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文档简介

6 6向量空间的同构 一 内容分布 6 6 1同构映射 6 6 2同构映射的性质 6 6 3向量空间的同构 二 教学目的 1 理解向量空间同构的概念 性质及重要意义 2 掌握有限维向量空间同构的充要条件 三 重点 难点 向量空间同构的概念 同构的判别 6 6 1同构映射 定义1 设 是两个向量空间 V到W的一个映射f叫做一个同构映射 如果 i f是V到W的双射 ii iii 6 6 2同构映射的性质 1 设f是V到W的同构映射 则是W到V的同构映射 i ii 2 设f是V到W的同构映射 则 其中 iii iv 3 设 是两个向量空间 是V的基 f是V到W的同构映射 则是W的基 证明 易知线性无关 其中 于是所以 故 是W的基 如果两个向量空间与之间可以建立一个同构映射 那么就说与同构 记作 6 6 3向量空间的同构 注意 一个向量空间就是一个带有加法和标量与向量的乘法的集合 我们的着眼点是运算 至于这个集合的元素是什么无关紧要 因而同构的向量空间从本质一讲是一样的 定理1 设 则 定理2 向量空间的同构是一个等价关系 定理3 证明 若n m 令 是V的基 是W的基 定义 易知f是V到W的一个同构映射
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