5.逻辑函数的卡诺图化简

知识目标 1 掌握用卡诺图表示逻辑函数的方法 2 掌握用卡诺图化简逻辑函数的方法 3 掌握含有无关项的逻辑函数的卡诺图化简方法 熟练掌握用卡诺图表示和化简逻辑函数的方法 培养准确快速化简逻辑函数的能力 运用卡诺图化简逻辑函数 第5讲 教学目标 教学重点 教学难点 能力目标 1 能熟练运用卡诺图表示逻辑函数 2 能熟练运用卡诺图化简逻辑函数 逻辑函数的卡诺图化简 一 什么是卡诺图1 最小项的定义和性质 2 最小项的卡诺图二 用卡诺图化简逻辑函数1 画出逻辑函数的卡诺图 即用卡诺图表示逻辑函数 2 合并卡诺图中的相邻最小项 3 将合并化简后的各与项进行逻辑加 即可得到该函数的最简与或式 三 具有无关项的卡诺图化简1 什么是无关项 2 利用无关项化简逻辑函数的方法及意义 教学内容 思考讨论 1 与或表达式最简的标准是什么 2 公式化简法的优点 局限性 任务引入 公式化简法评价 优点 变量个数不受限制 缺点 目前尚无一套完整的方法 结果是否最简有时不易判断 利用卡诺图可以直观而方便地化简逻辑函数 它克服了公式化简法对最终化简结果难以确定等缺点 卡诺图是按一定规则画出来的方框图 是逻辑函数的图解化简法 同时它也是表示逻辑函数的一种方法 卡诺图的基本组成单元是最小项 所以先讨论一下最小项及最小项表达式 1 最小项的定义和性质 一 什么是卡诺图 1 最小项的定义 在N个变量的逻辑函数中 如果乘积项中包含了全部变量 并且每一个变量都以原变量或者反变量的形式只出现一次 那么就称该乘积项是这个逻辑函数的一个最小项 2 最小项的性质 对于任意一个最小项 只有一组变量取值使它的值为1 而其余各组变量取值均使它的值为0 不同的最小项 使它的值为1的那组变量取值也不同 任意两个不同的最小项之积恒为0 变量全部最小项之和恒为1 三变量最小项真值表 推广 一个变量仅有原变量和反变量两种形式 因此N个变量共有2N个最小项 3 最小项的编号 最小项也可用 mi 表示 下标 i 即最小项的编号 编号方法 把最小项取值为1所对应的那一组变量取值组合当成二进制数 与其相应的十进制数 就是该最小项的编号 三变量最小项的编号表 任何一个逻辑函数都可以表示为最小项之和的形式 标准与或表达式 而且这种形式是惟一的 就是说一个逻辑函数只有一种最小项表达式 例1 7将Y AB BC展开成最小项表达式 解 或 4 最小项表达式 1 卡诺图及其构成原则 卡诺图是把最小项按照一定规则 相邻性 排列而构成的方格图 构成卡诺图的原则是 N变量的卡诺图有2N个小方格 最小项 最小项排列规则 几何相邻的必须逻辑相邻 逻辑相邻 两个最小项 只有一个变量的形式不同 其余的都相同 逻辑相邻的最小项可以合并 几何相邻的含义 一是相邻 紧挨的 二是相对 任一行或一列的两头 三是相重 对折起来后位置相重 包括滚卷相邻 在五变量和六变量的卡诺图中 用相重来判断某些最小项的几何相邻性 其优点是十分突出的 2 最小项的卡诺图 三变量卡诺图的画法 2 卡诺图的画法 3变量的卡诺图有23个小方块 几何相邻的必须逻辑相邻 变量的取值按00 01 11 10的顺序 循环码 排列 首先讨论三变量 A B C 函数卡诺图的画法 正确认识卡诺图的 逻辑相邻 上下相邻 左右相邻 并呈现 循环相邻 的特性 它类似于一个封闭的球面 如同展开了的世界地图一样 对角线上不相邻 二 用卡诺图化简逻辑函数 用卡诺图化简逻辑函数的步骤 1 画出逻辑函数的卡诺图 即用卡诺图表示逻辑函数 2 合并卡诺图中的相邻最小项 3 将合并化简后的各与项进行逻辑加 即可得到该函数的最简与或式 1 从真值表画卡诺图根据变量个数画出卡诺图 再按真值表填写每一个小方块的值 