2017_2018学年高中数学 几个重要的不等式2.3.2数学归纳法的应用训练北师大版.docx

2.3.2 数学归纳法的应用一、选择题1.若不等式对于一切nN恒成立，则自然数m的最小值为()A.8 B.9 C.10 D.12解析显然n1时，左边最大为，则n2成立的条件是()A.nN B.n4C.n4 D.n1或n4解析n4，244216，n1时，21，n5，2532，5225，当n4时，2nn2成立，故选D.答案D3.用数学归纳法证明11n(nN)成立，当n1时，应验证()A.1 B.1C.1 D.1解析n1时，左边，中间1，右边1，故选A.答案A二、填空题4.用数学归纳法证明“Sn1(nN)”时，S1等于_.解析n1时，n12，3n14，S1.答案5.已知a，b，cR，abc0，abc0，T，则T与0的关系是_.解析abc0，(abc)2a2b2c22ab2bc2ac0，即2ab2bc2ac(a2b2c2)0，上述不等式两边同时除以2abc，得T0.答案T1 (n1，nN).证明(1)当n2时，1，即n2时命题成立. (2)设nk (k2)时，命题成立，即1，当nk1时，左边1(2k1)1.k2，令f(k)k2k1，对称轴为k，(2，)为f(k)的增区间，f(k)f(2)，即k2k122211，0，nk1时，命题也成立.由(1)(2)知，当n1时，nN命题都成立.7.比较2n与n2的大小(nN).解当n1时，2112，即2nn2，当n2时，2222，即2nn2，当n3时，2332，即2n52，即2nn2，当n6时，2662，即2nn2猜测：当n5时，2nn2.下面用数学归纳法证明猜测成立.(1)当n5时，由上可知猜测成立.(2)设nk (k5)时，命题成立，即2kk2.2k122k2k2k2k2k2(2k1)(k1)2，即nk1时命题成立.由(1)和(2)，可得n5时，2nn2.8.用数学归纳法证明： (nN).证明(1)当n1时，左边1右边，不等式成立.当n2时，左边，右边.由12，得，即n2时，不等式也成立.(2)假设nk (k2)时，不等式成立，即.当nk1时，两边同加，得只须证(1).由于k2，上式显然成立.即nk1时，不等式成立.由(1)、(2)知，不等式对nN都成立. 9.设n为正整数，记an，n1，2，3，求证：an10 (nN).，因此，根据贝努利不等式1.所以anan1对于一切正整数n成立.10.已知等差数列an，等比数列bn，若a1b1，a2b2，a1a2，且对所有的自然数n恒有an0，求证：当n2时，an0，故an是递增数列，an公差da2a1，bn公比q.当n2时，an0.故原不等式成立.(2)假设nk (k3)时，不等式成立，即akakak(a2a1)0.即bk1ak1.由(1)(2)可知，当n2时，anbn均成立.11.在数列an中，a12，an1 (n1).证明：an成立.(1)当n1时，a12成立.(2)假设nk (k1)时，ak成立，又当nk1，由题意知ak12，即ak1，当且仅当即ak时，等号成立.这与ak矛盾，所以只有ak1.由(1)，(2)知，不等式an (nN)成立.其次，证明不等式an (nN)成立.(1)当n1时，a121，即不等式成立.(2)假设nk (k1)时，不等式ak成立.由题知，