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数学建模竞赛论文最优策略下的投资收益风险问题市场上有n种资产（如股票、债券、）( i=1,n)供投资者选择，某公司有数额为M的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资，对这n种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买的平均收益率为，并预测出购买的风险损失率为。考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的中最大的一个风险来度量。 购买要付交易费，费率为，并且当购买额不超过给定值时，交易费按购买计算（不买无须付费）。另外，假定同期银行存款利率是, 且既无交易费又无风险。（=5%）根据相关数据，试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。 已知n = 4时的相关数据如下：Si (%) (%) (%) (元) S1 28 2.5 1 103S2 21 1.5 2 198S3 23 5.5 4.5 52S4 25 2.6 6.5 40基本符号说明与基本假设2.1 基本符号说明 1.：第种资产的实际购买额 2.：购买第种资产的平均收益率 3.：购买第种资产的风险损失率 4.：购买第种资产的交易费 5.：同期银行存款利率 6.：购买第种资产的阈值 7.：购买第种资产的交易费率 8.：总体风险 9.：净收益额2.2 基本假设1)假设所考查的资产的平均收益率和风险损失率在决策期间内稳定，即发生的变化不会影响到投资决策。2)将各资产投资的总体风险用所投资资产中最大的一个风险来度量。3)假设银行同期存款利率稳定。4)某公司数额为M的资金不会在投资期内发生重大改变，且M足够大。5) 题目所给数据可靠性高。问题分析和基本思路（1） .对问题的分析：问题属于投资组合优化问题，根据题中所给出的四种资产的相关数据，以及同期银行存款利率，我们可以判定总计有五种投资项目，我们根据对投资的净收益进行计算，同时保持有较低的风险率，从而得到投资方案中更为优化的方案，然后通过对总体风险限制的改变，对方案进行灵敏度分析，从而给出在细微变化下的，更为灵活的投资方案。模型的建立 4.1模型准备投资组合问题中约束条件组合多样性和不确定性是本次投资组合优化问题的几个主要讨论问题。由题目中给出的提示和我们的进一步研究，我们将此投资组合优化问题的要素归纳成：投资资产集合：=, 投资资产的平均收益率集合：=，投资资产的风险损失率集合：=， 投资资产的交易费率集合：=，投资资产的交易费阈值集合：=，除过以上这些要素集合外，还有一个同期银行存款利率，即表示公司可以把资金存放到银行。因此，我们也必须将把资金存入银行当做是一种投资选择。4.2约束条件的确定在对投资组合问题的若干要素进行统一规定后，下面来分析题目中已知的或隐含的可能约束条件:（1）.由题目中对公司投资总额的要求可知，该时期内公司投资总额不超过M元，由于题目给出了四种可投资资产，因此当公司对这四种资产都进行投资时，总投资额不大于投资上限M元，即：a.总购买额限制： 而在实际的投资过程中，投资者不可能对投资资产进行负的投资，即投资金额不应该小于零元：b.购买额非负限制： ， i=1，2，3，4 因此我们可以得到该问题的总投资额约束条件：，i=1，2，3，4 （2）.在投资问题中，对于投资所引起的不良后果的考虑是必要的，即所谓投资风险问题，从题目中我们得知，在同一时期内购买各种资产的各自的风险损失率为=， ，其中总体风险用所投资的各资产中风险最大的一个来衡量，用D来表示总体风险，可以得到：D=Max，其中是第种资产的实际购买额，是购买第种资产的风险损失率，两者之积即为投资第种资产的实际风险，取其中最大的作为总体风险。在投资问题中，应当是投资的总体风险达到近可能的小，因此我们对总体风险表达式进行一些更改，得到最终的总体风险表示式：Min=Maxi=1，2，3，4（3） .由题目可知，购买要付交易费，费率为，所付的交易费用可以分为三种情况下的交易费。第一种，当购买额不超过定值时，根据规定，所付交易费用为；第二种，当该资产的购买额为零时，所付交易费用为0；第三种，当购买额为时，而超过了阈值，则所付交易费用为。因此可得表达式如下： 当0时，=； 当=0时，=0； 当时，=。 i=1，2，3，4综上所述，我们共得到三个约束条件，其中需要注意的是，银行存款作为一种投资方案，既没有投资风险，也没有投资交易费用。因此需要与其他四种投资项目有所区别。4.3目标函数的确定由题目可知，该问题主要涉及投资的收益多少和风险大小，因此，我们决定将投资的收益及风险作为两个目标函数，通过约束条件对目标函数的限制，进行求解，以期得到较为满意的结果。（1） .投资收益目标函数的确定 经过对题目的进一步研究我们发现，资产投资的预估收益应该分为三部分，即投资项目的收益，银行存款所的利息和投资项目风险所引起的资产损失。如果用总体收益表示目标函数，则只考虑了投资收益，风险和利息造成的变动将不好表示，因此我们决定用资产投资的净收益作为目标函数。由公式得：资产投资的净收益=投资项目的收益+银行存款所得利息-投资项目风险损失即：总净收益=总收益+银行利息-风险损失 （a）.总收益总收益=项目投资额*平均收益率第一个项目的预估收益为因此所有投资项目的总收益为 （b）.