均水平c 离散型随机变量 的数学期望e 反映了 取值的平均水平d 离散型随机变量 的方差d 反映了 取值的概率的平均值解析 由离散型随机变量的数学期望与方差的定义可知 c正确 答案 c 12345 2 若 的分布列如下表所示 且e 1 1 则 a d 2b d 0 51c d 0 5d d 0 49解析 0 2 p 0 3 1 p 0 5 又e 0 0 2 1 0 5 0 3x 1 1 x 2 d 0 1 1 2 0 2 1 1 1 2 0 5 2 1 1 2 0 3 0 49 答案 d 12345 3 若x b n p 且e x 6 d x 3 则p x 1 的值为 a 3 2 2b 2 4c 3 2 10d 2 8 解析 x b n p e x np 6 d x np 1 p 3 答案 c 12345 4 在一个均匀小正方体的六个面中 三个面标有数字0 两个面标有数字1 一个面标有数字2 将这个小正方体抛掷2次 则向上的数字之积的数学期望是 解析 向上的数字之积记为x 则x可能的取值为0 1 2 4 12345 5 甲 乙两人独立解一道数学题 已知该题被甲独立解出的概率为0 6 该题被解出的概率为0 92 1 求该题被乙独立解出的概率 2 求解出该题的人数x的均值和方差 解 1 甲 乙分别解出此题的事件记为a b 设甲独立解出此题的概率为p1 乙独立解出此题的概率为p2 则p a p1 0 6 p b p2 p a b 1 1 p1 1 p2 1 0 4 1 p2 0 6 0 4p2 0 92 0 4p2 0 32 即p2 0 8 12345 2 解出该题的人数x可能