人教A版必修一 1.2.2.2分段函数及映射 课件（61张）.ppt

第2课时分段函数及映射 主题1分段函数某市空调公共汽车的票价按下列规则制定 1 5千米以内 含5千米 票价2元 2 5千米以上 每增加5千米 票价增加1元 不足5千米的按5千米计算 已知两个相邻的公共汽车站间相距1千米 沿途 包括起点站和终点站 有11个汽车站 请根据以上内容 回答下面的问题 1 从起点站出发 公共汽车的行程x 千米 与票价y 元 间的函数关系是什么 提示 当0 x 5时 y 2 当5 x 10时 y 3 故y 2 这种函数关系的特征是什么 提示 函数关系式是分段呈现的 结论 分段函数的定义在函数的定义域内 对于自变量x的不同取值范围 函数有着不同的对应关系的函数 微思考 1 分段函数的定义域 值域与每段的定义域 值域有何关系 提示 分段函数的定义域是每段定义域的并集 分段函数的值域是每段值域的并集 2 分段函数有几段就是几个函数吗 提示 不是 分段函数是一个函数 而不是几个函数 只不过是在定义域不同子集上其解析式不同而已 主题2映射观察下面的对应 它们有何共同特点 提示 对于集合a中任何一个元素 在集合b中都有唯一的元素与之对应 结论 映射的定义设a b是两个非空的集合 如果按某一个确定的对应关系f 使对于集合a中的任意一个元素x 在集合b中都有唯一确定的元素y与之对应 那么就称对应f a b为从集合a到集合b的一个映射 微思考 1 从集合a到集合b的映射中 它们中元素的对应特点是什么 提示 可以是一对一 也可以是多对一 但不可以是一对多 2 当一个映射满足什么条件时为函数 提示 当集合a 集合b非空且为数集时 映射为函数 预习自测 1 已知映射f a b 对任意x a 则b中与x对应的元素有 a 0个b 1个c 2个d 无数个 解析 选b 根据映射的定义 对于a中任意一个元素 在集合b中都有唯一的元素与之对应 2 下列对应是从集合a到集合b映射的是 a n b n f x x a n b n f y x 1 a b 1 f x x2 a 1 2 3 4 5 b 1 7 17 31 49 f y 2x2 1 a b c d 解析 选c a中元素0在集合b中无元素与之对应 故不是映射 a中元素1在b中无元素与之对应 故不是映射 符合定义 是映射 中x 1 2 3 4 5时 y分别是1 7 17 31 49 符合定义 是映射 3 已知f x 则f f 2 解析 f 2 2 3 1 所以f f 2 f 1 1 1 2 答案 2 4 已知a 1 2 3 9 b r 从集合a到集合b的映射f x 1 与a中元素1相对应的b中的元素是 2 与b中元素相对应的a中的元素是 解析 1 因为x 1 所以相对应b中的元素为 2 由得x 4 答案 1 2 4 类型一分段函数的求值 典例1 2017 吉林高一检测 函数f x 则的值为 解题指南 先求 再求 解析 f 3 32 3 3 3 所以所以答案 延伸探究 1 本例条件不变 求f a 的值 解析 当a 1时 f a 1 a2 当a 1时 f a a2 a 3 2 本例若增加条件f a f 1 3 求a的值 解析 因为 11时 f a f 1 a2 a 3 3 即a2 a 6 0 所以a 3或a 2 舍 所以a 3 方法总结 1 求分段函数值的方法先确定要求值的自变量属于哪一段 然后代入该段的解析式求值 直到求出值为止 特别地 当出现f f x0 的形式时 应从内到外依次求值 2 已知函数值求字母的值的四个步骤 1 讨论 对字母的取值范围分类讨论 2 代入 由不同取值范围 代入对应的解析式中 3 求解 通过解方程求出字母的值 4 检验 检验所求的值是否在所讨论的区间内 补偿训练 1 已知函数f x 若f x 3 则x a b 9c 1或1d 解析 选a 当x 0时 由x 2 3 得x 1 不符合题意 当0 x 3时 由x2 3 得x 或x 舍去 故x 2 已知函数f x 则f 1 f 3 a 2b 7c 27d 7 解析 选b f 1 f 1 3 f 4 42 1 17 f 3 32 1 10 所以f 1 f 3 7 类型二分段函数的图象及应用 典例2 已知函数f x 1 2 x 2 1 用分段函数的形式表示函数f x 2 