西安交大计算方法b大作业课件.doc

计算方法B上机实验报告学院： 机械工程学院 班级: 姓名： 学号： 2015年12月22日1.计算以下和式：，要求：(1)若保留11个有效数字，给出计算结果，并评价计算的算法；(2)若要保留30个有效数字，则又将如何进行计算。实现思想：以上问题出现了近似数相减的问题，为了减小误差，可分别求得减数之和以及被减数之和，最后将两者相减。另外，减数与被减数求和均为同号计算，按照绝对值递增顺序相加可减小舍入误差。此题中对有效数字有要求，因而计算时首先需要根据有效数字位数计算得出迭代次数，以保证计算值的精度。源程序：m=input(输入有效数字个数m=);s0=1;s1=0;s2=0;n=0;%判断迭代次数while s0=0.5*10-(m-1)s0=4/(16n*(8*n+1)-2/(16n*(8*n+4)-1/(16n*(8*n+5)-1/(16n*(8*n+6); n=n+1;end%分别求解各项并求和for k=n-1:-1:0 a1=4/(16k*(8*k+1); a2=2/(16k*(8*k+4); a3=1/(16k*(8*k+5); a4=1/(16k*(8*k+6); s1=a1+s1; s2=a4+a3+a2+s2;endS=vpa(s1-s2,m)实验结果：11位有效数字计算结果如图1所示；30为有效数字计算结果如图2所示。 图1.11位有效数字计算结果图2.30为有效数字计算结果1. 某通信公司在一次施工中，需要在水面宽度为20米的河沟底部沿直线走向铺设一条沟底光缆。在铺设光缆之前需要对沟底的地形进行初步探测，从而估计所需光缆的长度，为工程预算提供依据。已探测到一组等分点位置的深度数据(单位:米)如下表所示：分点0123456深度9.018.967.967.978.029.0510.13分点78910111213深度11.1812.2613.2813.3212.6111.2910.22分点14151617181920深度9.157.907.958.869.8110.8010.93 (1)请用合适的曲线拟合所测数据点；(2)估算所需光缆长度的近似值，并作出铺设河底光缆的曲线图；算法思想：由于题中所给点数为20，若采用高次多项式插值将产生很大的误差，所以拉格朗日或牛顿并不适用。题中光缆为柔性，可光滑铺设于水底，鉴于此特性，采用三次样条插值插值法较为合适。算法结构：三次样条算法结构见计算方法教程P110；光缆长度计算公式：源程序：clear;clc; x=0:20; y=9.01 8.96 7.96 7.97 8.02 9.05 10.13 11.18 12.26 13.28 13.32 12.61 11.29 10.22 9.15 7.90 7.95 8.86 9.81 10.80 10.93; d=y; plot(x,y,k.,markersize,15) hold on %计算差商 for k=1:2 for i=21:-1:(k+1) d(i)=(d(i)-d(i-1)/(x(i)-x(i-k); end end%设定d的边界条件 for i=2:20 d(i)=6*d(i+1); end d(1)=0; d(21)=0; %带状矩阵求解（追赶法）a=0.5*ones(1,21);b=2*ones(1,21);c=0.5*ones(1,21);a(1)=0;c(21)=0;u=ones(1,21);u(1)=b(1);r=c;yy(1)=d(1); %追 for k=2:21 l(k)=a(k)/u(k-1); u(k)=b(k)-l(k)*r(k-1); yy(k)=d(k)-l(k)*yy(k-1); end %赶 m(21)=yy(21)/u(21); for k=20:-1:1 m(k)=(yy(k)-r(k)*m(k+1)/u(k); end %绘制曲线 k=1; nn=100; xx=linspace(0,20,nn); l=0; for j=1:nn for i=2:20 if xx(j)=x(i) k=i; break; else k=i+1; endendh=1;xbar=x(k)-xx(j);xmao=xx(j)-x(k-1);s(j)=(m(k-1)*xbar3/6+m(k)*xmao3/6+(y(k-1)-m(k-1)*h2/6)*xbar+(y(k)-m(k)*h2/6)*xmao)/h;sp(j)=-m(k-1)*(x(k)-xx(j)2/(2*h)+m(k)*(xx(j)-x(k-1)2/(2*h)+(y(k)-y(k-1)/h-(m(k)-m(k-1)*h/6;l(j+1)=(1+sp(j)2)0.5*(20/nn)+l(j); %求解光缆长度end%绘图plot(xx,s,r-,linewidth,1.5)disp(光缆长度为,num2str(l(nn+1),)曲线图如图2-1所示，计算光缆长度如图2-2所示。