0或1 即可 需注意二者顺序不同 例1 8已知Y的真值表 要求画Y的卡诺图 逻辑函数Y的真值表 1 画卡诺图 2 从最小项表达式画卡诺图把表达式中所有的最小项在对应的小方块中填入1 其余的小方块中填入0 例1 9画出函数Y A B C D m 0 3 5 7 9 12 15 的卡诺图 3 从与 或表达式画卡诺图把每一个乘积项所包含的那些最小项 该乘积项就是这些最小项的的公因子 所对应的小方块都填上1 剩下的填0 就可以得到逻辑函数的卡诺图 最后将剩下的填0 4 从一般形式表达式画卡诺图先将表达式变换为与或表达式 则可画出卡诺图 1 卡诺图中最小项合并的规律合并相邻最小项 可消去变量 合并两个最小项 可消去一个变量 合并四个最小项 可消去两个变量 合并八个最小项 可消去三个变量 合并2N个最小项 可消去N个变量 2 合并相邻最小项 由于卡诺图两个相邻最小项中 只有一个变量取值不同 而其余的取值都相同 所以 合并相邻最小项 利用公式A A 1 AB AB A 可以消去一个或多个变量 从而使逻辑函数得到简化 两个最小项合并 四个最小项合并 八个最小项合并 画圈的规则是 必须按1 2 4 8 2N个1方格的数目来画圈 每个1方格至少圈一次 但可以圈多次 圈的个数要最少 圈要画的尽可能大 为了避免画出多余的圈 画圈时应遵循由少到多的顺序圈 2 合并相邻最小项 把卡诺图中2N个相邻的1方格用圈圈起来进行合并 直到所有的1方格全部圈完为止 从圈组写最简与或表达式的方法 将每个圈用一个与项表示圈内各最小项中互补的因子消去 相同的因子保留 相同取值为1用原变量 相同取值为0用反变量 3 将合并化简后的各与项进行逻辑加 相或 便得到所求函数的最简与 或式 例1 10用卡诺图化简逻辑函数Y A B C D m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 相邻 解 例1 11化简图示逻辑函数 多余的圈 解 圈组技巧 防止多圈组的方法 先圈孤立的1 再圈只有一种圈法的1 最后圈大圈 检查 每个圈中至少有一个1未被其它圈圈过 三 具有无关项的卡诺图化简 无关项是指那些与所讨论的逻辑问题没有关系的变量取值组合所对应的最小项 无关项有两种 一种是变量的某些取值组合不允许出现 是受到约束的 故称为约束项 如8421BCD编码中 1010 1111这六组代码不允许出现 另一种是输入变量的某些取值组合客观上不会 也不允许 如联动开关 交通灯 客观上不会出现同时接通或同时亮的状态 输出函数的值可以是任意的 称为随意项 任意项 无关项在卡诺图中用符号 或 表示 在标准与 或表达式中用 d 表示 因为无关项的值可以根据需要取0或取1 所以在用卡诺图化简逻辑函数时 充分利用无关项 可以使逻辑函数进一步得到简化 2 具有无关项的逻辑函数化简的意义 1 什么是无关项 例1 12设ABCD是十进制数X的二进制编码 当X 5时输出Y为1 求Y的最简与或表达式 解 充分利用无关项化简后得到的结果要简单得多 注意 当圈组后 圈内的无关项已自动取值为1 而圈外无关项自动取值为0 利用无关项化简结果为 Y A BD BC 例1 13化简逻辑函数Y A B C D m 1 2 5 6 9 d 10 11 12 13 14 15 式中d表示无关项 解 结果为 四 三人表决器逻辑函数的卡诺图化简 两种逻辑函数化简法比较公式化简法 利用逻辑代数的公式和规则 经过运算 对逻辑表达式进行化简 它的优点是不受变量个数的限制 但是否能够得到最简的结果 不仅需要熟练地运用公式和规则 而且需要有一定的运算技巧 卡诺图化简法 利用逻辑函数的卡诺图进行化简 其优点是方便直观 容易掌握 但变