投资风险损失 由约束条件三可知，投资风险损失有三种情况，现用表示，则其中一个项目的风险损失为 因此所有投资项目的总风险损失为（c）.银行利息当投资额有剩余时，为了使公司获得最大收益，则不应该将剩余资金闲置，可以将其存入银行获取利息，银行同期利率为，因此银行利息为由以上三式可得，投资收益目标函数为=（2） .投资风险目标函数的转移 作为本问题的另一个目标函数，投资风险目标函数的确定与投资收益目标函数会出现一些重复，因为在投资收益目标函数中已经对投资风险损失做过处理。同时，如果将投资风险作为目标函数，则会出现双目标函数的情况，在对两个目标的统一过程中由于不清楚两者的相对权重大小，因此会出现不小的困难。考虑到上述情况，我们决定将投资风险转移到约束条件中，既简化了目标函数，又解决了题目对投资风险尽可能小的要求。具体方法，即如约束条件二中的阐述。 综合以上两点，我们得到题目的目标函数为： = 4.4 规划模型综上所述，我们得到一个单目标的规划模型，如下： = Min=Max ， 当0时，=； 当=0时，=0； 当时，=。模型的求解5.1 模型求解时交易费用及最大投资风险的处理问题中，在交易费用的限制条件中存在三种不同的情况，这对模型的求解造成了一定困难，因为投资项目阈值的存在，使得每个投资项目的交易费用的表达式不唯一，为了方便求解，我们根据题目中的条件：数额为M的一笔相当大的资金，认为公司对每个项目的投资额只有两种情况，一种是投资额为零，则交易费用=，其中为零，则=0.；另一种是投资额远大于投资项目的阈值，则交易费用仍然为=。在本投资问题中，由于投资项目的风险不定，为了方便，我们定义了公司所能承受的最大投资风险，即总体风险上线，把Min=Max 线性化，转化为x(i)*q(i)0.8时f逐渐趋 于平缓e增大到一定范围，e的变化给引起f的变化不明显。据此我们给出近似最优投资组合取e=0.006MfS0S1S2S3S40.201908M024%40%10.91%22.12%模型求解结果：综上所述，在问题的要求下，最优投资组合为：将资金M用于投资资产，资产，资产和资产，其中对资产的投资占总投资的24.00%，对资产的投资占总投资的40.00%，对资产的投资占总投资的10.91%，对资产的投资占总投资的22.12%。 i=1，2，3，4模型的分析6.1 关于M假设的合理性分析 在模型简化过程中，我们默认M相当大，关于M相当大的假设是否合理，在此我们给出M假设的合理性验证。现根据以上的模型结果推算最小投资额M，对于每个资产S都满足：(x-p*x)Mu，不等式左边是对投资资产的实际购买额，不等式右边是该资产购买额的阈值限制，对该式稍作变形得：M=u/(x-p*x)，其中的最大者就是问题的最小投资额。经过运算得表如下：e(%)0.10.20.30.350.40.450.50.550.6M（元）3029.11515.71010.2866.01757.56673.47606.18550.97505.10.650.70.750.80.911.522.22.5466.28432.911023.5428.42336.9345.78336.731073.51853.6105.08从表中所得数据可以看出，各个项目的最小投资额在不同的总体风险上线下，除去两个最小投资额小于投资阈值外，其余均大于投资阈值，由此得出，对于总投资额M的假设是合理的。6.2关于平均收益率r，风险损失率q和交易费率p的变化对投资方案的影响分析1. 平均收益率r由模型的构建过程可知，平均收益率对投资方案有一定影响，保持其它参数不变，我们对每一个项目的r都进行一定的变化，得到下表：re(%)fS0S1S2S3S40.010.060.2019M 00.240.40.10910.22120.040.060.2019M 00.240.40.10910.22120.10.060.2019M 00.240.40.10910.22120.150.060.2019M 00.240.40.10910.2212可以看出，r的变化在小范围内对投资方案的影响不大。2. 风险损失率q保持其它参数不变，我们对每一个项目的q都进行一定的变化，得到下表：q增长e(%)f/Mf增长s0s1s2s3-5%0.60.20339180.73%0.0000 0.2526 0.4211 0.1148 -3%0.60.20277980.43%0.0000 0.2474 0.4124 0.1125 1%0.60.2016284-0.14%0.0000 0.2376 0.3960 0.1080 5%0.60.1987045-1.59%0.0379 0.2286 0.3810 0.1039 7%0.60.1958721-2.99%0.0559 0.2243 0.3738 0.1020 可以看出，q的变化对投资方案有一定的影响，并且可以推断，随着q绝对值的增大，对f影响越大。3. 交易费率p保持其它参数不变，我们对每一个项目的p都进行一定的变化，得到下表：p增长e(%)f/Mf增长s0s1s2s3-5%0.60.20365530.87%0.0000 0.2400 0.4000 0.1091 -3%0.60.20295490.52%0.0000 0.2400 0.4000 0.1091 1%0.60.2015594-0.17%0.0000 0.2400 0.4000 0.1091 3%0.60.2008642-0.5