信号与系统的基本概念-1

1 第一章信号与系统的基本概念 1 1信号的描述与分类 一 信号的描述 2 广义地说 信号是随时间和空间变化的某种物理量 一段语音信号 对了 000110100111110001100101010101110110010100011000 抽样频率 22050Hz 3 信号 signal 是消息的表现形式 消息 message 则是信号的具体内容 信息 information 是消息的一种量度 函数 f t Amcos t 消息 信号 信息 信号描述的方式 波形 数据 信号一般是时间变量t的函数 但函数并不一定都是信号 4 二 信号的分类 1 确定信号与随机信号 确定信号 determinate 是指可用确定的图形 曲线或函数式准确描述的信号 随机信号 random 是不能用确定的图形 曲线或函数式准确描述的信号 只能通过大量试验测出它在某些确定时刻或空间点上取某些数值的概率 2 连续信号与离散信号 连续信号 continuous 是指自变量取值是连续的信号 它在所讨论的时间区间内 除有限个间断点外 对于任意时间值都可给出确定的函数值 离散信号 discrete 是指自变量的取值是离散的 只在某些不连续的规定瞬时给出函数值 在其他时间没有定义 5 把幅值可连续取值的连续信号称为模拟 analogue 信号 把幅值可连续取值的离散信号称为抽样 sampling 信号 而把幅值只能取某些规定数值的离散信号称为数字 digital 信号 6 对于连续信号f t 有f t f t mT m 0 1 2 满足上式的最小T值称为f t 的周期 周期信号 periodic 是在时间或空间上无始无终地重复着某种变化规律的信号 任意两个或两个以上的周期信号的组合不一定是周期信号 非周期信号 non periodic 是指无重复变化规律的信号 3 周期信号与非周期信号 如果两个或两个以上的周期信号的周期具有公倍数 则它们的和或差构成的信号仍然是周期信号 其周期为两原信号周期的最小公倍数 7 例 试判断下列信号是否为周期信号 若是 确定其周期 解 1 f1 t 中两个子信号sin3t和cos t的周期分别为 它们不存在公倍数 是非周期信号 或者说周期为 2 f2 t 中三个子信号的周期分别为 它们的最小公倍数是1740 所以f2 t 是周期为1740 的周期信号 8 能量信号 energy 是指能量有限 而平均功率为零的信号 功率信号 power 是指平均功率有限 而总能量无限大的信号 连续时间信号的功率P和能量E定义为 在时间间隔无限大的情况下 所有周期信号都是功率信号 这样只能从平均功率去考察研究 4 功率信号与能量信号 非周期脉冲信号如果只存在于有限时间内 那么该信号一定是能量信号 这样只能从能量的角度去加以研究 存在于无限时间内的非周期信号可以是能量信号 也可以是功率信号 这要根据具体信号函数来确定 9 因果信号是指只在时间大于零的区间 0 内存在的信号 非因果信号是指只在时间小于零的区间 0 内存在的信号 有始信号是指只在大于某确定时间的区间 t0 内存在的信号 有终信号是指只在小于某确定时间的区间 t0 内存在的信号 时限信号是指只在某一有限时间区间 t1 t2 内存在 而在此时间区间以外为零的信号 无时限信号是指在正负无穷时间区间 都有取值的信号 5 时限信号与无时限信号 6 有始信号与有终信号 7 因果信号与非因果信号 10 1 2常用连续时间信号及其时域特性 1 单位阶跃信号 性质 切除性 单位阶跃信号U t 具有使任意无时限信号f t 变为因果信号的功能 即将f t 乘以U t 所得f t U t 即为因果信号 例 画出f t t 1 U 1 t2 的波形 11 2 单位门信号 3 单位冲激信号 1 定义 性质 截取性 单位门信号G t 具有使任意无时限信号f t 变为时限信号的功能 即将f t 乘以G t 所得f t G t 即为时限信号 12 2 性质 时间函数f t 与单位冲激函数相乘 就等于f t 的函数值f t0 与单位冲激函数 t t0 相乘 即使冲激函数的强度变为f t0 抽样性 13 t 为偶函数 t 与U t 的关系 a为大于零的实常数 推广 证明 14 例 