概率分布期望方差汇总.doc

1.编号1,2,3的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是X.（1）求随机变量X的分布列；（2）求随机变量X的数学期望和方差.解 （1）P（X=0）=；P（X=1）=；P（X=3）=；随机变量X的分布列为 X013P（2）E（X）=1+3=1.D（X）=(1-0)2+(1-1)2+(3-1)2=1.2 某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸出两个红球可获得奖金50元.现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令X表示甲、乙两人摸球后获得的奖金总额.求：（1）X的分布列；（2）X的均值.解 （1）X的所有可能取值为0，10，20，50，60.P（X=0）=；P（X=10）=+=;P(X=20)= =;P(X=50)=;P(X=60)= =.故X的分布列为X010205060P（2）E（X）=0+10+20+50+60=3.3(元).3（本小题满分13分）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y的含量（单位：毫克）下表是乙厂的5件产品的测量数据：编号12345x169178166175180y7580777081（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素x,y满足x175，且y75时,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列极其均值（即数学期望）。解：（1），即乙厂生产的产品数量为35件。 （2）易见只有编号为2，5的产品为优等品，所以乙厂生产的产品中的优等品故乙厂生产有大约（件）优等品， （3）的取值为0，1，2。所以的分布列为012P故4湖南理18（本小题满分12分）某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量（件）0123频数1595试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率。（）求当天商品不进货的概率；（）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期型。4解（I）（“当天商品不进货”）（“当天商品销售量为0件”）（“当天商品销售量为1件”）（）由题意知，的可能取值为2,3. （“当天商品销售量为1件”） （“当天商品销售量为0件”）（“当天商品销售量为2件”）（“当天商品销售量为3件”） 故的分布列为23 的数学期望为5、江西理16（本小题满分12分）某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以使确定工资级别，公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料，若4杯都选对，则月工资定为3500元，若4杯选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100元，令X表示此人选对A饮料的杯数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力 （1）求X的分布列； （2）求此员工月工资的期望。（本小题满分12分）解：（1）X的所有可能取值为：0，1，2，3，4即X01234P （2）令Y表示新录用员工的月工资，则Y的所有可能取值为2100，2800，3500所以新录用员工月工资的期望为2280元.6、辽宁理（19）（本小题满分12分）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家和品种乙）进行田间试验选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙（I）假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望；（II）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：品种甲403397390404388400412406品种乙419403412418408423400413分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？附：样本数据的的样本方差，其中为样本平均数6解： （I）X可能的取值为0，1，2，3，4，且即X的分布列为 4分X的数学期望为 6分 （II）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为： 8分品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为： 10分由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙.7、山东理18（本小题满分12分）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立。（）求红队至少两名队员获胜的概率；（）用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望.7解：（I）设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，则分别表示甲不胜A、乙不胜B，丙不胜C的事件。因为由对立事件的概率公式知红队至少两人获胜的事件有：由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为 （II）由题意知可能的取值为0，1，2，3。又由（I）知是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，因此由对立事件的概率公式得所以的分布列为：0123P0103504015因此20解（）Ai表示事件“甲选择路径Li时，40分钟内赶到火车站”，Bi表示事件“乙选择路径Li时，50分钟内赶到火车站”，i=1,2用频率估计相应的概率可得P（A1）=01+02+03=06，P（A2）=01+04=05，P（A1） P（A2）, 甲应选择LiP（B1）=01+02+03+02=08，P（B2）=01+04+04=09， P（B2） P（B1）, 乙应选择L2（）A,B分别表示针对（）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（）知,又由题意知，A,B独立， 的分布列为X012P0040420548、四川理18（本小题共12分）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计算）。有人独立来该租车点则车骑游。各租一车一次。设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为；两人租车时间都不会超过四小时。