高考数学 第八章 直线与圆的方程 第6节圆的方程 课件 苏教版VIP

第八章直线与圆的方程 第六课时圆的方程 考纲要求 掌握确定圆的几何要素 掌握圆的标准方程与一般方程 知识梳理 一 圆的标准方程设圆心C坐标 a b 半径是r 则圆C的标准方程是 x a 2 y b 2 r2 特别地 圆心为O 0 0 时 标准方程为x2 y2 r2 二 圆的一般方程当D2 E2 4F 0时 方程x2 y2 Dx Ey F 0叫做圆的一般方程 其圆心为 半径r 三 圆的直径式方程以 x1 y1 x2 y2 为直径的圆的方程可写为 x x1 x x2 y y1 y y2 0 四 二元二次方程表示圆的充要条件设二元二次方程为Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0 故方程 表示圆的充要条件为 A C 0 B 0 D2 E2 4AF 0 而A C 0 B 0 只是方程 表示圆的必要条件 五 常见的圆系方程及其应用 属知识拓展 1 过定直线l Ax By C 0和定圆x2 y2 Dx Ey F 0两交点的圆系 x2 y2 Dx Ey F Ax By C 0 2 过两定圆x2 y2 D1x E1y F 0和x2 y2 D2x E2y F2 0的交点的圆系 x2 y2 D1x E1y F1 x2 y2 D2x E2y F2 0 当 1时 方程表示两圆公共弦所在直线方程 基础自测 1 圆x2 y2 2x 2y 0的周长是 A 2 B C D 4 答案 C 2 方程x2 y2 2k2x y k 1 4 0所表示的曲线关于y 2x 1 0对称 则k的值为 A B C D 不存在 答案 B 3 2009年陕西卷 过原点且倾斜角为60 的直线被圆x2 y2 4y 0所截得的弦长为 4 2008年天津卷 已知圆C的圆心与点P 2 1 关于直线y x 1对称 直线3x 4y 11 0与圆C相交于A B两点 且 AB 6 则圆C的方程为x2 y 1 2 18 典例试解 根据下列条件 求圆的方程 1 和圆O x2 y2 4相外切于点P 1 且半径为4 2 经过坐标原点和点P 1 1 并且圆心在直线2x 3y 1 0上 3 已知一圆过P 4 2 Q 1 3 两点 且在y轴上截得的线段长为 思路分析 在用待定系数法求圆的方程时 若已知条件与圆心 半径有关 则设圆的标准方程 若已知条件与圆心 半径的关系不大 则设圆的一般方程 1 设圆心Q的坐标为 a b O与 Q相外切于P O P Q共线 且 所求圆的方程为 x 3 2 y 3 2 16 2 显然 所求圆的圆心在OP的垂直平分线上 OP的垂直平分线方程为 即x y 1 0 解方程组x y 1 02x 3y 1 0得圆心C的坐标为 4 3 又圆的半径r OC 5 所求圆的方程为 x 4 2 y 3 2 25 3 设圆的方程为x2 y2 Dx Ey F 0 将P Q点的坐标分别代入 得 4D 2E F 20 D 3E F 10 令x 0 由 得y2 Ey F 0 由已知 y1 y2 其中y1 y2是方程 的两根 y1 y2 2 y1 y2 2 4y1y2 E2 4F 48 解由 组成的方程组 得 D 2E 0F 12 D 10E 8F 4 或 故所求圆的方程为x2 y2 2x 12 0或x2 y2 10 x 8y 4 0 点评 无论是圆的标准方程或是圆的一般方程 都有三个待定系数 因此求圆的方程 应有三个条件来求 一般地 已知圆心或半径的条件 选用标准式 否则选用一般式 变式探究 1 求经过点A 5 2 B 3 2 圆心在直线2x y 3 0上的圆的方程 答案 x 4 2 y 5 2 10 一圆与y轴相切 圆心在直线x 3y 0上 且直线y x截圆所得弦长为 求此圆的方程 思路分析 利用圆的性质 半弦 半径和弦心距构成的直角三角形 解析 因圆与y轴相切 且圆心在直线x 3y 0上 故设圆方程为 x 3b 2 y b 2 又因为直线y x截圆得弦长为 则有解得b 1 故所求圆方程为 x 3 2 y 1 2 9或 x 3 2 y 1 2 9 点评 在解决求圆的方程这类问题时 应当注意以下几点 1 确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程 2 根据几何关系 如本例的相切 弦长等 建立方程求得a b r或D E F 3 待定系数法的应用 