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第三章连续函数 3 1连续函数 3 2连续函数的性质 3 1连续函数的概念 一 连续函数的概念二 例题三 间断点的分类 一 连续函数的概念 定义设函数在有定义 若函数 在a存在极限 且极限就是即 则称函数在连续 是连续函数的 连续点 说明 1 函数在连续必须满足以下 1 函数在一点的连续性定义 三个条件 1 函数在有定义 2 存在 3 2 函数在连续比函数在存在极限有更高的要求 因为 例如 在处连续 这是 又如 函数 在处不连续 这是因为 例 所以 并且是的一个可去间断点 极限 这是 例 因为 2 函数在一点连续的等价定义 定义2 如果 对任意的存在当时 应的函数 在y0处 的增量 为狄利克雷函数 证 注意 上述极限式绝不能写成 例1 由上面的定义和例题应该可以看出 函数在点x0 3 函数在一点左 右 连续的定义 要求这个极限值只能是函数在该点的函数值 极限存在是函数连续的一个必要条件 而且还 x0连续 那么它在点x0必须要有极限 这就是说 有极限与在点x0连续是有区别的 首先f x 在点 定义4 很明显 由左 右极限与极限的关系以及连续函数 定理 f在 有定义 若 的定义可得 例讨论函数 解因为 综上所述 所以 4 函数在区间上的连续性 定义若函数在区间 上每一点都连续 若区间 I左 右 端点属于I 函数在左 右 端点右连续 则称函数在区间 上连续 二 间断点的分类 定义 定义 若f在点x0无定义 或者在点x0有定义但却 由此 根据函数极限与连续之间的联系 如果f在 点x0不连续 则必出现下面两种情况之一 或不连续点 在该点不连续 那么称点x0为函数的一个间断点 1 不连续点 间断点 定义 等于f x0 根据上面的分析 我们对间断点进行如下分类 1 第一类间断点 可去间断点 若 一个可去间断点 2 间断点及其分类 注x0是f的跳跃间断点与函数f在点x0是否有定 点 可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点 义无关 跳跃间断点 若 例 所以 并且是的一个可去间断点 例讨论函数 在x 0处是否连续 若不连续 则是什么类型的 2 若点x0是的可去间断点 那么只要重新定 x0连续 间断点 所以f x 在x 0处右连续而不左连续 从而不 断
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