浅谈概率统计模型在投资学中的应用.doc

目录目录 摘要 1 关键词 1 引言 3 1 马柯维茨的均值方差模型 4 1 1 模型假设 4 1 2 模型建立与分析 4 1 2 1 证券组合的回报率 4 1 单一证券的收益率 4 2 证券组合的收益率 4 1 2 2 证券组合的风险度量 5 1 单一证券的风险度量 5 2 组合证券的风险度量 5 1 2 3 投资组合风险的分散 6 1 2 4 投资收益的概率分布 6 1 3 模型的应用 7 1 4 模型的局限 8 2 单一指数模型 9 2 1 模型建立与分析 9 2 1 1 证券的风险结构 9 1 市场模型 9 2 证券的风险组成 10 2 1 2 计算与风险分散 10 1 计算量的减少 10 2 系统风险与个别风险的分散 11 3 概率统计模型在投资学中的应用 12 结束语 12 参考文献 12 致谢 13 1 浅谈概率统计模型在投资学中的应用浅谈概率统计模型在投资学中的应用 黎静 数学与信息学院数学与应用数学专业 2007 级指导老师 张莉 摘要 在投资学中 投资决策分析通常是根据以往的资料和数据对目前投资项 目的可行性进行判断和分析 从而确定投资的最佳组合 实现收益风险的平衡 本文主要通过马柯维茨的均值方差模型中用期望反映资产各种可能收益率的平 均值 方差衡量资产的各种可能收益率相对期望收益率分散化程度 也就是风 险的大小来说明概率统计模型在投资学中的应用 首先 用概率评估不确定因素 给投资项目带来的风险 对于不确定性的投资决策分析 给予投资者准确的定 量分析 其次在马柯维茨均值方差模型假定投资者事先知道投资收益的概率分布 的基础上 假设投资收益近似地服从正态分布 根据标准正态分布的特点 对 风险进行大致判断 最后针对马柯维茨的均值方差模型在实际应用中计算量大及 不能分析资产的风险结构的缺点 本文用威廉 夏普提出的单一指数模型来解决 在这里用市场模型 单一指数模型的特例 来说明计算量的减少和投资风险的 分散化 在投资者只关注 期望收益率 和 方差 的假设条件下 马柯维茨的 均值方差模型完全而精确 目前主要被用于不同类型证券之间的投资分配 例 如债券 股票等 关键词 均值方差模型 正态分布 单一指数模型 投资决策 概率统计模型 Is shallow to talk all rate statistics model at investment learn a medium application Li jing Mathematics And Information Science Mathematics And Applied Mathematics Grade 2007 Instructor zhang li Abstract In investment Investment Decision Analysis refers to judge and analyze 2 the feasibility of the investment project at hand based on the previous materials and data so as to ensure the best combination of investment and to reach the balance of risks to achieve gains This article illustrates the application of Probability statistical model in the study of investment mainly through the Mean Variance Model of Markowitz by using expectation to reflect the average of the possible yields assets Variance of all possible measure of assets relative expected yields decentralization levels return i e the size of risk First of all with the probabilistic assessment of uncertainty to investment risks and investment decisions for the analysis of uncertainty investors are given accurate quantitative analysis Secondly Mean Variance Model of Markowitz assumes that investors know in advance that the probability distribution of investment income on the basis of assumed investment returns approximately normal distribution then according to the standard normal distribution characteristics