利用初等函数连续性求极限

第二章 微积分学的创始人 德国数学家Leibniz 微分学 导数 描述函数变化快慢 微分 描述函数变化程度 从微观上研究函数 导数与微分 英国数学家Newton 第一节 导数的概念 一 引例 1 变速直线运动的速度 设描述质点运动位置的函数为 则到的平均速度为 而在时刻的瞬时速度为 2 曲线的切线斜率 曲线 在M点处的切线 割线MN的极限位置MT 割线MN的斜率 切线MT的斜率 割线MN的斜率的极限 两个问题的共性 瞬时速度 切线斜率 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 为函数关于自变量的瞬时变化率的问题 二 导数的定义 定义1 设函数 在点 存在 并称此极限为 记作 则称函数 若 的某邻域内有定义 若上述极限不存在 在点不可导 若 也称 在 就说函数 的导数为无穷大 在时刻的瞬时速度 运动质点的位置函数 曲线 在M点处的切线斜率 1 设 存在 则 2 已知 则 解 3 设 存在 且 求 所以 4 设 存在 求极限 解 原式 存在 在点 的某个右邻域内 则称此极限值为 在处的右导数 记作 左 左 定义2 设函数 有定义 定理2 存在 不存在 单侧导数 若极限 例如 在x 0处有 若函数在开区间I内每点都可导 此时导数值构成的新函数称为导函数 记作 注意 就称函数在I内可导 若函数 与 则称 在开区间内可导 在闭区间上可导 且 例1 求函数 C为常数 的导数 解 即 例2 求函数 的导数 解 即 说明 对一般幂函数 为常数 例如 四 初等函数的求导问题 1 常数和基本初等函数的导数 P94 四 导数的几何意义 若 曲线过 上升 若 曲线过 下降 若 切线与x轴平行 称为驻点 若 切线与x轴垂直 切线方程 法线方程 例7 问曲线 哪一点有垂直切线 哪一点处 的切线与直线 平行 写出其切线方程 解 令 得 对应 则在点 1 1 1 1 处与直线 平行的切线方程分别为 即 故在原点 0 0 有垂直切线 五 函数的可导性与连续性的关系 定理1 证 设 在点x处可导 存在 因此必有 其中 故 所以函数 在点x连续 注意 函数在点x连续未必可导 反例 在x 0处连续 但不可导 即 判断可导性 不连续 一定不可导 直接用导数定义 可导必连续 但连续不一定可导 在求 设 其中 在 因 故 正确解法 时 下列做法是否正确 处连续 第二节函数的求导法则 二 反函数的求导法则 三 复合函数求导法则 四 初等函数的求导问题 一 四则运算求导法则 一 四则运算求导法则 定理1 的和 差 积 商 除分母 为0的点外 都在点x可导 且 此法则可推广到任意有限项的情形 推论 C为常数 C为常数 例1 解 例2 求证 证 二 反函数的求导法则 定理2 y的某邻域内单调可导 例1 求反三角函数的导数 解 设 则 则 在点x可导 三 复合函数求导法则 定理3 在点 可导 复合函数 且 在点x可导 例2 求下列导数 解 1 2 3 例如 关键 搞清复合函数结构 由外向内逐层求导 推广 此法则可推广到多个中间变量的情形 例3 设 求 解 例4 设 解 初等函数在定义区间内可导 且导数仍为初等函数 例7 求 解 关键