解答中要尽量减少未知量的个数 变式探究 2 一圆经过两点A 4 2 B 1 3 且在两坐标轴上四个截距之和为2 求圆的方程 答案 x2 y2 2x 12 0 求过直线2x y 4 0和圆x2 y2 2x 4y 1 0的交点 且面积最小的圆的方程 思路分析 面积最小的圆即为半径是最小的圆 解析 设所求圆的方程为x2 y2 2x 4y 1 2x y 4 0 即x2 y2 2 1 x 4 y 1 4 0 圆的半径为 当 8 5时 r最小 此时圆的方程为 变式探究 3 设圆满足 截y轴所得的弦长为2 被x轴分成两段圆弧 其弧长的比为3 1 在满足条件 的所有圆中 求圆心到直线l x 2y 0的距离最小的圆的方程 答案 x 1 2 y 1 2 2或 x 1 2 y 1 2 2 设A c 0 B c 0 c 0 为两定点 动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a a 0 求P点的轨迹 思路分析 根据题设可直接由题中条件 建立方程关系 然后化简方程 解析 设动点P的坐标为 x y 由化简得 1 a2 x2 2c 1 a2 x c2 1 a2 1 a2 y2 0 当a 1时 化简得x 0 所以当a 1时 P点的轨迹是以为圆心 为半径的圆 当a 1时 P点的轨迹为y轴 点评 本题的解法是直接由题中条件 建立方程关系 然后化简方程 这种求曲线方程的方法称为直接法 主要考查直线 圆 曲线和方程等基本知识 考查运用解析几何的方法解决问题的能力 对代数式的运算化简能力有较高要求 同时也考查了分类讨论这一数学思想 变式探究 4 动点在圆x2 y2 1上移动时 它与定点B 3 0 连线的中点的轨迹方程是 答案 2x 3 2 4y2 1 已知 O的半径为3 直线l与 O相切 一动圆与l相切 并与 O相交的公共弦恰为 O的直径 求动圆圆心的轨迹方程 思路分析 问题中的几何性质十分突出 切线 直径 垂直 圆心 如何利用这些几何性质呢 解析 如右图所示 取过O点且与l平行的直线为x轴 过O点且垂直于l的直线为y轴 建立直角坐标系 O与 M的公共弦为AB M与l切于点C 则 MA MC AB又是 O的直径 MO垂直平分AB于O 由勾股定理得 MA 2 MO 2 AO 2 x2 y2 9 x2 y2 9 y 3 2 即 x2 6y这就是动圆圆心的轨迹方程 点评 建立适当的坐标系能使求轨迹方程的过程较简单 所求方程的形式较 整齐 求轨迹的步骤是 建系 设点 找关系式 除瑕点 求与圆有关的轨迹问题 充分利用圆的方程和圆的几何性质 找出动点与圆上点之间的关系或动点所满足的几何条件 变式探究 5 设定点M 3 4 动点N在圆O x2 y2 4上运动 以OM ON为两边作平行四边形MONP 求点P的轨迹 答案 x 3 2 y 4 2 4 且除去两点 课时升华 1 不论圆的标准方程还是一般方程 都有三个字母 a b r或D E F 的值需要确定 因此需要三个独立的条件 利用待定系数法得到关于a b r 或D E F 的三个方程组成的方程组 解之得到待定字母系数的值 2 求圆的方程的一般步骤 1 选用圆的方程两种形式中的一种 若知圆上三个点的坐标 通常选用一般方程 若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标间的关系 通常选用标准方程 2 根据所给条件 列出关于D E F或a b r的方程组 3 解方程组 求出D E F或a b r的值 并把它们代入所设的方程中 得到所求圆的方程 3 解析几何中与圆有关的问题 应注意数形结合 充分运用圆的几何性质 简化运算 4 在二元二次方程中x2和y2的系数相等并且没有xy项只是表示圆的必要条件而不是充分条件 5 如果问题中给出了圆心与两坐标之间的关系或圆心的特殊位置时 一般用标准方程 如果给出圆上的三个点的坐标 一般用一般方程 6 在一般方程中 当D2 E2 4F 0时 方程表示一个点 当D2 E2 4F 0时 无轨迹 7 数形结合 分类讨论 函数与方程的思想在解决圆的有关问题时经常运用 应熟练掌握 8 与圆有关的轨迹问题 可根据题设条件选择适当方法 如直接法 定义法 动点转移法等 有时还需要结合运用其他方法 如交轨法 参数法等 体验高考 1 2009年上海卷 点P 4 2 与圆x 2 y 2 4上任一点连线的中点轨迹方程是 A x 2 2