the investors can make a rough judgment about risks Finally because the Markowitz Mean Variance Model has large amount of calculation and can not analyze the risk structure of assets in real life I will adopt single index model put forward by William Sharpe to solve it in this thesis Market model is used here a special case of a single index model to illustrate the calculation of the amount of risk reduction and decentralization of investment Under the hypothesis condition that investors only focus on expected return and variance Markowitz mean variance model is complete and accurate and it is used in securities investment in distribution of different types such as bonds stocks etc Key words mean variance model normal distribution single index model investment decisions probability statistical model 3 引言引言 在经济活动中 特别是在投资活动中 大量的不确定现象让投资市场充满 各种各样的风险 投资者不得不对投资的风险和收益进行评估 而证券投资者从 事证券投资的目的 主要在于获取适当的预期收益 他们可以把资金全部投资一 种或少数几种收益较高的证券上 以争取获得最大限度的收益 这种证券的分散 化投资就导致了证券组合的产生 美国经济学家马柯维茨 Harry M Markowitz 是现代投资组合理论的创始人 他于 1952 年 3 月在 金融杂志 上发表了一篇 题为 证券组合选择 的论文 并于 1959 年出版了同名专著 详细论述了证券 收益和风险的主要原理和分析方法 建立了均值 方差证券组合模型的基本框 架 马柯维茨的投资组合理论认为 投资者是风险回避的 他们的投资愿望是追 求高的预期收益 他们不愿承担没有相应的预期收益加以补偿的额外风险 马柯 维茨的在给定风险水平下追求高收益的资产组合 或者是在给定收益水平下追 求风险最小的资产组合的思想和方法 奠定了现代证券组合理论的基石 文章主 要研究马柯维茨的均值方差模型在投资学中应用概率和统计的知识定量的分析 投资风险大小的问题 帮助投资者正确做出决策 以及针对均值方差模型计算量 大的问题分析用夏普的单一指数模型进行改进 通过这一系列问题的探讨主要为 了说明概率统计模型在经济学中的应用 体现数学学科与经济学的联系 帮助 人们更好的认识数学在经济活动中的价值 尽管均值方差模型和单一指数模型的 建立假定了一些与现实情况不太贴切的条件 忽略了很多实际问题 对于精确 度要求较高的投资者并不适用 但是从总体上还是能对投资组合的收益和风险进 行大体估计 为投资者的决策提供了根据 4 1 马柯维茨的均值方差模型马柯维茨的均值方差模型 马柯维茨在 1952 年发表的 证券组合选择 文中提出 投资者在期初将 决定投资哪些证券 资金在这些证券上该如何分配 投资者实际需要在期初从 所有可能的证券组合中选择一个最优的证券组合进行投资 马柯维茨认为 投资 者应该实现预期收益率最大化和风险最小化之间的某种平衡 换言之 投资者 要使期望的效用最大化 而不仅仅是使期望的回报率最大化 在回避风险的条件 下 马柯维茨建立了投资组合的分析模型均值方差模型 1 1 模型假设模型假设 假设一假设一 投资者以期望收益率 亦称收益率均值 来衡量未来实际收益率 的总体水平 以收益率的方差 或标准差 来衡量收益率的不确定性 风险 投资者在决策中只关心投资的期望收益率和方差 假设二假设二 理性的投资者将选择并持有有效投资组合 即那些在给定风险水 平下使期望回报最大化的投资组合 或那些在给定的期望回报率水平上使风险 最小化的投资组合 假设三假设三 投资者在考虑每一次投资选择时 事先知道投资收益的概率分 布 假设四假设四 计算出有效的投资组合的集合 1 2 模型建立与分析模型建立与分析 1 2 1 证券组合的回报率证券组合的回报率 1 单一证券的收益率 单一证券的收益率 单一证券的收益事先不可知 投资者估计各种可能发生的结果 并根据以 往数据估计每一种结果发生的可能性 用期望表示收益率为 n i iip rrE 1 2 证券组合的收益率 证券组合的收益率 将上述情况扩展至资产 A B 的情形 则该资产组合 P 的期望收益率为 BBAABBAAp rEWrEWrWrWErE 其中 分别表示投资者在 A B 两种资产上的投资比重 且 A