2019_2020学年高中数学第3章不等式4.2简单线性规划教案北师大版必修5.docx

4.2简单线性规划学 习 目 标核 心 素 养1.了解目标函数、约束条件、二元线性规划问题、可行解、可行域、最优解等基本概念(重点)2掌握二元线性规划问题的求解过程，特别是确定最优解的方法(重点、难点)1.通过学习与线性规划有关的概念培养数学抽象素养2通过研究最优解的方法提升数学运算能力.简单线性规划阅读教材P100P101“例6”以上部分，完成下列问题(1)线性规划中的基本概念名称意义约束条件关于变量x，y的一次不等式(组)线性约束条件关于x，y的一次不等式(组)目标函数欲求最大值或最小值的关于变量x，y的函数解析式线性目标函数关于变量x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域由所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题(2)线性规划问题目标函数的最值线性目标函数zaxby(b0)对应的斜截式直线方程是yx，在y轴上的截距是，当z变化时，方程表示一组互相平行的直线当b0，截距最大时，z取得最大值，截距最小时，z取得最小值；当b0，截距最大时，z取得最小值，截距最小时，z取得最大值解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即，()画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域()移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解()求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值()答：写出答案思考：(1)在线性约束条件下，最优解唯一吗？提示可能唯一，也可能不唯一(2)若将目标函数z3xy看成直线方程时，z具有怎样的几何意义？提示由z3xy得y3xz，z是直线在y轴上的截距1设变量x，y满足约束条件则目标函数z3xy的最大值为()A4B0CD4D作出可行域，如图所示联立解得当目标函数z3xy移到(2,2)时，z3xy有最大值4.2若实数x，y满足，则sxy的最小值为_2如图所示阴影部分为可行域，由sxy得yxs，由图可知，当直线yxs与直线xy20重合时，s最小，即x4，y2时，s的最小值为422.3如图，点(x，y)在四边形ABCD的内部和边界上运动，那么z2xy的最小值为_1法一：目标函数z2xy可变形为y2xz，所以当直线y2xz在y轴上的截距最大时，z的值最小移动直线2xy0，当直线移动到经过点A时，直线在y轴上的截距最大，即z的值最小，为2111.法二：将点A，B，C，D的坐标分别代入目标函数，求出相应的z值，比较大小，得在A点处取得最小值为1.4已知点P(x，y)的坐标满足条件点O为坐标原点，那么|PO|的最小值等于_，最大值等于_画出约束条件对应的可行域，如图阴影部分所示，因为|PO|表示可行域上的点到原点的距离，从而使|PO|取得最小值的最优解为点A(1,1)；使|PO|取得最大值的最优解为点B(1,3)，所以|PO|min，|PO|max.线性目标函数的最值问题【例1】若x，y满足约束条件则zxy的最大值为_由题意画出可行域(如图所示)，其中A(2，1)，B，C(0,1)，由zxy知yxz，当直线yxz经过B时，z取最大值.用图解法解决线性规划问题的关键和注意点图解法是解决线性规划问题的有效方法其关键在于平移目标函数对应的直线axby0，看它经过哪个点(或哪些点)时最先接触可行域和最后离开可行域，则这样的点即为最优解，再注意到它的几何意义，从而确定是取最大值还是最小值1若x，y满足约束条件则zx2y的最小值为_5画出可行域，数形结合可知目标函数的最小值在直线x3与直线xy10的交点(3,4)处取得，代入目标函数zx2y得到5.线性规划问题中的参数问题【例2】已知变量x，y满足的约束条件为若目标函数zaxy(其中a0)仅在点(3,0)处取得最大值，求a的取值范围解依据约束条件，画出可行域直线x2y30的斜率k1，目标函数zaxy(a0)对应直线的斜率k2a，若符合题意，则需k1k2.即a，得a.