（）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（）求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望；8解析：（1）所付费用相同即为元。设付0元为，付2元为，付4元为则所付费用相同的概率为（2）设甲，乙两个所付的费用之和为，可为分布列9、天津理16（本小题满分13分）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖（每次游戏结束后将球放回原箱）（）求在1次游戏中， （i）摸出3个白球的概率； （ii）获奖的概率；（）求在2次游戏中获奖次数的分布列及数学期望 .9本小题主要考查古典概型及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决简单的实际问题的能力.满分13分. （I）（i）解：设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件则 （ii）解：设“在1次游戏中获奖”为事件B，则，又 且A2，A3互斥，所以 （II）解：由题意可知X的所有可能取值为0，1，2. 所以X的分布列是X012P X的数学期望10重庆理17（本小题满分13分）（）小问5分，（）小问8分）某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的求该市的任4位申请人中： （）恰有2人申请A片区房源的概率； （）申请的房源所在片区的个数的分布列与期望10（本题13分）解：这是等可能性事件的概率计算问题. （I）解法一：所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A片区房源的申请方式种，从而恰有2人申请A片区房源的概率为解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验.记“申请A片区房源”为事件A，则从而，由独立重复试验中事件A恰发生k次的概率计算公式知，恰有2人申请A片区房源的概率为 （II）的所有可能值为1，2，3.又综上知，有分布列 1 2 3P 从而有11.（2008全国理，20）已知5只动物中有1只患有某种疾病,需要通过化验血液来确定患病的动物.血液化验结果呈阳性的即为患病动物,呈阴性的即没患病.下面是两种化验方案:方案甲:逐个化验,直到能确定患病动物为止.方案乙:先任取3只,将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只,然后再逐个化验,直到能确定患病动物为止;若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验.(1)求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率;(2)表示依方案乙所需化验次数,求的期望.解 （1）设1、2分别表示依方案甲和依方案乙需化验的次数，P表示对应的概率，则方案甲中1的分布列为1234P方案乙中2的分布列为 123P0若甲化验次数不少于乙化验次数,则P=P(1=1)P(2=1)+P(1=2)P(2=1)+P(2=2)+P(1=3)P(2=1)+P(2=2)+P(2=3)+P(1=4)=0+（0+）+（0+）+=0.72.(2)E（）=10+2+3=2.4.12.甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为.（1）求乙投球的命中率p；（2）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为，求的分布列和数学期望.解 (1)设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B.由题意得(1-P(B)2=(1-p)2=,解得p=或p=（舍去），所以乙投球的命中率为.（2）由题设和（1）知P(A)=,P()=,P(B)= ,P()=.可能的取值为0，1，2，3，故P(=0)=P()P()=,P(=1)=P(A)P()+P（B）P（）P（）=+2=,P(=3)=P(A)P(BB)=,P(=2)=1-P(=0)-P(=1)-P(=3)=.的分布列为0123P的数学期望 E（）=0+1+2+3=2.13.设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次抽取一个，并且取出不再放回，若以和分别表示取出次品和正品的个数.（1）求的分布列、期望值及方差；（2）求的分布列、期望值及方差.解 （1）的可能值为0，1，2.若=0，表示没有取出次品，其概率为：P（=0）=;同理，有P（=1）=；P（=2）=.的分布列为：012PE（）=0+1+2=.D（）=(0-)2+=+=.(2)的可能值为1，2，3，显然+=3.P(=1)=P(=2)=,P(=2)=P(=1)=,P(=3)=P(=0)=.的分布列为： 123PE（）=E（3-）=3-E（）=3-=.=-+3，D（）=（-1）2D（）=.14.某地区的一个季节下雨天的概率是0.3，气象台预报天气的准确率为0.8.某厂生产的产品当天怕雨，若下雨而不做处理，每天会损失3 000元，若对当天产品作防雨处理，可使产品不受损失，费用是每天500元.（1）若该厂任其自然不作防雨处理，写出每天损失的分布列，并求其平均值；（2）若该厂完全按气象预报作防雨处理，以表示每天的损失，写出的分布列.计算的平均值，并说明按气象预报作防雨处理是否是正确的选择？解 （1）设为损失数，分布列为：03 000P0.70.3E（）=3 0000.3=900（元）.（2）设为损失数，则P（=0）=0.70.8=0.56.P(=500)=0.30.8+0.70.2=0.38.P（=3 000）=0.30.2=0.06.分布列为：05003 000P0.560.380.06E（）=0+5000.38+3 0000.06=370平均每天损失为370元.370900，按天气预报作防雨处理是正确的选择.15.（2008湖北理，17）袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n=1,2,3,4）.现从袋中任取一球，表示所取球的标号.（1）求的分布列、期望和方差；（2）若=a+b,E（）=1,D（）=11,试求a,b的值.解 （1）的分布列为 01234PE（）=0+1+2+3+4=1.5.D（）=(0-1.5)2+(1-1.5)2+(2-1.5)2+(3-1.5)2+(4-1.5)2=2.75.(2)由D（）=a2D（）,得a22.75=11,即a=2.又E（）=aE（）+b,所以当a=2时,由1=21.5+b,得b=-2.当a=-2时,由1=-21.5+b,得b=4.或即为所求.16.A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验.每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效.若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组.设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效