图2-1光缆插值曲线图图2-1光缆计算长度显示3.假定某天的气温变化记录如下表所示，试用数据拟合的方法找出这一天的气温变化的规律;试计算这一天的平均气温,并试估计误差。时刻0123456789101112平均气温15141414141516182020232528时刻131415161718192021222324平均气温313431292725242220181716实现思想：此题中所给数据点数目较多，采用拉格朗日插值法或者牛顿插值法需要很高次的多项式，计算困难，误差大；采用样条插值计算量虽然不大，但是存放参数Mi的量很大，且没有一个统一的数学公式来表示，也不是很方便。所以可考虑用最小二乘法进行拟合。计算过程中，分别使用二次函数、三次函数以及四次函数，计算其相应的系数，估算误差并作图比较各个函数之间的区别。算法结构：（参考课本P123）1.1形成矩阵Qk1.2变换Gk-1到Gk2.求解三角方程3.计算误差源代码：19clear;clc;x=0:24;y=15141414141516182020232528313431292725242220181716;m=length(x);n=input(请输入函数的次数);plot(x,y,k.,x,y,-)grid;holdon;n=n+1;G=zeros(m,n+1);G(:,n+1)=y;c=zeros(1,n);%建立c来存放q=0;f=0;b=zeros(1,m);%建立b用来存放%形成矩阵Gforj=1:nfori=1:mG(i,j)=x(1,i)(j-1);endend%建立矩阵Qkfork=1:nfori=k:mc(k)=G(i,k)2+c(k);endc(k)=-sign(G(k,k)*(c(k)0.5);w(k)=G(k,k)-c(k);%建立w来存放forj=k+1:mw(j)=G(j,k);endb(k)=c(k)*w(k);%变换矩阵Gk-1到GkG(k,k)=c(k);forj=k+1:n+1q=0;fori=k:mq=w(i)*G(i,j)+q;ends=q/b(k);fori=k:mG(i,j)=s*w(i)+G(i,j);endendend%求解三角方程Rx=h1a(n)=G(n,n+1)/G(n,n);fori=n-1:(-1):1forj=i+1:nf=G(i,j)*a(j)+f;enda(i)=(G(i,n+1)-f)/G(i,i);%a（i）存放各级系数f=0;enda%回代过程p=zeros(1,m);forj=1:mfori=1:np(j)=p(j)+a(i)*x(j)(i-1);endendplot(x,p,r*,x,p,-);E2=0;%用E2来存放误差%误差求解fori=n+1:mE2=G(i,n+1)2+E2;endE2=E20.5;disp(误差为);disp(E2);t=0;fori=1:mt=t+p(i);endt=t/m;%平均温度disp(平均温度为,num2str(t),)实验结果：二次函数拟合，结果如下图所示图3-1 二次函数拟合结果三次函数拟合，结果如下图所示图3-2 三次函数拟合结果四次函数拟合，结果如下图所示图3-3 四次函数拟合结果结果对比：将二次函数、三次函数和四次函数拟合结果绘制在同一个坐标内，如图3-4所示。其计算误差结果见表3-1所示。图3-4 拟合结果对比分析4.设计算法，求出非线性方程的所有实根，并使误差不超过。算法思想：本题可采用牛顿法迭代求解,令 ,得带格式为根据函数图像可以找出根的大致分布区间,带入不同的初值即可解出不同的根.源代码:function y=f2(x)y=6*x.5-45*x.2+20;%定义原函数function y=f3(x)y=30*x4-90*x;%定义原函数倒数i=-5:0.1:5;y=f2(i);plot(i,y)hold onplot(i,0,-)%画出原函数图像%Newton法求根x1=input(输入初值);e=10(-4);%误差设定Nmax=1000;%迭代最大次数限定for n=1:Nmax f0=f2(x1); if abs(f2(x1)e fprintf(输出的f(x)已经足够小); x=x1; break else F0=f3(x1); x=x1-f0/F0; if abs(x-x1)e break else x1=x; end endendfprintf(输出方程的根x=%2f,x) 计算结果:函数图像如图4-1所示。计算结果分别见图4-2所示。图4-1 函数图像图4-2 计算结果根据带入不同的初值，可以求出不同的根，有图4-2可以看出，原函数的根大约有三个，分别是-0.654542、0.681174、1.870799。