画出函数f x 的图象 3 写出函数f x 的值域 解题指南 先根据绝对值的意义去掉绝对值符号 将函数转化为分段函数 再用描点法作出函数图象 由图求值域 解析 1 当0 x 2时 f x 1 1 当 2 x 0时 f x 1 1 x 所以f x 2 函数f x 的图象如图所示 3 由 2 知 f x 在 2 2 上的值域为 1 3 方法总结 作分段函数图象的方法作分段函数的图象时 分别作出各段的图象 在作每一段图象时 先不考虑范围的限制 作出其图象 再保留对应范围内的一段图象即可 作图时要特别注意衔接点处点的虚实 保证不重不漏 巩固训练 1 2017 周口高一检测 下列图象是函数y 的图象的是 解析 选c 当x 0时 y x2 为抛物线y x2在y轴左侧的部分 当x 0时 y x 1 为射线且与y轴交于 0 1 2 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况 在一般情况下 大桥上的车流速度v 单位 千米 小时 是车流密度x 单位 辆 千米 的函数 当桥上的车流密度达到200辆 千米时 造成堵塞 此时车流速度为0 当车流密度不超过20辆 千米时 车流速度为60千米 小时 研究表明 当20 x 200时 车流速度v是车流 密度x的一次函数 当0 x 200时 求函数v x 的表达式 解析 由题意 当0 x 20时 v x 60 当20 x 200时 设v x ax b 故函数v x 的表达式为 补偿训练 1 已知函数f x 则函数f x 的图象是 解析 选a 当x 1时 y 0 即图象过点 1 0 d错 当x 0时 y 1 即图象过点 0 1 c错 当x 1时 y 2 图象过 1 2 b错 2 已知函数f x 若f a 3 则a的取值范围是 解析 当a 2时 f a a 3 解集为 3 当 2 a 4时 f a a 1 3 此时无解 当a 4时 f a 3a 3 此时无解 所以a的取值范围是 3 答案 3 类型三映射的概念及应用 典例3 1 2017 重庆高一检测 设集合a x 1 x 2 b y 1 y 4 则下述对应关系f中 不能构成a到b的映射的是 a f x y x2b f x y 3x 2c f x y x 4d f x y 4 x2 2 2017 吉安高一检测 已知集合a b r x a y b f x y ax b 若6和9在f作用下分别与4和10对应 则19在f作用下与 对应 解题指南 1 根据映射的定义 判断a中的每一个元素在对应关系f的作用下 在集合b中是否都有唯一的元素与之对应 2 根据6和9在f作用下与4和10对应 建立关于a b的方程组 求出y ax b的解析式 再将x 19代入可解y的值 解析 1 选d f x y x2 1 4 f x y 3x 2 1 4 f x y x 4 2 3 1 4 f x y 4 x2 0 3 2 由题意可得解得所以y 2x 8 当x 19时 y 30 答案 30 方法总结 判断一个对应是不是映射的方法判断一个对应是不是映射 看两点 1 任意性 集合a中任一元素在b中都有元素与之对应 2 唯一性 对应应是多对一或一对一 巩固训练 1 下列各个对应中 构成映射的是 解析 选b 对于a m中元素2在n中无元素与之对应 对于c d m中有一个元素与n中两个元素对应 不符合映射的概念 故选b 2 下列对应是不是从a到b的映射 1 a r b 1 f x y 1 2 a 1 1 b 1 1 f x x2 y2 1 解析 1 集合a中的每一个数都与b中的数1对应 因此是a到b的映射 2 取x 0 a 则由x2 y2 1 得y 1 即a中的元素0与b中的两个元素 1对应 因此该对应不是从a到b的映射 补偿训练 1 2017 惠阳高一检测 下列分别为集合a到集合b的对应 其中 是从a到b的映射的是 a 1 2 b 1 2 3 c 1 2 4 d 1 2 3 4 解析 选a 映射关系中可以是一对一的关系 可以是多对一的关系 不能是一对多的关系 因此 1 2 构成映射关系 2 a b为实数 集合a b a 0 f x 2x表示把集合a中的元素x映射到集合b中为2x 求a b的值 解析 由题意 a中的元素1只能对应集合b中的a 故a 2 所以b 2