W B W 5 1 也就是双证券组合期望收益率等于单个期望收益率以投资比重为权 A W B W 数的加权平均值 那么对于 N 种资产的投资组合 P 的期望收益率的度量公式为 1 1 i N i iP rEWrE 1 其中表示投资者在第 i 种资产上的投资比重且 i W1 1 N i i W 1 2 2 证券组合的风险度量证券组合的风险度量 1 单一证券的风险度量 单一证券的风险度量 我们用期望收益率的方差来衡量证券的各种可能收益率相对于期望收益 2 率分散化程度 也就是风险的大小 2 1 2 rErp i n i i 其中代表收益率发生的概率 表示证券在第 i 种状态下的收益率 n i p i r i r 表示证券可能产生的 n 种不同收益率 表示证券的期望收益 rE 2 组合证券的风险度量 组合证券的风险度量 对于 N 种资产组合的风险仍然用方差来度量 在投资学中 投资组合的风 险不仅依赖于每种证券对投资组合总体风险的贡献 而且还与各种证券之间的 相互联系有关 在这里我们用协方差来表示一种证券 i 对另一种证券 j 的相互 ij 关系 jjiiij rErrErE 1 2 ji ij ij 其中表示资产 i 与资产 j 的相关系数 表示第 i 种资产的标准差 说明一 ij i 下 相关系数的范围是 表示两种证券收益结果的变化方 ij 11 ij 1 ij 6 向完全不相同 称为完全负相关 表示两种证券收益结果的变化方向完1 ij 全相同 称为完全正相关 表示两种证券收益结果的变动之间不存在任0 ij 何关系 若0 iI iI 则该证券将得到风险溢价 承担风险的回报 2 证券的风险组成 证券的风险组成 根据市场模型 我们得到任何证券的风险度量 2 i 2222 iIiIi 2 1 其中为证券的市场风险 为证券的个别风险 由随机误差的 22 IiI 2 i iI 方差来测度 那么对于一个投资组合 p 来说 组合的回报率为 N i iIiI N i iIi N i iIi N i iIiIiIiP WrWaWaWr 1111 2 2 组合回报率的方差测度的总风险为 2222 PIPIp 2 3 11 N i iiP N i iIiPI WW 1 222 2 1 2 2 4 由公式 2 1 2 3 可知个别证券的风险和证券组合的总风险都是由系统 风险和个别风险组成 因此我们就说市场模型弥补了马柯维茨的均值方差模型 无法刻画证券的风险结构的问题 2 1 2 计算与风险分散计算与风险分散 其次 我们再利用市场模型来说明一下怎样让期望收益率和期望收益率的 方差计算量减少的问题 以及在系统风险和个别风险的前提下投资组合风险的 分散问题 1 计算量的减少 计算量的减少 对于均值方差模型 在第一章中 我们就已经分析了投资者在选择恰当的 投资组合时 需要计算估计的数值和收集的数据数量很大的问题 而现在在市场 模型假定公司之间的特质因素是相互独立的并且市场风险与个别风险无关的情 况下 也就是假定的情况下 我们得到任何两种证 0 0 iIIji rCovrrCov 券的协方差为 2 IjIiIIjIIiI jIIjIjIiIIiIiIjiij rrCov raraCovrrCov 2 5 从公式 2 5 我们知道投资者在做决策时只需计算 N 个 N 个和的 iI jI 2 I 值 共 2N 1 个协方差的值 比起均值方差模型中需要计算个协方 2 1 NN 差的值 显然是减小了很多 结合式 2 2 式 2 3 式 2 4 要度量投资组 合的期望收益率和风险投资者只需要计算 3N 2 个数值 同样假设 N 1000 投资分析人员只需要计算 3002 个数据 就可以对收益和风险做出估计 与第一 章提到的需要计算 501500 个数据相比 计算量大大的减少了 2 系统风险与个别风险的分散 系统风险与个别风险的分散 第一章我们说马柯维茨的均值方差模型通过增加低协方差的证券来降低风 险 但是有可能降低期望收益 夏普的单一指数模型从风险的结构说明了通过增 12 加证券数不会引起系统风险的显著减小或增大 这是因为一 2 1 2 N i iIiPI W 个组合的贝塔值是其证券的贝塔值的加权平均 因此从这个式子可以得出市场 风险不会随着证券种类的增多而变小 而是会随着证券种类的增多趋于平均化 那对于个别风险 我们现在考虑如果投资于每种证券相等的资金数量 即是让 则个别风险 N Wi 1 NNN N i N i P 2 2 2 1 2 2 1 2 11 2 6 从公式 2 6 我们会发现这个组合的个别风险只有各个证券的个别风险的 平均值的 也即是 当 N 增大时 减小 从而个别风险减小 那我们就说 N 1 N 1 分散化导致了个别风险的减小 总之 分散化导致市场风险的平均化 使个别风 险降低 3 概率统计模型在投资学中的应用概率统计模型在投资学中的应用 马柯维茨的均值方差模型的建立以及夏普的单一指数模型的建立都应用了 概率统计中的概率 分布和回归分析的知识 通过对上述两种模型在投资学中的 证券投资组合的应用的简单分析和研究 总结出概率统计模型对投资学的贡献 它不仅可以帮助个体投资者分析当前的市场情况 利用模型分析投资的收益和 风险 最后做出投资的最佳决策 还能帮助大型企业和政府准确的掌握经济发展 状况 做出适应经济活动健康发展的决定 保证市场正常运行 同时