5.线性方程组求解。（1）编写程序实现大规模方程组的高斯消去法程序，并对所附的方程组进行求解。所附方程组的类型为对角占优的带状方程组。（2）针对本专业中所碰到的实际问题，提炼一个使用方程组进行求解的例子，并对求解过程进行分析、求解。算法思想:高斯消去法是利用现行方程组初等变换中的一种变换,将一个不为零的数乘到一个方程后加到另一个方程,使方程组变成同解的上三角方程组,然后再自下而上对上三角方程组求解。算法结构：1. 读取二进制文件，存入计算矩阵2. 对矩阵进行初等变换，然后求解(详见计算方法教程第2版高斯消去法以及列主元高斯消去法算法)源代码：clear; clc; % 读取系数矩阵f,p=uigetfile(*.dat,选择数据文件); %读取数据文件num=5; %输入系数矩阵文件头的个数name=strcat(p,f);file=fopen(name,r);head=fread(file,num,uint); %读取二进制头文件id=dec2hex(head(1); %读取标识符fprintf(文件标识符为);idver=dec2hex(head(2); %读取版本号fprintf(文件版本号为);vern=head(3); %读取阶数fprintf(矩阵A的阶数);nq=head(4); %上带宽fprintf(矩阵A的上带宽);q p=head(5); %下带宽fprintf(矩阵A的下带宽);p dist=4*num;fseek(file,dist,bof); %把句柄值转向第六个元素开头处A,count=fread(file,inf,float); %读取二进制文件，获取系数矩阵fclose(file); %关闭二进制头文件% 对非压缩带状矩阵进行求解if ver=102, a=zeros(n,n); for i=1:n, for j=1:n, a(i,j)=A(i-1)*n+j); %求系数矩阵a(i,j) end end b=zeros(n,1); for i=1:n, b(i)=A(n*n+i); end for k=1:n-1, %列主元高斯消去法 m=k; for i=k+1:n, %寻找主元 if abs(a(m,k)abs(a(i,k) m=i; end end if a(m,k)=0 %遇到条件终止 disp(错误！) return end for j=1:n, %交换元素位置得主元 t=a(k,j); a(k,j)=a(m,j); a(m,j)=t; t=b(k); b(k)=b(m); b(m)=t; end for i=k+1:n, %计算l(i,k)并将其放到a(i,k)中 a(i,k)=a(i,k)/a(k,k); for j=k+1:n a(i,j)=a(i,j)-a(i,k)*a(k,j); end b(i)=b(i)-a(i,k)*b(k); end end x=zeros(n,1); %回代过程 x(n)=b(n)/a(n,n); for k=n-1:-1:1, x(k)=(b(k)-sum(a(k,k+1:n)*x(k+1:n)/a(k,k); endend% 对压缩带状矩阵进行求解if ver=202, %高斯消去法 m=p+q+1; a=zeros(n,m); for i=1:1:n for j=1:1:m a(i,j)=A(i-1)*m+j); end end b=zeros(n,1); for i=1:1:n b(i)=A(n*m+i); %求b(i) end for k=1:1:(n-1) %开始消去 if a(k,(p+1)=0 disp(错误！); break; end st1=n; if (k+p)n st1=k+p; end for i=(k+1):1:st1 a(i,(k+p-i+1)=a(i,(k+p-i+1)/a(k,(p+1); for j=(k+1):1:(k+q) a(i,j+p-i+1)=a(i,j+p-i+1)-a(i,k+p-i+1)*a(k,j+p-k+1); end b(i)=b(i)-a(i,k+p-i+1)*b(k); end end x=zeros(n,1); %回代 x(n)=b(n)/a(n,p+1); sum=0; for k=(n-1):-1:1 sum=b(k); st2=n; if (k+q)n st2=k+q; end for j=(k+1):1:st2 sum=sum-a(k,j+p-k+1)*x(j); end x(k)=sum/a(k,p+1); sum=0; endenddisp(方程组的的解为：) %输出解disp(x)求解结果对数据文件dat51求解，结果如下：文件标识符为id = F1E1D1A0文件版本号为ver = 1