《广猛说题系列之路径专题》(第五集).doc

广猛说题系列之路径专题（第五集） 第四集重大友情提醒：经网友提醒，上一集中“模型构建”、例14以及相关变式中如果不强调“动点C位于直线AB的上方”的话，每一道题的目标轨迹都应该由两段弧组成，且这两条弧关于AB对称，此时路径长还需要在原来结果的基础上乘以2，这一点应引起大家的注意！另外，有一些动点的路径（或轨迹）可能在端点处取不到，但这对计算相应的轨迹长问题不受影响，故可忽略，请同学们稍微注意即可！第四集的例题属于模型的直接考察，大多考题会在定角的推导上设置门槛，需要同学们形成主动寻找定角及定边的意识与能力，下面再举几例，同学们可以用心体悟！例15.如图15所示，P为线段AB上一动点(点P不与点A、B重合)，在线段AB的同侧分别作等边APC和等边PBD，连结AD、BC，交点为Q.(1)求AQB的度数；(2)若AB=6，求动点Q运动轨迹的长.简析：(1)此图是一个经典的“共顶点双等边三角形手拉手旋转一拖二模型”，其内部存在丰富多彩的结论；首先，利用图15-1中的全等三角形（SAS）易推得1=2；再结合图15-2中的“8字型”结构，导角易得AQB=120；当然也可以利用图15-3中的“8字型”结构，导角推得AQB的度数，殊途同归，不再赘述；若连接PQ，这个基本图形中将“8字成疯”，可以结合“四点共圆”或者“对顶相似”等结构去探究，如图15-4所示，包括还有许多的“平行8字型”等！(2)由第(1)小问知目标动点Q处产生了（多个）定角，要想求其运动的轨迹长，自然联想到“定边对定角”模型，接下来依托于点Q处产生的定角去寻找所对的定边，你会发现只有定边AB符合题意（注意：这里AC与BD都是动边）；下图是本题的动态图，请欣赏之：找到了动点Q的轨迹后，“无迹问题”变得有迹可循了，进一步可以追问最值问题等，譬如：如图15-7所示，在原题的基础上，取AB的中点N，其他条件保持不变，求NQ的最小值.解题后反思：本题在路径长问题的基础上追加了一个最值问题，这两个问题都是在画出具体轨迹的基础上解决的，同学们要加强轨迹意识的自我培养，要有主动自问、主动寻找动点轨迹的意识，这是很基本的一种解题意识，因为但凡动点，不可能是杂乱无章的运动，一定是在一条确定的路径上运动的，当确定了路径，也就牵住了“牛鼻子”，“无迹问题”变得有迹可循了，问题也就变得简单易行了.路径问题与最值问题一般可认为是一对“双生子”，能提出路径长问题，一般都可以继续追加最值问题；反过来，有相当一部分最值问题都可以通过确定动点的路径来解决.另外，本题中追加的最小值问题恰好当点Q位于轨迹弧的中点处取得，这是一种“超级对称”的几何直观意识，有的时候这种几何直观更加难能可贵，哪怕猜错了也无所谓，这也是于头对我们的教诲！再来看一道本人非常推崇的好题！此题笔者之所以喜爱，是因为它既可以用“定边对定角”模型解决，又可以用“瓜豆原理”轻松搞定，而这两种方法在很大范围内都是普适的，是解决路径问题的两个重大法宝，尤其是后者对于路径长问题甚至可以实现“盲杀”，本文最后一个版块也会专门详细介绍！下面提供这两种解法：解法一（“定边对定角”模型）：第一步：如图16-1，由点C是以AB为直径的半圆弧的中点易知APC=45；第二步：如图16-2，又由CQCP知PCQ为等腰直角三角形，易得AQC=135；第三步：如图16-3，连接AC，识别到“定边AC对定角AQC”模型；解题后反思：此题是一道典型的“定边对定角”最值问题，下面介绍其基本破解之道：首先要有寻找目标动点的轨迹意识，而这就需要我们先看看该动点处是否存在确定的角，可称为“定角”，很多时候这样的定角并不唯一；然后循着刚找到的“定角们”去看看它们对应的边有木有确定的边，可称为“定边”，一旦两者兼有，就自然形成了“定边对定角”模型；确定了“定边对定角”模型后，就可以画出动点的轨迹弧，再确定圆心及相应的圆心角，解之即可.