求下列表达式值 例 画出f t sin t 的波形 15 4 单位冲激偶信号 2 性质 1 定义 t 为奇函数 16 证明 由 t 函数的性质得 即 推广 17 例 求下列积分 解 而积分区间为 1 1 t 2不在积分区间内 所以 18 5 单位符号信号 例 画出f t sgn cos2 t 的波形 19 6 复指数信号 特点 1 s 0 f t K 直流信号 其中 3 0 等幅正弦信号 幅值为指数函数的正弦信号 实指数信号 4 s j 2 0 20 特点 7 抽样信号 21 1 3连续时间信号时域变换与运算 一 信号时域变换 1 折叠 将信号f t 的自变量t换成 t 得到另一个信号f t 称为信号f t 的折叠或反褶 即将信号f t 的波形绕纵坐标轴翻转180 22 2 时移 将信号f t 的自变量t换成t t0 得到另一个信号f t t0 称为信号f t 的时移 若t00 将信号f t 在时间轴上右移t0就得到f t t0 23 3 展缩 将信号f t 的自变量t换成at 得到的信号f at a为不等于零的正实常数 称为信号f t 的展缩或尺度变换 若01 f at 的波形是将信号f t 的波形沿时间轴上压缩至1 a 24 4 倒相 将信号f t 的波形绕横轴翻转180 得到的信号 f t 称为信号f t 的倒相或反相 信号的折叠和信号的展缩可用软件来实现 而信号的时移和倒相既可以用软件来实现 也可以用硬件来实现 信号的右移用延时器实现 左移用预测器实现 而信号的倒相用倒相器实现 25 例 已知f 1 2t 如图所示 试画出f t 的波形 解 方法1 时移 折叠 展缩 26 方法2 折叠 展缩 时移 27 例 已知信号f t 的波形如图所示 求y t f 3t 6 的波形 方法2 方法3 方法1 展缩 折叠 平移 右移2 平移 左移6 展缩 折叠 解 由图可得 28 二 信号时域运算 1 相加 y t f1 t f2 t 信号在时域中相加时 横轴 时间t轴 的值不变 仅是与时间轴t值对应的纵坐标值相加 信号的时域相加运算用加法器实现 如 29 y t f1 t f2 t 2 相乘 对应的纵坐标值相乘 横坐标值不变 信号的时域相乘运算用乘法器实现 如 3 数乘 y t af t 将信号f t 乘以实常数a 信号的时域数乘运算用数乘器实现 30 4 微分 对信号f t 求一阶导数 信号的时域微分运算用微分器实现 当信号f t 中含有间断点时 则f t 中在间断点处将有冲激函数存在 其冲激强度为间断点处函数f t 跃变的幅度值 5 积分 对信号f t 在区间 t 内求一次积分 信号的时域积分运算用积分器实现 31 例 已知f t 如右图所示 求其一次微分后的波形y t 解 32 例 已知信号f t 如图所示 解 1 通过折叠和时移运算得到f 2 t 的波形如图所示 当t 0时 f 2 t 0 故 当0 t 1时 f 2 t 1 故 33 当t 2时 f 2 t 0 故 当1 t 2时 f 2 t 2 故 2 通过折叠 压缩和时移运算得到f 6 2t 的波形如图所示 34 系统能够对信号完成某种变换或运算功能 系统是由相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体 1 4系统的定义与分类 一 系统的定义 设符号T表示系统的运算 将输入信号f t 作用于系统 得到输出信号y t 则可用图表示为 T 称为算子 表示将输入激励信号f t 进行某种变换或运算后得到输出响应信号y t 即 35 任何一个大系统可分解为若干个相互联系 相互作用的子系统 各子系统之间通过信号联系 信号在系统内部及各子系统之间流动 36 输出信号只决定于当前输入信号 在时域用代数方程描述的系统 输出信号不仅取决于同时刻激励信号 而且与过去的工作状态有关的系统 凡是具有初始状态的系统 一定是动态 dynamic 系统 系统的初始状态是系统储能的反映 体现了系统的记忆特性 memory 含电容或电感的系统就是典型的动态电系统 静态系统是无记忆系统 因此无状态可言 纯电阻网络就是典型的静态系统 可以从多种角度来观察 分析研究系统的特性 提出对系统的分类方法 二 系统的分类 37 