含参数的线性目标函数问题的求解策略(1)约束条件中含有参数：此时可行域是可变的，应分情况作出可行域，结合条件求出不同情况下的参数值(2)目标函数中含有参数：此时目标函数对应的直线是可变的，如果斜率一定，则对直线作平移变换；如果斜率可变，则要利用斜率与倾斜角间的大小关系分情况确定最优解的位置，从而求出参数的值2(1)已知x，y满足约束条件若zaxy的最大值为4，则a()A3B2C2D3(2)已知x，y满足约束条件若zyax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为()A或1B2或C2或1D2或1(1)B(2)D(1)画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示因为目标函数zaxy的最大值为4，即目标函数对应直线与可行域有公共点时，在y轴上的截距的最大值为4，作出过点D(0,4)的直线，由图可知，目标函数在点B(2,0)处取得最大值，故有2a04，解得a2.(2)作出可行域，如图中阴影部分所示由yaxz知z的几何意义是直线在y轴上的截距，故当a0时，要使zyax取得最大值的最优解不唯一，则a2；当a0时，要使zyax取得最大值的最优解不唯一，则a1.非线性目标函数的最值问题探究问题1(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离是什么？(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x2，直线AB的斜率是什么？提示(1)|AB|.(2)kAB.2(1)代数式的几何意义是什么？(2)代数式的几何意义是什么？提示(1)点(x，y)与(2,0)间的距离(2)点(x，y)与(2，3)连线的斜率【例3】设实数x，y满足约束条件求(1)x2y2的最小值；(2)的最大值解如图，画出不等式组表示的平面区域ABC，(1)令ux2y2，其几何意义是可行域ABC内任一点(x，y)与原点的距离的平方过原点向直线x2y40作垂线y2x，则垂足为的解，即，又由得C，所以垂足在线段AC的延长线上，故可行域内的点到原点的距离的最小值为|OC|，所以，x2y2的最小值为.(2)令v，其几何意义是可行域ABC内任一点(x，y)与原点相连的直线l的斜率为v，即v.由图形可知，当直线l经过可行域内点C时，v最大，由(1)知C，所以vmax，所以的最大值为.1(变结论)例3的条件不变，求x2(y1)2的最大值解令zx2(y1)2，其几何意义是可行域ABC内任一点(x，y)与(0，1)的距离的平方，由解得点B的坐标为，由例3的解答可知，点B与(0，1)间的距离的平方最大，zmax22.2(变条件)把例3的线性约束条件换为求zx2y2的最小值解实数x，y满足的可行域如图中阴影部分所示，则z的最小值为原点到直线AB的距离的平方，故zmin2.非线性目标函数的最值的求解策略(1)z(xa)2(yb)2型的目标函数可转化为点(x，y)与点(a，b)距离的平方；特别地，zx2y2型的目标函数表示可行域内的点到原点的距离的平方(2)z型的目标函数可转化为点(x，y)与点(a，b)连线的斜率(3)z|AxByC|可转化为点(x，y)到直线AxByC0的距离的倍1用图解法求线性目标函数的最值时，要清楚z的含义，z一般与直线在y轴上的截距有关2作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)只有当可行域是封闭的图形时，目标函数才有最优解()(2)最优解指的是使目标函数取得最大值的变量x或y的值()(3)目标函数zaxby(b0)中，z的几何意义是直线axbyz0在y轴上的截距()答案(1)(2)(3)提示(1)错误，可行域不是封闭的图形，目标函数也有最优解；(2)错误，最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解；(3)错误，由axbyz0得yx，知z的几何意义是直线axbyz0在y轴上截距的b倍2目标函数z3x5y，将其看成直线方程时，z的意义是()A该直线在y轴上的截距B该直线在y轴上的截距的5倍C该直线在x轴上的截距D该直线在x轴上的截距的5倍B将目标函数z3x5y变形得yx，所以z的意义是该直线在y轴上的截距的5倍，故选B3若实数x，y满足则z