解法二（“瓜豆原理”）：第一步（“导角”得等腰直角三角形）：同解法一，首先推出PCQ为等腰直角三角形；接下来想想从动点Q可以看成由主动点P怎么来？此时，往往可以借助图形的常见变换，即平移、翻折、旋转以及位似的眼光去分析主、从动点间的关系；第二步（主、从动点间的关系）：如图16-8，由“PCQ为等腰直角三角形”易知，从动点Q可以看成主动点P绕着定点C按顺时针方向旋转90度而来；其实，有关等腰直角三角形的问题，经常可以这样看待；第三步（主、从动点轨迹间的关系）：每一个从动点Q都是由相应的主动点P如此变换得到，这样一来，从动点Q的轨迹肯定也是由主动点P的轨迹如此变换而来，即从动点Q的轨迹是由主动点P的轨迹（即弧BC）绕着定点C按顺时针方向旋转90度而来；这是很自然的想法，跟代数里的整体思想一模一样，只不过将动点的轨迹看成了一个整体而已，属几何里的整体思想，即所谓的“捆绑思想”；众所周知：图形的常见三大变换，即平移、翻折及旋转不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置；位似前后的图形相似，即位似后的图形与位似前的图形相似，也即位似不改变图形的形状，只改变图形的位置与大小，且其大小随位似比同比例放缩；有了这个理论的支撑易知：从动点Q的轨迹是与主动点P的轨迹（即弧BC）全等的一段弧，这即为所谓的“种瓜得瓜种豆得豆”之说；如何确定并画出这段弧呢？只要找到确定其圆心、半径以及相应的端点即可；第四步（确定目标动点轨迹弧的圆心及端点）：依据“捆绑思想”易知，从动点Q的轨迹弧的圆心也是由主动点P的轨迹弧（即弧BC）的圆心O绕着定点C按顺时针方向旋转90度而来，如图16-9所示；包括从动点Q的轨迹弧的两个端点也是由主动点P的轨迹弧（即弧BC）的两个端点（即点B与点C）绕着定点C按顺时针方向旋转90度而来，即为点A与点C；最后再来一道有趣的“定边对定角”问题，让同学们再次强化对此模型的认知：例17.如图17所示，半径为2cm，圆心角为90的扇形OAB的弧AB上有一个动点P，过点P向半径OA作垂线，垂足为点H.设OPH的内心为I，当点P在弧AB上从点A运动到点B时，求内心I所经过的路径长.简析：此题有趣，有趣在一个字，即“定”字上面，先看解析：题目要求内心I所经过的路径长，当然要先确定动点I的轨迹啦；回到此问题上来，因为OP是一条“动边”，并非我们要寻找的“定边”，那如何解决呢？继续我们的下一步；第三步（“超级对称”转移边角）：如图17-3，连接AI，由OI平分AOP结合“对称思想”易知AOIPOI（SAS），从而有AIO=PIO=135，亦为一个“定角”从而可以识别到“定边AO对定角AIO”模型；这里的边AO是确确实实的“定边”，而并非上面OP这个“伪定边”，哈哈！解题后反思：通过本例，同学们对于“定边对定角”模型有了更深刻的认识嘛！？尤其是“定”字，不仅仅要求是边长确定，包括位置也要确定，即为真正的“定边”；还有本题中由一个“伪定边对定价”转化成了真正的“定边对定角”，这里的转化非常漂亮，也是一种“超级对称”几何直观意识，值得大家用心揣摩！前面说了这么多，其实主要还是围绕着板块一，即“路径之隐