能同时满足比例性与叠加性的系统 不能同时满足比例性与叠加性的系统 如果系统的激励f t 数乘k 为任意常数 响应y t 也数乘k 就称为系统具有比例性或齐次性 如果任意两个激励共同作用时 系统的响应均等于每个激励单独作用时所产生的响应之和 就称系统具有叠加性 线性系统同时具有齐次性和叠加性 即 38 例 若T f t ae t b y t 问该系统是否为线性系统 而 显然 故系统为非线性系统 解 39 例 判断下列系统是否为线性系统 设 即 故系统是线性系统 解 40 一个时不变系统 由于参数不随时间变化 故系统的输入输出关系也不会随时间变化 如果激励f t 作用于系统产生的响应为y t 那么 当激励延迟td接入时 其响应也延迟相同的时间 且响应的波形形状保持相同 也就是说 一个时不变系统 若 系统参数随时间而变化的系统 系统参数不随时间而变化的系统 系统的这种性质称为时不变特性 time invariant 则 41 系统是时变系统 42 在因果系统中 原因决定结果 结果不会出现在原因作用之前 因此 系统在任一时刻的响应只与该时刻以及该时刻以前的激励有关 而与该时刻以后的激励无关 系统的零状态响应不会出现在信号激励系统之前的系统 不能满足因果系统特性的系统 物理上可实现的系统都是因果系统 非因果系统是不可物理实现的系统 但系统处理的信号的自变量并不一定都是时间变量 因此对非因果系统的研究也有一定的意义 所谓激励可以是当前输入 也可以是历史输入或等效的初始状态 由于因果系统没有预测未来输入的能力 因而也常称为不可预测 unforeseen 系统 43 1 t 1时 y 1 f 3 t 1时刻的输出由t 3时刻的输入决定 即输出超前于输入 所以系统1是非因果系统 例 试判定下列系统的因果性 f t 为激励 y t 为响应 解 2 在t 1时 任一时刻的输出就等于同一时刻的输入 而在t 1时 输出为零 所以系统2是因果系统 3 在t 1的任一时刻t0 由于t0 1 t0 输出总是在输入之后 满足因果关系 但对于在t 1的任一时刻 如t0 0 则y 0 f 1 即输出与输入的将来有关 因此系统3是非因果系统 4 由于任一时刻的零状态响应均与该时刻以后的输入无关 因此系统4是因果系统 44 输入输出信号都是连续时间信号 输入输出信号都是离散时间信号 输入是连续时间信号 输出是离散时间信号 或反之 连续时间系统的数学模型是微分方程 离散时间系统的数学模型是差分方程 集总参数系统的数学模型是常微分方程 而分布参数系统的数学模型是偏微分方程 仅由集总参数元件组成的系统 含有分布参数元件 如天线 传输线 波导等 的系统 45 1 5线性时不变系统的性质 1 齐次性 线性时不变系统 lineartime invariantsystem 是本课程研究学习的核心 2 叠加性 3 线性 46 4 时不变性 5 微分性 6 积分性 47 1 6信号与系统分析概论 2 系统分析 分解 阶跃信号冲激信号正弦信号指数信号 基本信号特性 复杂信号特性 基本信号 1 信号分析 复杂信号 已知系统模型 系统结构和元件特性 研究系统对各种激励信号作用下的响应特性 把已知系统响应 求系统结构与元件特性 称为系统综合 给定系统的结构与系统的响应 求系统的元件特性 称为系统诊断 48 4 分析方法 3 信号与系统分析的意义 时域法与变域法 傅里叶变换 拉普拉斯变换 Z变换 输入 输出法与状态变量法 1 信号时间特性与系统时间特性匹配 2 信号频率特性与系统频率特性匹配 3 信号功率特性与系统负载功率匹配 4 信号信息含量与系统容量匹配 5 基本任务 研究信号的时间特性与频率特性以及两者之间的关系 研究线性时不变系统在任意信号激励下响应的各种求解方法 从而认识系统的基本特性 49 例1 右图所示系统已知 则对下图所示系统 解 对所示的级联系统 有 50 例2 已知 f1 t 作用于某线性时不变系统的零状态响应为y1 t 如图所示 求f2 t 作用于该系统的零状态响应为y2 t 解 51 例3 已知某线性时不变系统 当激励f t U t 初始状态x1 0 1 x2 0 2时 响应y1 t 6e 2t 5e 3t 当激励f t 3U t 初始状态保持不变时 响应y2